книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

тнчно берем из табл. 1 для 6 /с = 1 , частично вычисляем по фор­ муле

в каждой приложим силу, равную 0,25. От этих сил вычисляем расстояния до точки 1 (рис. 5.2).

В данном случае расчет выполнен для Р = 8 , поэтому получим

м = = _0І 332 р/ = 0 0 4 3 /з/

8

или на 1 пог. м ширины плиты М= 0,043 Р.

Наибольшую нагрузку в конце упругой стадии найдем:

плиты.

После образования четырех пластических шарниров произой­ дет изменение в распределении реакций основания. Для опреде­ ления * получим другую систему уравнений, которая будет от­ личаться от составленной для упругой стадии тем, что в пласти­ ческих шарнирах плита будет свободно поворачиваться и мо­ мент в пластическом шарнире сохранит свою величину.

По аналогии с балкой сначала сделаем расчет плиты, состоя­ щей из четырех частей, на единичную силу и единичный момент. От силы Р = 8 получим:

+ 28,28*х ■+ 8,364Ха + 4,04*3 4- 5,84*4 4- 3,664*64-

4- 2,872*6 -Г 1//о + Осфо = 0;

4- 8,364*! 4- 11,02* 3 -f 4,592*з + 6,012* 4 + 3,836*5 4 - + 2,948*в -[- 1у0 + 0,707сф0 = 0;

Таких уравнений шесть, к ним надо будет добавить два уравне­ ния, которые можно записать так:

100

После решения этих двух систем уравнений найдем числа влияния для силы и момента и по ним определим величину той

В последнем уравнении можно сократить общий множитель с, тогда после решения получим такие значения неизвестных:

Интенсивность реакций в каждой точке плиты найдем путем умножения X на постоянный множитель 25<?о, гд^ qo — среднее удельное давление, которое вычисляется путем деления внешней силы на площадь плиты:

101

Величина нагрузки, при которой произошло образование пла­ стических шарниров, составляет: Р = 1,5Р0.

Если по условиям задачи необходимо найти предельную на­ грузку, при которой осадка не превышает удвоенную статиче­ скую, то получим

Это значение несколько приуменьшено, так как при внешней нагрузке, равной 1,2Р0, пластические шарниры образуются не полностью, и поэтому жесткость плиты будет несколько больше,

аосадка соответственно меньше 2 у0.

5.3.Нагрузка в углу плиты

Рассмотрим квадратную бесконечно жесткую плиту, которая нагружена сосредоточенной силой Р в углу (рис. 5.4). Для рас­ чета плиты в упругой стадии используем симметрию и разложим

Рпс. 5.4

нагрузку на четыре составляющих, как это указано на рпс. 5.4, а—г.

Нагрузка на схеме а симметричная, поэтому распределение реакций основания будет такое же, как в п. 5.2.

Для схемы г реакции основания будут равны нулю, так как нагрузка является уравновешенной, а плита считается бесконеч­ но жесткой. Из схем рис. 5.4, б и в следует рассчитывать только одну, принимая во внимание симметрию относительно двух осей; для этой нагрузки можно использовать балочную расчетную схе­ му и коэффициенты неравномерности реакций основания взять из таблиц [7]. Таким образом, задача решается приближенно по таблицам. Более точное решение можно получить, если соста­ вить систему уравнений для всех схем, указанных на рис. 5.4. Подсчет коэффициентов неравномерности реакций основания удобно сделать в табличной форме для 15 точек плиты, указан­ ных на рис. 5.4.

Наибольшая концентрация реакций получилась в точке 15\ <7 і5 = 3,467і7о- В противоположном углу плиты появились отрица­ тельные реакции. Если эти реакции не погашаются постоянной

102

нагрузкой (вес плиты), то плиту следует рассчитывать с учетом односторонних связей.

Вычислим моменты для сечений, перпендикулярных диагона­ ли плиты. Так, например, в сечении, проведенном через точку приложения силы, т. е. через точку 15,

Этот момент получен для всей ширины сечения; на 1 пог. м се­ чения получим:

Принимая равномерный закон распределения по ширине сечения, получим:

125-2,8281/5

М1 0 _ 13 = - 37,85 0 , 707РІ

Сопоставление моментов М10-із и М6_и показывает, что наи­ больший отрицательный момент находится между сечениями 10— 13 и 6—11\ здесь будет возникать первый пластический шар­ нир, хотя, конечно, следует иметь в виду, что положение пласти­ ческого шарнира определено только приближенно, так как было сделано предположение о равномерном распределении изгибаю­ щего момента по ширине поперечного сечения. Для сечения 10—13 это допущение ближе подходит к действительности, чем для сечения 6—И, где заметнее будет выражена концентрация реакций к краю. В результате этого пластический шарнир не бу­ дет прямолинейным, совпадающим с сечением 6—И, а изогнет­

103

ся по некоторой кривой, которую можно аппроксимировать ло­ маной линией. Для первого приближения принимаем, что плас­ тический шарнир расположен в сечении 10—13, тогда величина наибольшей нагрузки в упругой стадии будет определяться из уравнения

0,259 Р0 = апр W0Р0 = ^ - ° ,

р0,259

фиктивной заделки. Система уравнений для правой части плиты имеет такой вид:

Коэффициенты этой системы уравнений вычисляются так же, как это было сделано в п. 4.3.

Например:

6 j ] 5 = 2-0,251 = 0,502 и т. д.

104

После решения этих уравнений будут найдены величины рав­ нодействующих Хи Х2, Х3,..., Х 15, причем все они будут функция­ ми от параметра п, который представляет собой внешнюю силу, выраженную в безразмерной форме п= Р /Р 0. Значение п опреде­ лим по заданным максимальным давлениям на основании ус­ ловия

X

Яшке ~ 7 ^ ^Яоі

с-

где k — численный коэффициент.

5.4. Квадратная плита на двухслойном основании

Сделаем расчет квадратной бесконечно жесткой плиты, уло­ женной непосредственно на разрыхленный поверхностный слой земли. Толщина слоя зависит от местных условий и может быть определена экспериментальным путем. Для оценки влияния раз­ рыхленного слоя на распределение реакций упругого основания необходимо сделать расчет плиты, расположенной на двухслой­ ном основании, как это было указано в п. 3.1.

Для верхнего разрыхленного слоя принимается модель, под­ чиняющаяся гипотезе пропорциональности (Винклера). Этот слой располагается на упругом полупространстве.

Чтобы определить реакции в упругой стадии, составим систе­ му уравнений. Главные коэффициенты уравнений с учетом раз­

Выполняя расчет для Vs части плиты ввиду симметрии, полу­ чим значения главных коэффициентов и составим уравнения.

После решения этих уравнений получим следующие значения X п реакций основания q.

105

Сравнение эпюр реакций, полученных для четырех разных толщин разрыхленного слоя, показывает, что если толщина раз­ рыхленного слоя не превышает Vs размера плиты в плане, то существенных изменений в распределении реакций не происхо­ дит, поэтому для расчета за пределом упругости можно исполь­ зовать формулы, полученные в п. 5.3.

Если же /г0 = /, то плита работает как на винклеровском ос­ новании, тогда после образования пластических шарниров, кото­ рые разбивают плиту на четыре части, найдем эпюру реакций из условий равновесия. Наибольшая ордината в углу будет равна:

<7макс = 7 ^ F IF 2;

ЕСЛИ <7макс = 390) ТО •f>np= 1,7PQ.

5.5. Предварительно-напряженная плита

Очень важным явлением при работе предварительно-напря­ женной плиты за пределом упругости следует считать процесс возникновения распора. Достоверно, что как только трещины на­ чинают раскрываться, образуется несу­

щий свод сжатия [5, 27].

Этот свод (рис. 5.6) имеет в качестве верхнего основания участок, занятый внешней нагрузкой, радиуса г0, а в каче­ стве нижнего основания — круг зоны трещинообразования г\. Образующийся свод сжатия по этой поверхности вращения имеет изогнутые кривые давления вслед­ ствие реакций грунта.

Как известно, трещины, соответствую­ щие моменту отрицательного знака, дол­ жны появляться в пределах круга, где момент максимальный, следовательно, там, где срезывающие усилия равны ну­

лю; поэтому кривая давления должна иметь горизонтальную ка­ сательную на окружности радиуса г\ и угол наклона а по отно­ шению к основанию. Если кривые давления свода сжатия счи­ тать параболами и обозначить через f расстояние по вертикали между точками пересечения, то средняя величина уклона будет равна:

106

Однако эти кривые давления не являются точно параболами, у них уклон более крутой. Из условий равновесия необходимо, чтобы продолжение направлений касательных пересекалось на равнодействующей реакций, создаваемых грунтом. Следователь­ но, можно определить величину этих реакций. Если допустить, что реакции пропорциональны деформациям, то можно найти, что их равнодействующая проходит приблизительно на извест­ ном расстоянии от центра нагрузки. Для упругого полупрост­ ранства коэффициент пропорциональности k является перемен­ ным, и это расстояние будет меньше.

Распор возникает несомненно, однако его существование и величина зависят от степени надежности горизонтальной опо­ ры, создаваемой плитой снаружи круга радиуса гь Сопротивле­ ние в горизонтальном направлении этой опоры обусловливается пределом прочности на сжатие плиты на внешней стороне круга радиуса /у и сопротивлением трения. Следует иметь в виду, что радиальные деформации при этом могут быть значительными, в результате чего происходит уменьшение распора. Понятно, что распор, даже уменьшенный, может заметно увеличить разру­ шающие моменты. Так и следует истолковывать полученные ре­ зультаты.

Процесс разрушения должен происходить путем образования радиальных трещин в нижней части и круговых в верхней части плиты вдоль окружности радиуса г0 и вдоль окружности радиу­ са Г[. К моменту разрушения плита будет составлена из плоских трапеций.

Условие предельного равновесия получается путем приравни­ вания внешней силы Р сумме внутренних сил, включая реакции основания.

Следовательно, имеем

Р = р0яг%+ 4лт + 12пт

а так как, по Гпйону [35],

то

где т — разрушающий момент на единицу сечения плиты. Несущая способность плиты зависит от прочности грунта и

от прочности плиты.

107

Если же известны т и Ро, то для определения Р уравнение может быть преобразовано следующим образом:

Р — Р0 + 4 пт + )/ 12 птР0 .

Для определения разрушающей нагрузки нужно включить в расчет усилия распора. Определим предельную величину этого распора, соответствующую пределу прочности на сжатие плиты снаружи круга радиуса /у; иначе говоря, допустим, что давление создается исключительно в результате снятия сжимающих ради­ альных напряжений вне круга радиуса /у. Можно прийти к за­ ключению, что весь этот процесс протекает так, как если бы круг радиуса гх был обжат внешним кольцом шириной /у. Величина распора, которую надо добавить к усилию предварительного на­ пряжения, вычисляется по формуле

Q = (п0 + Дх) h (2/у —/у),

где п0— предварительное напряжение; Дх— предел прочности бетона на сжатие; h — толщина плиты.

5.6. Влияние местных и общих деформаций плиты за пределом упругости

В прямоугольных плитах возникает комбинированная схема разрушения, состоящая из двух рассмотренных раньше. Если плита достаточно узкая, то ее схема разрушения при грузе, рас­ положенном в середине пролета, будет похожа на балочную.

Под грузом образуется пластический шарнир, распространя­ ющийся на всю ширину плиты, как это показано на рис. 5.7, а. Для достаточно широкой плиты механизм разрушения является местным и будет приближаться к рассмотренному в п. 5.1 слу­ чаю бесконечно протяженной плиты (рис. 5.7, б). Эти две схемы фактически возникают в каждой плите, но в большинстве случа­ ев главное значение имеет одна из них, влияние же второй ока­ зывается незначительным.

108

В результате наложения обоих эффектов конфигурация мест­ ного конуса деформаций изменяется. Наличие балочного линей­ ного шарнира сокращает размер пластического конуса в направ­ лении линейного шарнира. В результате этого основание пласти­ ческого конуса из круга превращается в сплюснутую кривую, изображенную на рис. 5.7, в. Длина кругового пластического шарнира, соответствующего основанию конуса, а также длина образующих конуса уменьшается, поэтому предельная нагруз­ ка Р теперь будет меньше, чем Рп для бесконечной плиты, и больше, чем PQ для балочной плиты: PQ^ P ^ P H- Для бесконеч­ ной плиты величина предельной нагрузки была определена из

В этой формуле в первых двух слагаемых учитывается влияние работы пластических моментов в круговом шарнире и шарнирах, возникающих по образующим конуса. Последний интеграл учи­ тывает реакции основания в пределах пластического конуса.

Для балки величина предельной нагрузки определялась по формуле

Для плиты после интегрирования получим:

Рп = 4лМпл -f — nr2 (qMaKC— qr) + — nr2qr.

Упрощенным порядком эту задачу можно будет решить, если проследить процесс образования пластических областей, начи­ ная с упругой стадии работы плиты. Как известно, расчет пря­ моугольной плиты на упругом полупространстве представляет довольно сложную задачу, которая решается численным мето­ дом. Поэтому не будем делать такого расчета, а попробуем пу­ тем рассуждений и применения общих теорем предельного состо­ яния получить величину предельной нагрузки для комбиниро­ ванной схемы образования пластических шарниров.

Рассмотрим плиту с отношением сторон — =0,5. Определим

для нее величину балочной предельной силы. Предполагая, что шарнир образуется в середине пролета по всей ширине плиты, получим:

Рб = м пл с0

109