книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

После решения уравнений найдем:

= 119,8 тс\ Л'2 = 262 tm-, Х3 = 311,4 mc-, Xt = 519,8 тс. Переходим к третьему приближению. Теперь получим:

В рассмотренном примере нет необходимости определять пре­ дельную нагрузку, так как размеры сооружения зависят от це­ лого ряда условий, поэтому по найденному изгибающему момен­ ту можно подобрать наиболее целесообразные толщину понура и соответствующее армирование.

4.9. Регулирование реакций основания

Использование основания переменной жесткости позволяет подойти к решению задачи о регулировании реакций основания и отысканию оптимального их распределения путем соответст­ вующего изменения контактных давлений между балкой и осно-

90

ваиием. Регулирование распределения реакций основания может быть достигнуто путем искусственного изменения жесткости ос­ нования по длине пролета балки нлп путем устройства допол­ нительного слоя между балкой и основанием.

Условие совместности деформаций по линии контакта запи­ шем в таком виде:

где ук— осадка точки /г упругого основания от всех сил Хь, при­

Условие оптимизации реакций основания запишем так, чтобы во всех точках контакта полученная интенсивность реакций осно­ вания была меньше заданной рКякс-

Хотя эта задача относится к классу нелинейного программи­ рования, так как целевая функция линейна, а ограничения не­ линейны, тем не менее ее приближенное решение может быть найдено. Для первого приближения используем решение в упру­ гой стадии, из которого можно определить, какого вида функцию Ауи■следует принять. Эту функцию задаем с точностью до не­ скольких параметров, которые определяем из условий (4.10) и (4.11). Например, для Ауи можно взять полином второй степени

иподставить в уравнение (а). Тогда получим

—(ук 4- aayfc) -I- Zk -f у0 + акср0 — ах2 — Ьх — с = 0. (4.13)

91

Параметры а, b и с подберем так, чтобы нашіучшпм образом удовлетворялось условие (4.11).

В такой постановке задача минимизации реакций основания для решения требует проведения расчетов на ЭВМ. Поясним порядок вычислений на простом примере, который позволит убе­

кость основания в пределах пролета балки. Схема балки и основ­ ной системы показана на рис. 4.19. Для определения равнодейст­

92

торое характеризует жесткость основания. Силы же Хк опреде­ лим из условия равномерного распределения реакций по подош­ ве балки:

Для определения переменной толщины основания используем систему канонических уравнений, по в ней силы Хи будем счи­ тать известными, а за неизвестные принимаем толщины Ііи упру­ гого основания. Например, если пролет / балки разделен на пять частей, то, используя симметрию, получим три уравнения:

Неизвестными в этих уравнениях будут /г0, hh h2 и г/0. Из перво-

93

1. Оптимальная толщина обжимаемого слоя, соответствую­ щая равномерному распределению реакций основания, не зави­ сит от величины внешней силы Р. Это значит, что условие опти­ мального распределения реакций сохраняется при любых зна­ чениях силы Р.

2. Приращение толщины слоя Д/г по длине балки пропорцио­ нально длине пролета I и не зависит от наибольшей толщины слоя /г0, которая соответствует местным условиям. В связи с этим полученные выводы будут справедливы при условии, что наибольшая величина Д/гмакс будет меньше /г0:

^йіанс ■К.

При несоблюдении этого условия произойдет нарушение кон­ такта между балкой и основанием, и расчет нужно переделать с учетом выключения связей. Например, для указанных выше численных данных Ло^О,672 м. Определим величину предельной нагрузки в конце упругой стадии для рассмотренного примера из условий использования несущей способности основания пере­ менной жесткости:

Рассмотрим абсолютно жесткую балку, нагруженную силой в середине пролета и расположенную на упругом полупростран­

94

При равномерном распределении реакций по длине пролета по­ лучим:

2Х0 = Хх — Х2 = .

Подставляя эти величины в указанные выше уравнения, из

Подставляя значение t/o в остальные два уравнения, получим: а = 0,024 и /і//2= 11,5; — = / \ 1,5 = 2,25. С другой стороны,

Проделанные расчеты показывают, что оптимальные разме­ ры балки зависят от многих параметров, поэтому получается большое число ограничений, которые их связывают. В отличие от винклеровского основания для полупространства в матрице

95

жесткости меняются как главные, так и побочные коэффициен­ ты, поэтому параметр а должен иметь вполне определенное зна­ чение II недопустимо независимо менять входящие в него ве­ личины.

Предельная несущая способность балки в конце упругой ста­ дии должна быть проверена по двум сечениям. В сечении под грузом

пр

Расчетная предельная нагрузка соответствует Р” , так как

пластический шарнир образуется раньше в сечении, где изме­ няется высота балки. Если бы жесткость балки сохранялась по­ стоянной, то имела бы место концентрация к краю и величина предельной нагрузки была:

т. е. изменение жесткости балки позволило повысить Рпр на 25%.

Г л а в а 5

РАСЧЕТ ПЛИТ ’

5.1. Приближенное решение для бесконечной плиты

В плитах пластические области занимают часть сечения по толщине, затем вся плита переходит в пластическое состояние

[38].

96

Для построения расчета плит на упругом основании за пре­ делом упругости можно использовать приближенные способы [4] и [29], разработанные для плит, опертых по контуру, без упругого основания. Плита рассматривается как жесткопласти­ ческая система, в которой жесткие элементы соединены между собой пластическими линейными шарнирами. Для жесткой пли­ ты конечных размеров при центральном нагружении линейные пластические шарниры образуются в двух взаимно перпендику­ лярных направлениях, проходящих через центр плиты; в резуль­ тате этого плита разделяется на четыре части.

Гибкая плита бесконечных размеров, нагруженная сосредо­ точенной силой, может быть рассчитана приближенно, учиты­ вая образование линейных пластических шарниров по образу­ ющим конуса и кольцевого шарнира на его основании.

Величину предельной силы найдем, приравнивая работу внешней силы Рпр сумме работ моментов в радиальных и кра­

Наименьшее значение РПр получим, если первые два ин­ теграла будут равны 4я:

Расстояние г до кольцевого шарнира и интенсивность ре­ акций q могут быть определены из расчета по упругой стадии, учитывая тот факт, что кольцевой шарнир образуется там, где возникает наибольший отрицательный момент в бесконечной плите [10, 34]:

98

Сравним полученные значения Рпр с экспериментальными данными [10, 37], полученными для бетонной плиты толщиной 24 см, в этом случае (табл. 9):

</ма,<с = 0,123РП|

Измеренная в натуре нагрузка равнялась 70 тс.

5.2. Бесконечно жесткая квадратная плита

Для жесткой квадратной плиты, нагруженной в середине пролета, схема разрушения соответствует образованию таких пластических шарниров, при которых плита разрезается на че­ тыре части. Для определения наибольшей силы в упругой ста­ дии плиту разбиваем на 25 квадратов (рис. 5.1).

Д 2І 0 £ 5

1 7

Используя симметрию, будем вести расчет иа Vs часть пли­ ты, заштрихованную на чертеже. Для определения неизвестных составим семь уравнений. При вычислении коэффициентов уравнений обратим внимание на то, что к квадрату 1 прило­ жено восемь равных сил Х\, так как этот квадрат входит во все восемь частей плиты. К квадратам 2, 3, 4 и 6 приложены по две силы, а к квадрату 5 приложена одна сила.

Плита рассматривается как бесконечно жесткая, поэтому коэффициенты канонических уравнений будут зависеть только от деформации упругого полупространства. Значения F,-;t час-