книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

Рис. 6.4

130

132

133

Выданные на печать цифры расшифровываются следующим образом:

6.3. Определение пластических областей —в основании

Метод конечных элементов с успехом применяется для ре­ шения задач об исследовании упругопластического напряжен­ ного состояния различных систем [62, 45]. Используем этот ме­ тод для изучения образования пластических областей в упру­ гом основании, представляющем слой конечной толщины.

Для треугольной схемы сетки напряжения внутри каждого треугольника, примыкающего к данному узлу, различны, по­ этому за предел упругости перейдут сначала отдельные тре­ угольники, другие же останутся в упругой стадии. В п. 1.4 бы­ ли приведены общие формулы [46], позволяющие определить условия перехода за предел упругости участков упругого осно­ вания, которое в общем виде рассматривается как упругопла­ стический сжимаемый слой конечной толщины. Однако для уп­ рощения этой новой задачи сначала будет использован обыч­ ный критерий текучести:

^2 — 26,

где схі и 0 2 — главные напряжения; /г — предельное касательное напряжение.

134

Вычислим главные напряжения для единичной силы Д0= = 20 тс, приложенной на поверхности основания. Схема на­ грузки и полученные эпюры напряжений показаны на рис. 6 .5 — 6.7. Расчет ведется на 1 пог. см в направлении, перпендикуляр­ ном чертежу. Для подсчета напряжений используем формулы плоской задачи. Для треугольника 145 (см. рис. 6.5) получим:

Определяем разницу <ji— 0 2 и сравниваем с величиной 2 k, принятой для данного грунтового основания. Заметим, что тре­ угольник 145 при данной нагрузке первым переходит в пласти­ ческую стадию. Затем переходит в пластическое состояние тре­ угольник 125 и т. д. По данным этой схемы определяются гра­ ницы пластической области, которая возникает в упругом ос­ новании, однако это будет только первым приближением, так как при определении поля напряжений для всех треугольников принимался одинаковый упругий модуль деформации.

Для пластической области модуль деформации снижается, поэтому при определении реакций в узлах, возникающих от еди­ ничных смещений, следует это учесть и в формулы (6.4) — (6 .6 )

135

нейной диаграммы. Тогда величины реакций k uluj, возникаю­

щих в узле і от смещения узла / на единицу, будут в ß раз меньше, поэтому для треугольников, находящихся в пластичес­ кой стадии, значения реакций будут также в ß раз меньше по сравнению с упругими треугольниками; их можно вычислить по формуле

и основанием. Наметим ход решения для этой задачи, исполь­ зуя результаты, полученные в предыдущих разделах. Но для упрощения решения прикрепим балку к упругому основанию несколькими стержнями, как это показано на рис. 6 .8 , а. Для определения реакций в стержнях составим систему уравнений, приведенную на рис. 6 .8 , б. Сначала получим решение в упру­ гой стадии. Однако в отличие от задач, решенных в главе 2, коэффициенты матрицы жесткости вычисляем с учетом резуль­

a= с*Е0п/6(1 — (XQ) EJ.

136

и2 2 представляет собой прогиб высокой консольной балки от силы Хг=1, приложенной на ее конце. Этот прогиб был вычис­ лен в п. 6.2 и равнялся: оц=0,0117 м при Р о = 20 тс, I— 1 м, /г = 0,25 м; Ь — 0,1 м и £ '= 2 -10 6 тс/м2. Если эту балку рассмат­ ривать как тонкий стержень и использовать формулы, указан­ ные в п. 2.2, то получим 0^=0,016 м. Для высокой балки про­

гиб будет несколько меньше.

Вычислим отношение этих прогибов и получим переходный

. __0,0117

0,731.

~0,016

Формула для подсчета хшіь. будет теперь записана так:

отношению к точке k. Для всех перемещений, входящих в мат­ рицу жесткости, эти коэффициенты были вычислены. Опреде­ ление реакций основания в упругой стадии является первым приближением при решении упругопластической задачи, поэто­ му можно учесть тот факт, что Хіь. изменяется мало. При перехо­ де от одной точки к другой этот параметр для всех точек можно считать постоянным, тогда учет влияния высоты

137

6.5. Предельная нагрузка балки, определяемая из условия образования пластических областей в основании

в главе 2 , в свою очередь, влечет за собой изменение величины предельной нагрузки. Для определения границ пластической области в основании применим способ последовательных при­ ближений. Первым приближением будет расчет в упругой ста­ дии. Выполняя этот расчет с использованием конечных элемен­ тов, получим следующие значения сил Xf.

Силы Х і представлены в безразмерной форме для удобства дальнейших сравнительных подсчетов. Отметим, что концен­ трация реакций к краю балки получилась меньше, чем для бес­ конечно жесткой балки. Метод конечных элементов позволяет более точно определить концентрацию реакций к краю балки для высоких массивных фундаментных балок, которые обычно рассматриваются как бесконечно жесткие.

С помощью метода, конечных элементов в результате реше­ ния системы линейных уравнений определяются перемещения узлов сетки. Гіо этим перемещениям вычисляются напряжения, относящиеся к треугольным элементам. Однако к каждой уз­ ловой точке сетки примыкает несколько треугольников, поэто­ му для получения напряжений в узлах сетки приходится ус­ реднять полученные для треугольников напряжения.

Применяются разные способы усреднения в зависимости от желательной степени точности расчета. Для инженерных рас­ четов, связанных с грунтовыми основаниями, высокая степень точности вряд ли будет оправдана, так как реальные грунты имеют неоднородные свойства, что снижает теоретическую точ­ ность. Очень часто оказывается вполне достаточно использовать среднее арифметическое значение напряжений треугольников, сходящихся в узле.

Таким образом, полученное в упругой стадии решение явля­ ется первым приближением для выявления последовательности образования пластических областей в упругом основании. По­

138

строим эпюры напряжений в упругом основании от сил Х{, при­ ложенных на поверхности упругого основания. В данном случае рассматривается упругопластическнй слой конечной толщины, поэтому используем решение, полученное для одиночной силы Р0 в п. 6.3. Напомним, что решение произведено пока в упругой ста­ дии и можно применить принцип наложения. Например, под­ считаем напряжения:

(ffji = — 13,25 ■0,1 — 7,9 • 0,2 • 2 — 0,92 • 0,25 • 2 = — 4,89Р,Р0І

(<г,)а == — 13,25-0,2 — 7,9 (0,25 + 0 ,1 ) — 0,92-0,2 = — 5,6Р/Р0.

Втаком порядке продолжаем вычисления и находим оѵ, ах

иХху для всех треугольников сетки. По этим напряжениям оп­ ределяем главные напряжения щ и а2 также для всех треуголь­ ников и сравниваем значение полуразности с предельным сдви­ гающим напряжением, характерным для пластического течения.

Для построения границы пластической области на рис. 6 . 1 0 в каждом узле треугольника сетки записана величина разности <7 і— 0 2 главных напряжений. Напряжения на этой схеме даны в относительных единицах. Граница пластической области за­ висит от величины 2 /г, которая характеризует текучесть в дан­

жней балки, т. е. пластическая область в основании сравнитель­ но невелика и занимает участок около 0,25 I в середине проле­ та балки. Перераспределение реакций будет происходить за счет того, что при вычислении матрицы жесткости и решении контактной задачи придется увеличить соответствующие коэф­ фициенты, стоящие при X. Так, например, при подсчете 6 0о вхо­ дящая в эту формулу осадка будет складываться из двух ча­ стей: (уоо)упр — упругое и (г/оо)пл — пластическое:

упр

Увеличение одного столбца матрицы жесткости, как это име­ ет место в настоящем случае, приведет к соответствующему уменьшению силы Хй и увеличению сил Х\ и Х2. Теперь силы будут такие: 2Уо=0,04 Р; Хі = 0,22 Р и Х2=0,26 Р. Эти цифры показывают, что силы, приложенные к упругому основанию с учетом образования в нем пластической области, изменились незначительно, поэтому делать новый расчет нецелесообразно.

Если предел текучести 2 k уменьшить до 16 Р/Ро, то пласти­ ческая область будет увеличиваться в глубину основания; по длине балки пластическая область почти сохраняет свои раз­ меры. Можно предвидеть, что на долю 2 Х0 придется еще мень-

139