книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

Распределение реакций для других соотношений Іі0/с для бес­ конечно жесткой балки указано в табл. 8.

Таблица 8

Значения коэффициентов неравномерности реакций

П р и м е ч а н и е . / — пролет балки; b— ширина балки; Л0 — толщина

слоя; с— IJ9.

Рассмотрим балку, расположенную на упругом слое перемен­ ной толщины. Она имеет пролет I, ширину Ь и нагружена сосре­ доточенной силой Р в середине пролета балки. Верхний слой упругого основания подчиняется гипотезе Винклера и имеет мо­ дуль деформации Е ь Упругий слой расположен на упругом по­ лупространстве, для которого модуль деформации равен Е0.

В расчетной схеме разбиваем пролет на четыре участка и в середине каждого располагаем упругий стержень-пружину. Для каждого участка длина стержня-пружины различна и соответ­

Для определения неизвестных составляем систему из шести уравнений. Коэффициенты этой системы уравнений вычисля­ ются, как указано в п. 3.1, но при вычислении главных коэффи­

60

постоянной толщины. Снижение концентраций реакций получе­ но с той стороны балки, где имеется большая толщина обжи­ маемого слоя. На противоположной стороне балки концентра­ ция увеличивается за счет увеличения жесткости основания. За­ тем определяется Р0 аналогично тому, как это было сделано для слоя постоянной толщины.

3.2. Определение предельной нагрузки

Рассмотрим балку, нагруженную силой в середине пролета, расчетная схема которой указана на рис. 3.3. После образова­ ния пластического шарнира в балке под грузом наблюдается интенсивное нарастание реакций в зависимости от соотношения жесткостей балки и упругого основания и величины внешней си­ лы. Расчет выполняется так же, как это было указано в п. 2.3, с учетом особенностей двухслойного основания.

Увеличение силы в три раза влечет увеличение интенсивно­ сти реакций под силой в шесть раз. Прогибы под грузом за пре­ делом упругости нарастают медленнее, чем реакции (рис. 3.4, а

61

Упругое полупространстЬо

Эпюра реакций

Рис. 3.4

увеличении силы в три раза прогиб увеличивается в четыре ра­ за. Для определения величины предельной внешней силы Pnp будем задавать значение наибольшего предельного прогиба бал­ ки путем умножения наибольшего прогиба у0, полученного в конце упругой стадии, на численный коэффициент /г.

Изменение Рар в зависимости от жесткости балки показано на рис. 3.4, а. Из графика видно, что более жесткие балки при больших значениях k имеют меньшую грузоподъемность при одинаковом относительном предельном прогибе. Характерным является тот факт, что уменьшение жесткости балки или увели­ чение модуля деформации Е0 основания может вызвать увели­ чение предельной нагрузки. Можно указать наиболее выгодное значение а, соответствующее наибольшей грузоподъемности бал­

62

Упругий слой, расположенный между балкой и полупрост­ ранством, оказывает влияние на распределение реакций упруго­ го основания, в результате чего происходит снижение концент­ рации реакций к краю балки. При переходе балки за предел упругости наличие упругого слоя вызывает увеличение реакции основания и прогибов балки в середине пролета за счет дефор­

мирования слоя.

р

Например, при —іі£_=з для однослойного основания qNaкс=

Р,

= 4 q0. Если же имеется двухслойное основание с верхним сло­ ем толщиной ho=l, то <7макс = 7,5 <7о. Это объясняется увеличени­ ем деформаций верхнего слоя упругого основания, который под­ чиняется гипотезе пропорциональности.

Рассмотренный случай соответствует такому состоянию си­ стемы, при котором за предел упругости переходит балка. Упру­ гое основание на всем протяжении деформирования остается в упругой стадии.

Теперь остановимся на противоположном случае, когда бал­ ка при увеличении нагрузки сохраняется в упругой стадии, а за предел упругости переходит упругое основание. Этот случай бу­ дет более простым, так как величину предельной силы Рпр мож­ но найти исходя из условия, что эпюра распределения реакций под балкой будет иметь вид прямоугольника с наибольшей ор­ динатой <7пр, II поэтому изгибающий момент под грузом будет равен <7 np^2/S; для РПр получим

Более внимательное рассмотрение этой задачи показывает, что процесс перехода эпюры реакций из упругой стадии в пла­ стическую протекает по-разному для жестких и гибких балок.

У жесткой балки наблюдается концентрация реакций к краю, поэтому Стпр будет возникать сначала у края балки, затем по ме­ ре увеличения нагрузки участок оПр будет увеличиваться к сере­ дине пролета.

Для гибкой балки оПр будет возникать сначала под грузом, затем участок апр будет увеличиваться к краю балки, т. е. вы­ равнивание напряжений происходит от середины к краю. Вели­ чина Рщ, в обоих случаях будет вычисляться по формуле (3.8).

Более сложную задачу получим, если пластическая область упругого основания не успеет распространиться по всему про­ лету и в опасном сечении балки образуется пластический шар­ нир; в результате этого жесткость ее изменится и произойдет перераспределение реакций основания; при этом предельная сила Рпр будет меньше той, которая вычислена по формуле (3.8).

На распределение сил в этом смешанном случае существен­ ное влияние оказывает гибкость балки. Для жесткой балки (а —0) наибольший момент под грузом, определенный по упру-

63

гой стадии, равен: МП]>— — — , а по предельному состоянию

пять раз.

На рис. 3.5 показано распределение реакции и моментов, по­ лучающееся при постепенном переходе основания в пластическое

d участок, в пределах которого реакции основания не выходят за предел упругости. Длину этого участка найдем из уравнения равновесия

64

Из формулы (3.13) видно, что коэффициент г] зависит от от-ч

°пр

основания и балки, а также от соотношения геометрических раз­ меров балки.

Следует иметь в виду, что формула (3.12) справедлива при

условии, что — — > 2, которое имеет физический смысл, а имен-

но: балка должна быть достаточно гибкой, чтобы в ней образо­ вался пластический шарнир раньше, чем упругое основание на всем пролете балки перейдет за предел упругости.

На рис. 3.6 построены кривые изменения ц в зависимости, от

1=2 м и толщина Іі=0,2м, то из графика получим г|= 0,5, Рщ>= = 0,5 <7пр/=0,5-40-2=40 тс.

При увеличении толщины балки предельная нагрузка будет возрастать только до известного предела, который равен

балки нецелесообразно, так как грузоподъемность от этого не увеличится.

Для каждой балки можно также указать нижнюю границу

зует несущую способность материала балки и упругого основа­

эпюра реакций по длине балки будет иметь постоянные ордина­ ты и под грузом образуется пластический шарнир.

3.3. Применение групповых эпюр

Объем вычислений можно сократить в результате примене­ ния групповых неизвестных. В этом случае за неизвестные при­ нимаются группы сил. В математическом смысле это равноцен­ но разложению эпюры реакций упругого основания в ряд по тем или иным фундаментальным функциям. Чаще всего для это­ го используют тригонометрические функции.

Применяется смешанный способ или способ сил. В основной системе балка отделяется от упругого основания (рис. 3.7) и по плоскости контакта прикладываются реакции р,-, представлен­ ные следующим рядом:

6 6

При практических подсчетах ограничиваются конечным чис­ лом членов ряда (3.14) и для определения сил X; составляется, система канонических уравнений:

Вформулах (3.15) и (3.16):

у0 — осадка заделки;

Перемещение балки ѵш вычисляется с учетом упругопластическпх участков балки; обобщенное перемещение упругого осно­ вания Уіи состоит из перемещения упругого полупространства и деформаций верхнего слоя:

ц 0— к о э ф ф и ц и е н т П у а с с о н а о с н о в а н и я ;

Уік— простое перемещение данной точки упругого полупро­ странства от единичной группы сил.

Второе слагаемое формулы (3.18) отличается от нуля толь­ ко для главных коэффициентов уравнения (3.15). После реше­ ния уравнений (3.15) получим силы Х і п построим эпюры реак­ ций п моментов. Если Л4маі(С будет больше момента Л<Г, который соответствует возникновению пластического состояния только в крайнем волокне опасного сечения балки, то балка будет ра­ ботать в упругопластической стадии. Первый интервал расчета по упругой стадии заканчивается, тогда внешняя обобщенная

нагрузка имеет величину Р0, уменьшенную в я — —1 с- раз по

Л'10

■сравнению с заданной.

Второй расчет выполняем для того значения п=іі\, при ко­ тором в опасном сечении образовались пластический шарнир и момент равен МплДля прямоугольного сечения балки я=1,5.

Теперь нагрузка равна 1,5 Ро, и в основной системе для бал­ ки изменяем расчетную схему, учитывая пластический шарнир (см. рис. 3.7, в). Перемещения балки вычисляются для новой расчетной схемы балки. Для определения групповых сил Хі со­ ставляется новая система уравнений (3.19):

где у\ — смещение дополнительного опорного стержня. Дополнительных уравнений теперь будет три:

После решения уравнений (3.19) найдем новые значения групповых сил Хі и построим эпюру моментов, которая позво­ лит найти положение второго пластического шарнира и новое значение параметра п = п 2, характеризующего величину внеш­ них сил. Если заданная нагрузка меньше п2Ро, то второго шар­ нира в балке не образуется, и указанная на рис. 3.7, в расчетная схема.может быть использована для заданной нагрузки. В про­ тивном случае расчет надо проделать вновь для новой расчетной схемы балки с двумя пластическими шарнирами. Образование одного или нескольких пластических шарниров в балке еще не превращает систему в изменяемую [34], поэтому в данной за­ даче понятие «предельная несущая способность» принимает не­ сколько иной смысл, чем в обычных системах, и определяется из условий нормирования наибольшей реакции упругого осно­ вания <7макс или наибольшего прогиба балки г/ма,ІС:

6 8

3.4. Предварительно-напряженная балка на слое конечной толщины

Если балка имеет предварительное напряжение, которое осу­ ществляется с помощью прямолинейной арматуры, расположен­ ной с некоторым эксцентрицитетом относительно центра тяже­ сти сечения, то расчет в упругой стадии сводится к интегриро­ ванию обычного дифференциального уравнения изгиба балки, расположенной на упругом основании, подчиняющемся гипоте­ зе пропорциональности

Ограничимся сначала определением реакций основания и моментов только от предварительного напряжения. Для этого нужно проинтегрировать однородное дифференциальное уравне­ ние, учитывая, что на концах балки Qo=0 и М0=Ѵе. Тогда для прогиба получим такую формулу:

Начало координат расположено в середине пролета балки. Функции Гр II г| 4 представляют собой гиперболо-тригонометриче­ ские функции:

% = cos I cos Щ и г|4 = sin gsin hi

Моменты, возникающие на концах балки, довольно быстро затухают. Так, например, по данным [55], получаются эпюры

69