книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

тонными междуэтажными перекрытиями и ленточными фунда­ ментами; нагрузка и реакции упругого основания равномерно распределены по длине пролета.

Для большей ясности рассуждений пренебрежем влиянием изгибающих моментов в колоннах. Попробуем представить иг­ ру сил в этой упругой системе и выяснить, будет ли иметь мес­

цией грунта); опорами этой балки являются колонны. Таким об­ разом, нагрузка на балку действует снизу вверх, а опорные ре­ акции — сверху вниз.

Осадка опор этой балки будет одинаковой, если реакции ее опор равны соответствующим реакциям неразрезиой балки па жестких опорах. В этом случае сооружение деформируется так, что у подошв колонн нижнего этажа будут обязательно одина­ ковые осадки.

На рис. 7.2 изображен ленточный фундамент, отделенный от колонн. Для того чтобы осадка фундамента была равномерной,

изгибающие моменты. Если эти условия не соблюдены, то фун­ дамент представляет собой балку на упругих опорах и осадка фундамента является неравномерной.

Определим силы R0, Ri и Д2 как реакции, возникающие в ко­ лоннах каркаса от внешней нагрузки. Для этого рассмотрим сначала верхний этаж, затем следующий книзу и так дойдем до фундамента.

Перекрытие верхнего этажа представляет собой неразрезную балку с заданной равномерной нагрузкой. Значит, реакции в колоннах, которые легко определить, не будут одинаковыми. Как известно, наибольшие реакции наблюдаются в средних ко­ лоннах, наименьшие — в крайних. Реакции будут одинаковыми, если колонны получат разные осадки, причем наибольшую осад­ ку получит средняя опора, а наименьшую — крайние.

150

Для промежуточных этажей схема останется такой же, но кроме нагрузки, расположенной в пределах перекрытия, доба­ вятся реакции от колонн верхнего этажа. Из схемы распределе­ ния сил для промежуточного этажа видно, что абсолютная ве­ личина разности реакций при переходе от этажа к этажу на­ капливается н, следовательно, наибольшая разность реакций будет в нижнем этаже.

Если в результате изгиба перекрытия верхнего этажа реак­ ции в колоннах одинаковые, то для промежуточного этажа полу­ чим схему нагрузки, представ­ ленную на рпс. 7.2. Поскольку все реакции верхних колонн оди­ наковы, то изгиб промежуточного этажа будет вызван только той нагрузкой, которая к нему прило­ жена. Если жесткости, а также нагрузка всех этажей одинаковы, то упругие линии всех этажей бу­

дут иметь одинаковую форму.

Таким образом, верхняя часть здания при одинаковых зна­ чениях реакций колонн До, Ді и Д2 должна изогнуться так, что­ бы крайние колонны поднялись, а средниё опустились. Это яв-

ление можно объяснить еще следующим образом. Предполо­ жим, что междуэтажные перекрытия по длине здания представ­ ляют собой неразрезные балки, лежащие на жестких опорах, а опорные реакции, приходящиеся на колонны, различны. Эпюру опорных реакций (рис. 7.3, а) можно разложить на две, из ко­ торых одна (рис. 7.3, б) имеет одинаковые ординаты, а другая (рис. 7.3, б) представляет собой уравновешенную систему сил. Следовательно, чтобы перейти к равным реакциям колонн, сле­ дует к заданной нагрузке добавить с обратным знаком уравно­

151

вешенную систему сил, показанную на рис. 7.3, в. Эти силы, хотя и представляют уравновешенную систему сил, главный век­ тор которой равен нулю, однако вызывают изгиб здания -в про­ дольном направлении. Поэтому часть здания выше фундаментов будет после деформации иметь вид, схематически изображенный па рис. 7.4.

Фундаменты же при хорошо подобранных консолях. имеют одинаковые реакции колонн п одинаковые осадки, поэтому в пределах нижнего этажа условия неразрывности деформаций при данной системе сил не будут удовлетворяться. Этот вывод мо­ жно, конечно, было предвидеть заранее, так как противоречие вытекает непосредственно из того приближенного приема, с помо­ щью которого на практике под­ считывают нагрузки для фунда­

ментов, принимая все пролеты перекрытия за балки, свободно лежащие на двух опорах.

Для того чтобы удовлетворить условиям неразрывности, сле­ дует к рассмотренной системе сил добавить дополнительную уравновешенную нагрузку, которая должна, с одной стороны, несколько выпрямить изогнутый каркас здания, а с другой — изогнуть фундамент.

О неравномерности осадок фундамента можно судить, если сделать его расчет от нагрузки, указанной на рис. 7.5. В простей­ шем случае осадки фундамента не будут одинаковыми по дли­ не здания. Наибольшая разница в осадках наблюдается у край­ них колонн. Для средних пролетов разница в осадках невелика, так что при большой длине здания дополнительная нагрузка, изгибающая здание, будет возникать вблизи крайних колонн, средние же колонны будут испытывать лишь незначительные до­ полнительные усилия.

Интенсивность нагрузки q определяется так, чтобы соблю­ дались условия равновесия.

Полученное решение будет, однако, лишь первым прибли­ жением, так как даже после приложения к фундаменту и к верх­ ней части здания уравновешенной системы сил мы не получим полного совпадения вертикальных смещений здания и фунда­ мента, т. е. неразрывность деформаций в полной мере не будет соблюдена, хотя величина ошибки будет все же значительно меньше, чем при обычном расчете.

Более точное решение можно получить, если сравнить сме­ щения верхней части здания н фундамента и добавить новую уравновешенную нагрузку, пропорциональную разнице получен­ ных смещений соответствующих точек. Эта нагрузка даст вто­ рое приближение, более отвечающее действительному распреде­ лению усилий и деформаций в системе. Но и после, второго

152

приближения мы не получим полного соблюдения условий не­ разрывности. За вторым приближением в случае необходимости может последовать третье, четвертое и т. д.

Для практических подсчетов нет необходимости вычислять много приближений, так как обычно уже первое приближение дает хорошее совпадение перемещений.

7.2. Метод решения задачи и составление общих уравнений

Для решения поставленной задачи используем приближен­ ный метод. Идея его состоит в том, что сооружение отделяется разрезом от фундамента и по плоскости разреза прикладыва­ ются силы, заменяющие взаимное действие фундамента и зда­ ния. Эти силы пока еще неизвестны, а потому сначала примем произвольный закон их распределения по линии разреза; на­ пример, при симметричной нагрузке можно принять, что эти силы распределены равномерно по линии разреза.

Случайно выбранная система сил должна, конечно, нахо­ диться в равновесии как с заданной нагрузкой, приложенной к зданию, так и с давлением на фундамент. Если пренебречь влиянием изгибающих моментов, возникающих в головах ко­ лонн, и предположить, что колонны шарнирно связаны с пере­ крытиями, то взаимодействие между зданием и фундаментом будет представляться только нормальными силами, направлен­ ными вдоль колонн. Принимая для этих сил постоянную вели­ чину, мы тем самым допускаем независимый изгиб здания и

линии разреза между зданием и фундаментом получится зазор вследствие неравномерного распределения истинных напряже­ ний, возникающих по линии контакта.

Для улучшения контакта приложим по линии разреза допол­ нительную уравновешенную систему сил, распределенную по длине здания по закону косинуса пли синуса; наибольшая ор­ дината этой нагрузки будет неизвестна. От этой нагрузки най­ дем перемещения соответствующих точек здания и фундамента

Второе слагаемое, т. е. перемещение точки от уравновешен­ ной нагрузки, следует при этом умножить на произвольный па­ раметр, характеризующий интенсивность дополнительной на­ грузки. Для определения этого параметра необходимо сравнить эпюры перемещений здания и фундамента по линии контакта. При сравнении следует потребовать, чтобы разница между эти­ ми эпюрами была минимальной, т. е. в данном случае возника­

153

ет задача определения величины параметра из условия обра­ щения функции в минимум. Для решения такой задачи умест­ но применить способ наименьших квадратов. Таким образом, схема решения общей задачи определения осадок каркасного

нием и фундаментом. Первые две задачи решаются независимо одна от другой; задача контактная связывает в одно целое зда­ ние и фундамент и дает окончательные величины перемещении и осадок фундамента здания.

Изложим сначала принципиальную схему решения контакт­ ной задачи. Для этого отделим фундамент от каркаса здания и приложим по линии разреза вдоль осей всех колонн те реакции, которые получены из элементарного расчета без учета неразрезности. Подсчитаем вертикальные смещения, которые полу­

Приложим теперь по линии разреза дополнительную урав­ новешенную вертикальную нагрузку, которую представим в ви­ де ряда Фурье:

Р = S Апcos ах -f ЪВп sin ß,..

Каждый член этого ряда может рассматриваться как само­ стоятельная группа сил. Масштабом для такой группы будет служить коэффициент Ап. Дадим этому коэффициенту значение, равное единице, и займемся одним членом ряда.

ремещение точек здания на линии разреза от всех сил будет:

полное перемещение соответствующих точек фундамента:

°Ф = °Ф + 2 Л ,^ Л).

Если дополнительная нагрузка подобрана точно, то переме­ щения соответствующих точек Оф и ѵэп должны быть между со­ бой равны. Это будет точным решением задачи, но для этого надо взять бесчисленное число членов ряда, отвечающего допол­ нительной нагрузке. При практических подсчетах приходится ог­ раничиться только несколькими членами ряда, поэтому абсо­ лютно точного совпадения эпюр перемещений здания и фунда­ мента не будет; следует, однако, потребовать, чтобы разница

154

между эпюрами перемещений была минимальной. С математи­ ческой точки зрения, в данном случае получаем задачу о приб­ лижении функции.

Такого рода задачи рассматриваются в теории интерполиро­ вания, и наиболее распространенным способом их решения яв­ ляется способ наименьших квадратов. Существо этого метода состоит в том, что для получения минимальной разницы в эпю­ рах перемещений обращают в минимум интеграл Стплтьеса:

ь

J = [ [Р (х) — f (.ѵ)]2 dty (х) = min,

а

где Р{х) и f(x) — приближаемые функции;

ф(,ѵ) — интегральный вес, который в нашем случае име­ ет постоянную производную, поэтому гіф(х) = = pdx и интеграл принимает такой вид:

ь

J = j [Р {х) — f (x)\2dx = min.

а

Заменяем:

Р (Х) = Изд = Узд

f(x) = -VQ = - [ b l + Z A avp].

Тогда получим:

Для того чтобы интеграл такого вида имел минимум, необходи­ мо подобрать параметры Ап с таким расчетом, чтобы частные производные подынтегрального выражения по этим параметрам обращались в нуль, т. е.

Для вычисления этих производных преобразуем подынтеграль­ ное выражение так:

L

155

Такие уравнения нужно составлять для всех параметров. Обоз­ начим:

необходимо решить полученную систему линейных уравнений. После того как будут определены параметры Л|, А2, .... можно определить реакции, возникающие вдоль колонн по липни раз­ реза, по формуле

— 4- Л„ cos Л2 C O S у - х,-\...... ,

или в общем виде эта формула будет записана так:

R t = R°t + % А п c o s ^ - x , . ,

где R®. — реакция в данной колонне і, полученная без учета неразрезностн.

С помощью найденных реакций Ri нужно найти прогибы фундамента. Для определения эпюры осадок фундамента, сое­ диненного с каркасом здания, можно использовать эпюры, ко­ торые будут построены для вычисления коэффициентов 8ц{. Тогда

На этом заканчивается расчет фундамента в продольном на­ правлении.

В поперечном направлении расчет выполняется таким же

156

порядком, но для нескольких поперечных сечений. Для этого из здания выделяют в поперечном направлении полосу шириной, равной расстоянию между осями колони. Для этой полосы от­ делим фундамент от здания; по линии разреза прикладываем равномерно распределенные реакции, уравновешивающие внеш­ нюю нагрузку, приложенную к выделенной полосе, — это будет основное напряженное состояние; к нему добавляем дополни­ тельные состояния в виде уравновешенных нагрузок, распреде­

ленных по закону Кп cos —л— , где b — ширина здания. Неопре­

деленные параметры Кп находим, решая контактную задачу так же, как при расчете в продольном направлении. Осадки в попе­ речном направлении в общем виде определяются по формуле

Уф = у; + ЕД„у<»).

Коэффициент неравномерности ц; в точке і получается путем деления осадки на величину средней ординаты:

Чтобы определить пространственную эпюру осадок ѵ, необ­ ходимо среднюю ординату Нф, полученную из расчета в продоль­ ном направлении, умножить на коэффициент неравномерности г), тогда

Ц= 1ЩФ.

Для практического расчета каркаса в поперечном направле­ нии необходимо на плане здания нанести сетку п для каждой вертикали вычислить сначала среднюю осадку, решая задачу в продольном направлении, затем вычислить коэффициент не­ равномерности ц пз расчета в поперечном направлении для каждого луча сетки. Умножая гц на среднюю осадку, получим действительную осадку в данной точке. По этим ординатам бу­ дет построена пространственная эпюра осадок, которую для наглядности можно изобразить при помощи горизонталей. Та­ ким образом, применяя изложенный метод решения, мы получим в результате пространственную эпюру осадок здания. Эпюра будет отражать те особенности, которые вытекают из разной жесткости конструкций здания. По этой эпюре определяется предельная осадка или предельная разница осадок.

157

7.3. Особенности расчета, зависящие от конструкции фундамента

(сплошные плиты, ленточные фундаменты, отдельные столбы)

Все приведенные рассуждения относятся к наиболее распро­ страненным ленточным фундаментам. Однако нередко много­ этажное здание располагают на сплошной плите. В этом случае расчет будет иметь отличительные особенности, вытекающие из различия между плитой и балкой. Расчет здания, отделенного от фундамента, останется без изменений, так как перемещения самого здания вычисляются независимо.

При расчете фундамента в продольном направлении плита рассматривается как балка с шириной поперечного сечения, рав­ ной ширине здания. Момент инерции ее вычисляется как для плиты прямоугольного сечения, без учета цилиндрической жест­ кости, так как длина здания обычно значительно больше его ширины. Для коротких зданий цилиндрическую жесткость не­ обходимо учитывать, ибо это несколько увеличит момент инер­ ции плиты. При расчете в поперечном направлении пз плиты выделяется полоса шириной, равной расстоянию между осями смежных колонн. В этом случае обязательно следует учитывать цилиндрическую жесткость плиты.

При дальнейшем уточнении вычислений представляется воз­ можным отказаться от независимых расчетов в продольном и поперечном направлении, которые можно связать, но для этого необходимо вычислять перемещения плиты, вызванные нагруз­ кой, приложенной в отдельных точках. Однако в общем виде решение такой задачи слишком громоздко, проще пояснить его на численном примере (см. п. 7.4).

7.4. Примеры расчета

Определим осадки многоэтажного здания, представленного на рис. 7.6, а. Для сокращения объема вычислений и использо­ вания симметрии округлим размеры здания, чтобы получить одинаковые пролеты между колоннами. Из чертежа видно, что поперечные сечения ригелей рам по всем этажам одинаковы, за исключением нижнего этажа и кровли. Ригели нижнего эта­ жа имеют более мощное поперечное сечение, а ригели кровли —

го напряженного состояния считаем реакции колони одинаковы­ ми, выделяем нижний этаж и получаем для него расчетную схе­ му, указанную на рис. 7.4 (для ясности на этой схеме не показа­ ны силы, передающиеся от поперечных балок непосредственно па

158

колонны, так как они уравновешиваются реакциями колони и не вызывают изгиба здания).

Ввиду того что сосредоточенные силы расположены довольно близко одна от другой, для аналитического выражения эпюры прогибов можно принять выражение, получаемое при равно­

Рис, 7.6

Для дополнительных напряженных состояний перемещения от уравновешенных нагрузок определяем по формуле

От первой нагрузки, соответствующей первому члену ряда, по­ лучаем:

для здания

Коэффициенты в уравнениях контактной задачи вычисляем по формулам:

159