книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

распределения моментов, указанные на рис. 3.8. При величине предварительного напряжения вдоль балки Е=12,9 тс/пог. м и

В этом случае момент от нагрузки выражается такой фор­ мулой:

М = — LPe~s sin

Наибольший по абсолютной величине момент получим при

ШмпксІ = LPe~m = 0,475 l.P0.

В этом случае момент от предварительного напряжения ра­

вен

М ѵ = 0,8 Ѵе.

Суммарный момент получается следующий: Мпр = 0,475 LP + 0,8 Ѵе.

С другой стороны, Л4пр=аПр25оПоэтому, приравнивая их, най­ дем

Эта сила соответствует возникновению пластического шар­ нира в балке, если груз расположен на краю.

Если же груз расположен в середине пролета, то

70

Простое сопоставление этих сил не дает правильного пред­ ставления о влиянии точки приложения силы на величину несу­ щей способности балки, так как в этом расчете не учитывалось влияние продольной силы, возникающей от продольного напря­ жения, как это было сделано в п. 2.12.

Тем не менее относительное представление о снижении не­ сущей способности балки при расположении груза на краю мож­ но сделать, если вычислить отношение Р\/Р[ :

Мз этой формулы видно, что слишком большое предвари­ тельное напряжение может понизить величину несущей способ­ ности балки при расположении груза на краю при соответствую­ щем неблагоприятном знаке эксцентрицитета силы предвари­ тельного напряжения. Для численных данных, указанных выше, ЯІ/Я; = 0,5(1—0,1) =0,45; Р\ =2,22 Р и

3.5. Ростверки на упругом слое

Жесткопластический анализ ростверков, расположенных на упругом слое, можно сделать, применяя уравнение равенства работ внешних и внутренних сил для разных расчетных схем.

Простейший ростверк, состоящий из двух балок (рис. 3.9) и на­ груженный в центре силой Р, перейдет в пластическую область после образования четырех шарниров в центре. Подсчитаем ра­ боту внутренних сил в шарнирах и реакций упругого основания:

W = Ш 0Ѳ+ - J (0с + а) 4.

71

Работа внешних сил

Т = РЫ -!- Ра = Р (Ѳ/ + а).

Приравнивая эти два выражения, получим:

р._. Ша I (I — а)

г - nt PI

Если ввести ооозначенпе Р* = — , то получим

(1 - а )

Тогда />*—4= 4; Р* = 8.

Этот расчет выполнен в предположении, что отдельные участ­ ки балок являются абсолютно жесткими и поворачиваются в шарнирах; благодаря этому работа равнодействующей реакций упругого основания выражается через угол поворота сечения, примыкающего к шарниру. Если же учесть изгиб каждой балки, то получим такую формулу для работы внутренних сил:

этот прогиб можно подсчитать по формуле

как для балки, заделанной одним концом. С учетом изгиба бал­ ки работа будет записана так:

Работа внешней силы будет равна:

Т = РЫ + Ра = Р(Ы + а).

Приравнивая эти два выражения, найдем:

4Л40Ѳ+ — (Ѳс+fl — — )4 = Я(Ѳ/+а).

Но из условий равновесия вытекает, что момент реакций от­ носительно шарнира равен моменту в пластическом шарнире, поэтому

Из этой формулы видно, что с увеличением Р значение с умень-

72

шается, в результате чего реакции основания сильно возрастают в середине пролета, т. е. в точке приложения внешней силы. Ес­ ли по-прежнему обозначить

3EJ ѲР* 3 )

Величину Р* для данных численных значений величин, вхо­ дящих в формулу, можно определить подбором. Анализ входя­ щих в формулу величин в общем виде показывает, что если бал­ ка будет бесконечно жесткой, то Р* = 8. Если сделать балку очень длинной и гибкой, то Р* будет уменьшаться.

Изменим теперь схему расположения балок ростверка, как это указано на рис. 3.10; тогда уравнение возможной работы бу­ дет записано для каждой балки так:

работа внешних сил T— P (Ql-\-a);

работа моментов в пластических шарнирах и работа реак­ ций основания

W = 2/Ио 0 + 2/?! (Ѳс -|- а) -I- # а (0/ + а).

В безразмерной форме получим

Задача усложняется, если рассмотрим ростверк, состоящий из шести балок, как это указано на рис. 3.11. В этом случае могут быть две разные схемы образования пластических шарни­ ров. Под действием нагрузки, приложенной в средней точке, шар­ ниры могут образоваться так, как это показано на рис. 3.11, а, т. е. может образоваться местная область, в которой исчерпана

73

несущая способность. Эта схема будет похожа на первый рост­ верк (рис. 3.9), для которого Р*= 8.

Для другой схемы образования пластических шарниров по­ лучим новое значение Р*. Если пластические шарниры образу­ ются в крайних панелях, то будем иметь такое уравнение для определения Р*\

а)

Рис. 3.11

Численный коэффициент а можно подсчитать из рассмотрения эпюры реакций основания, аналогично тому, как это сделано для ростверка, состоящего из трех балок.

Если считать реакции основания сосредоточенными в углах ростверка, в этом случае

1 — 0,625

Теперь следует убедиться в том, что для такой схемы распо­ ложения пластических шарниров имеется соответствующая си­ стема сил, удовлетворяющая условиям равновесия. В данном случае это затруднительно сделать, поэтому необходимо еще рассмотреть третью схему расположения пластических шарниров. Теперь работа внутренних сил равна:

W = (4 + 4 - і- 8) М0Ѳ+ а (40/Я + 2Ѳ/Р • 4 -j- ЫР -4) =

= 16М0Ѳ+ а - 16РІѲ.

Работа внешних сил равна:

Т = ШР + 2Ѳ/Р-4 -і- ЫР-4 = 16Р/Ѳ.

74

Так как средний узел опускается на величину 2-2 0/, узлы второго ряда опускаются на 2Ѳ/ и, наконец, узлы последнего ря­ да — па Ѳ/.

Численный коэффициент а вводится в формулу для учета уменьшения величины работы реакций упругого основания по сравнению с работой внешних сил. Приближенно, если считать реакции основания приложенными сосредоточенно в узлах, по­ лучим

Г л а в а 4

БАЛКА НА СЛОЕ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ

4.1. Составление дифференциальных уравнений

Рассмотрим балку, расположенную на упругом слое, кото­ рый поддерживается другой балкой (рис. 4.1, а). Определение предельной нагрузки в этом случае усложняется тем, что не

6 )

Рис. 4.1

всегда удается достаточно точно определить расчетную схему, отвечающую использованию полной несущей способности такой системы.

Для решения задачи составим два дифференциальных урав­ нения. Одно уравнение относится к верхней балке, другое — к нижней:

75

Это соответствует обращению в нуль моментов на опорах. Кроме этого, для верхней балки имеем:

при .ѵ=0:

R A H R B — реакции, возникающие на опорах нижней балки. Таким образом, в результате введения нового переменного

г расчет балки, расположенной на слое переменной жесткости, сводится к расчету балки на слое постоянной жесткости (рис. 4.1,6), но на концах этой балки будут приложены еще две до­ полнительные сосредоточенные силы Q0 и Q i. После решения уравнения (4.2) получим перемещение z = y 2—у\, которое пред­

76

ставляет собой величину обжатия слоя. Реакции между балкой и упругим слоем будут пропорциональны величине z, т. е.

(4.5)

Приведенные рассуж­ дения показывают, что эпюра, передающаяся на нпжпюю и на верхнюю балку, состоит из двух частей. Первая часть представляет реакции, возникающие в балке, расположенной на слое постоянной жесткости. Вторая же часть получа­ ется для той же балки, но нагруженной двумя сила­ ми, приложенными на концах балки. Очертание эпюры реакций сущест­ венно зависит от соотно­ шения жесткостей балок и упругого слоя. Напри­ мер, если упругий слой расположен между бал­ ками, имеющими одина­

ковую жесткость, и нагрузка приложена в середине пролета балки, то эпюры реакций будут иметь вид, указанный на рис. 4.2.

4.2. Учет влияния собственного веса

Собственный вес перекрытия оказывает влияние на распре­ деление усилий в связях, при этом изменяется длина того уча­ стка, в пределах которого возникают сжимающие усилия в уп­ ругих связях.

Распределение усилий, возникающих в слоистом перекрытии от собственного веса, имеет свою особенность, поэтому рассмот­ рим этот вопрос несколько подробней.

Дифференциальные уравнения равновесия для элемента, вы­ резанного из верхней и нижней балки, теперь имеют такой вид:

где <7 i, q2— вес погонной единицы нижней и верхней балки соот­ ветственно; Ni, N2 — реакция, заменяющая давление упругой связи слоя на нижнюю и на верхнюю балки соответственно; ІѴ)— направлена вниз, a N2— вверх. Когда рассматривалось невесо­

77

^2 + <7з = Ni-

Это видно из рис. 4.3, на котором показана схема сил, прило­ женных к элементу, выделенному из распределяющего слоя.

Нормальная сила Nz в сечении, расположенном на расстоянии г от нижней балки, равна:

ЛА = N2 + ^ (Іі0 — z). ho

Абсолютная деформация столби­ ка, выделенного из распределяюще­ го слоя, вычисляется путем интегри­ рования:

С другой стороны, абсолютная деформация этого столбика равна разности перемещений верхнего и нижнего концов стол­ бика:

Введем теперь новое переменное

2 = Уг — Ух-

Тогда для z получим после преобразования уравнение:

Получили уравнение балки на упругом основании, к кото­ рой приложена нагрузка qc. Таким образом, расчет на действие объемных сил удалось свести к рассмотренному ранее случаю сил, приложенных к верхней балке.

78

Уравнение балки на упругом основании с постоянным коэф­ фициентом жесткости

следует проинтегрировать при таких граничных условиях: при к —О

Для расчета слоистая система, изображенная на рис. 4.4, заменяется балкой, которая нагружена распределенной нагруз­ кой

ными на концах балки. После расчета этой балки будет опре­ делена эпюра 2 . Переход к эпюре реакций, передающихся на

Из рассмотрения рис. 4.4 вытекает, что эпюра z может быть представлена в виде суммы двух эпюр. Первая эпюра возника­ ет от равномерно распределенной нагрузки qc, но эта эпюра будет иметь одинаковые ординаты, т. е. представляет собой пря­ моугольник. Вторая эпюра от сосредоточенных сил криволи­ нейная и имеет наибольшие ординаты на концах балки. К сере­ дине пролета ординаты постепенно уменьшаются. Из этих сооб-

79