книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

Для прямоугольной балки 25 n =1,5, поэтому Мщ,= 1,5 М0=

=1,5-0,059 Р01 = 0,0885 /У- Теперь подсчитаем значение реакций, если Р — 2Р0

Для Р —ЗРо получим:

Х 0 = (0,6155- J - — 0,2694j Р0 = 0,654 Р0;

Ро = 0,654 • 18<7о = 11,772(70.

Аналогично вычисляем значения реакции в других точках балки. На рис. 2.3 показаны эпюры реакций при работе балки за пределом упругости. График построен в относительных орди­ натах. Из рассмотрения этого графика видно, что после обра­ зования пластического шарнира под грузом изменяется эпюра распределения реакций между упругим основанием и балкой. С ростом нагрузки наблюдается более интенсивное увеличение ординат реакций под грузом. Так, например, увеличение нагруз­ ки в три раза (Р/Р0= 3) вызывает увеличение наибольшей орди­

наты эпюры реакций в 11,77 = 4,75 раза; это значит, что при пе-

2,5

2 0

реходе балки за предел упругости зависимость между внешней силой и наибольшей реакцией основания становится нелиней­ ной. На рис. 2.4 показан график изменения уМакс в зависимости от Р. Если Р/Ро^1, то балка работает в упругой стадии и меж­ ду </макс и Р имеется линейная зависимость. С увеличением Р, как видно из графика, ординаты кривой быстро растут, и по­ этому после образования пластического шарнира в балке необ­ ходимо сделать специальный расчет для определения уМаксЛи­ нейная экстраполяция в данном случае приводит к преумень­ шенному значению.

На графике такая экстраполяция изображена пунктиром. Здесь важно отметить, что упругое основание в данной задаче остается линейно-деформируемым, и полученная нелинейность возникает в результате того, что балка переходит за предел упругости.

2.3. Величина предельной нагрузки

Как уже отмечалось, понятие о предельной несущей способ­ ности балки приобретает несколько иной смысл по сравнению с тем, которое соответствует балке на двух опорах, не поддер­ живаемой упругим основанием. Как известно, исчерпание несу­ щей способности балки на двух опорах получается тогда, когда в одном из сечений балки образуется пластический шарнир и балка превращается в механизм. Балка на упругом основании может воспринимать нагрузку и после того, как возник пласти­ ческий шарнир. Для такой балки предельное состояние лими­ тируется наибольшим прогибом, который является предельным для данной балки по условиям ее эксплуатации. При увеличе­ нии нагрузки после образования пластического шарнира вели­ чина прогиба под грузом определяется с помощью чисел влия­ ния. Для определения Рщ, необходимо задать предельный про­ гиб Упр в долях от наибольшего прогиба уо, соответствующего концу другой стадии yap = ky0:

21

Полученный результат показывает, что после перехода балки за предел упругости прогибы под грузом растут. Оценим влия­ ние жесткости балки на величинуРПр; для этого сделаем расчет

Сопоставление полученных величин показывает, что величи­ на предельной нагрузки зависит от соотношения жесткостей бал­ ки и упругого основания. Весьма характерным является тот факт, что уменьшение жесткости балки или увеличение модуля деформации основания может вызвать увеличение предельной нагрузки, найденной из условия заданного наибольшего проги­ ба. По-видимому, существует наиболее выгодное соотношение жесткости, соответствующее наибольшей грузоподъемности бал­ ки. Более жесткие балки имеют меньшую грузоподъемность при одинаковом предельном прогибе. На рис. 2.5 показано изменение предельной нагрузки в зависимости от предельного прогиба. Из

Рис. 2.5

2 2

2.4. Две сосредоточенные силы

Если к балке будут приложены симметрично две сосредото­ ченные силы, то решение усложняется, так как одновременно могут образоваться два пластических шарнира в точках при­ ложения нагрузок или один пластический шарнир в середине пролета.

Если грузы расположены вблизи края балки, то эпюра момен­

Для изучения распределения реакций за пределом упругости следует рассчитать балку с шарниром посередине пролета, в ко­ тором приложен постоянный момент Мпр. Реакции упругого ос­

Можно воспользоваться числами влияния, которые найдены в п. 2.2 для Р = 2 и М= 1с; тогда получим для равнодействующих

Значение с0 определяется из решения задачи в упругой ста­ дии и приводится в табл. 5 для бесконечно жесткой балки в зави­ симости от ширины Ь при расположении грузов на концах балки.

23

Реакции вычисляем по формулам:

Этой формулой можно пользоваться для значений п<.п\, т. е. она справедлива при условии, что Мпр возникает только в одном сечении балки, расположенном в середине пролета. Значение П\, соответствующее возникновению второго шарнира под грузом, получим, если вычислим изгибающий момент под грузом и при­ равняем его МПр. Например, если груз находится в точке 3, то

М3 = X,c + ^ . f = [К >h Ро + К Р0(3Лі - 0,82)] с +

+ f F a «1^0+ ^3^0 ( 4 - 0 ,8 2 ) ] .

Приравнивая значение М3 предельному моменту, находим после преобразований уравнение для определения tip.

при Ь/с —3

% - 2,13.

После того как образуется второй шарнир под силой, практи­ чески можно считать, что несущая способность балки будет исчерпана. Таким образом, предельная сила, которую может вы­

держать эта балка, Рпр= 2,ІЗР0Если грузы расположены близко к середине пролета и балка

имеет достаточно большие консольные участки, то первый пла­

24

стический шарнир образуется под грузом, и тогда расчетная схема для балки за пределом упругости будет приближаться

крассмотренной подробно в п. 2.2.

Вэтом случае практически несущая способность балки бу­ дет исчерпана после образования первого пластического шарни­ ра под грузом в середине пролета. Новый пластический шарнир может образоваться, но для этого необходимо, чтобы осадка балки достигла очень больших, недопустимых величин.

2.5.Три сосредоточенные силы

При трех сосредоточенных силах последовательность возник­ новения шарниров может быть различной и зависит от соотно­ шения жесткостей балки и основания.

Для определения реакций и осадок упругого основания при наличии пяти пластических шарниров в балке представляется возможным обойтись без решения системы уравнений.

Если прикрепить балку к упругому основанию в тех точках, где образовались пластические шарниры, и, кроме того, доба­ вить еще два опорных стержня на консолях, усилия во всех опорных стержнях будут определяться из условий равновесия по следующим формулам:

4Mпр

* 3 =

Выражаем РПр и Мщ, через Ро и М0 по формулам

Для определения величины силы Рщ,, при которой образуется пластический шарнир в сечении 1, подсчитаем величину момен­ та в этом сечении и приравняем его предельному моменту:

В этом уравнении единственным параметром будет множи­ тель п, который вводится на величину Р0 для получения пре­ дельной силы, соответствующей образованию пяти пластических шарниров в балке, так как в формулу для Д1Р можно подста-

вить Рцр— nPo и Мпр= Р0 — со, поэтому Дір будет представлять

собой функцию от п, а все остальные величины, входящие в эту формулу, будут постоянными; бц также является численным ко­ эффициентом.

25

Найденная таким путем предельная нагрузка является при­ ближенной, так как в расчете было принято сравнительно не­ большое число участков, на которые разбили балку.

Для уточнения расчета следует увеличить число сил А', и для определения реакций упругого основания за пределом упруго­ сти нужно решать систему линейных уравнений так, как это бы­ ло сделано в предыдущих параграфах. Также следует рассмот­ реть несколько случаев последовательности образования шар­ ниров. Только после этого можно указать величину предельной нагрузки, которую выдержит балка. По мере увеличения числа

сил объем вычислений для оп­ ределения Тпр возрастает.

2.6. Равномерно распределенна^^агрузка

Рассмотрим балку, на сред­ нем участке которой, имеющем длину d, расположена равно­ мерно распределенная нагруз­ ка интенсивностью q. Опреде­ лим величину этой нагрузки, при которой образуется пер­ вый пластический шарнир в балке.

Сначала сделаем расчет по упругой стадии и найдем величины q0 и М0, которые соответству­ ют концу упругой стадии работы балки, т. е. в крайнем волокне опасного сечения балки напряжения будут равны пределу теку­ чести.

Систему уравнений для балки составим, заменяя распреде­ ленную нагрузку сосредоточенными силами, как это показано на рис. 2.7, а и б:

Х 0 + X , + Х 2 + Х3+ Xt + 2,5= 0.

Эпюры реакций показаны на рис. 2.7, в. Из рассмотрения эпюры моментов можно сделать вывод о том, что пластический шарнир по мере увеличения нагрузки образуется в середине про­ лета. Для определения нагрузки, соответствующей образованию пластического шарнира в середине пролета, подсчитаем числа влияния для новой расчетной схемы, указанной на рис. 2.7, б, от двух типов нагрузок, а именно, от единичных сил и от единично­ го момента в шарнире.

26

От единичного момента числа влияния были определены ра­ нее; их нет необходимости вновь вычислять, можно взять ре­

зультаты из табл. 4.

Для единичных сил придется решить новую систему уравне­ ний, которая будет записана так:

При наличии шарнира в середине пролета балки кроме осад­ ки £/о следует учесть также поворот заделки ф0, поэтому число неизвестных теперь станет на единицу больше и придется доба­ вить еще одно дополнительное уравнение, в котором сумма мо­ ментов всех левых пли правых сил от внешней нагрузки и реак­ ции Хі относительно середины пролета равна нулю.

После решения этой системы уравнений будут найдены все равнодействующие реакций упругого основания и можно будет построить соответствующую эпюру реакций. На рис. 2.7 для сравнения показаны эпюры реакций, полученных в пределах упругой стадии работы балки и за пределом упругости.

Из этого графика видно, что после перехода балки за пре­ дел упругости начинается значительная концентрация реакций

всередине пролета балки.

2.7.Балка переменного сечения

Для плотимы треугольного профиля, имеющей гибкий понур, в качестве расчетной схемы молено рассматривать балку пере­ менной жесткости, которая имеет бесконечную жесткость в пре­ делах профиля плотины и является достаточно гибкой на участ­ ке понура.

Расчетная схема для упругой стадии и основная система за пределом упругости показаны на рис. 2.8. Для определения X получим систему из шести уравнений.

27

За предел упругости этот профиль перейдет в результате возникновения пластического шарнира в сечении, в котором по­ нур примыкает к основному профилю.

Для определения реакций за пределом упругости необходи­ мо решить такую систему уравнений, в которую будут входить только Х\, Х2 и Хъ, уо и фо, а Х4 можно будет определить из ус­ ловий равновесия. Если обозначить Q2 — вес плотины, Qi — вер­ тикальное давление на понур, Н — горизонтальное давление на плотину, то для вычисления Х4 получим такую формулу:

с/ 2

Для определения остальных неизвестных составим следую­ щую систему уравнений:

Хотя профиль плотины абсолютно жесткий, тем не менее сво­ бодные члены Дір, Д2 Р и Дзр, входящие в первые уравнения, не будут равны нулю; их будем вычислять как перемещения упру­ гого полупространства от силы Х4. Например:

Д , „ = Ь і , у

IP"

ел En

Система уравнений составляется для абсолютно жесткой части профиля, понур же считается отрезанным и отброшенным; его действие на оставшуюся часть профиля заменяется силой, на­

все внешние силы выразить в функции от одного параметра, так как при увеличении высоты плотины в два раза и сохранении ширины понизу ее собственный вес также удваивается, давле­ ние на понур тоже увеличивается вдвое; что же касается гори­ зонтальной равнодействующей гидростатического давления, то она увеличивается в четыре раза.

По этим причинам расчет такой плотины за пределом упру­ гости следует вести методом последовательных приближений.

28

При заданных внешних силах можно подобрать размеры сече­ ния понура, при которых образуется в опасном сечении пласти­ ческий шарнир.

2.8. Ростверк из двух перекрестных балок

Рассмотрим симметричный ростверк, который нагружен че­ тырьмя силами, как это показано на рис. 2.9. Отличие этого случая от того, который рассмотрен в п. 2.4, состоит в том, что

реакции всех балок, приложенные к упругому полупространству, оказывают взаимное влияние, и это приводит к перераспреде­ лению сил во всей системе.

Расчет в упругой стадии выполняем, используя симметрию для Ѵв части ростверка. В основной системе отделяем балки от упругого полупространства; фиктивную заделку размещаем в середине пролета. Внешние силы, расположенные в точках пе­

29