книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

ложительного участка эпюры реакций п значительному повороту консольного участка балки. В результате этого ординаты на краю балки не увеличиваются, но зато наблюдается значитель­ ный рост ординат под силой, как это показано на рис. 2.13,6.

Это распределение реакций соответствует возникновению второго пластического шарнира с правой стороны от груза; пос­ ле этого на эпюре реакций резко увеличиваются ординаты, на­ ходящиеся вблизи точки приложения внешней силы, и несущая способность балки оказывается исчерпанной.

Сопоставление эпюр реакций, изображенных на рис. 2.13, а, б II в, показывает, что величина наибольшей ординаты эпюры ре­ акций для всех трех случаев оказывается почти одинаковой; да­ же после образования первого пластического шарнира наблю­ дается некоторое уменьшение ординат. Это обстоятельство имеет существенное значение для правильного определения рациональ­ ной жесткости балки исходя из величины наибольшего давления на грунт. Гибкая балка оказывается менее чувствительной к пе­ реходу за предел упругости, чем жесткая, поэтому правильный подбор относительной жесткости балки позволит получить наи­ более экономически выгодную конструкцию.

2.12. Предварительно-напряженная балка

Простейший случай предварительного напряжения получает­ ся, когда балка имеет прямолинейную арматуру, расположен­ ную с эксцентрицитетом по отношению к осп сечения. В состоя­ нии предварительного напряжения балка изгибается выпукло­ стью в сторону, противоположную смещению арматуры. Например, если арматура, с помощью которой осуществляется напряжение балки, размещена ниже осп балки, то изгиб ее бу­ дет выпуклостью вверх.

Балка, расположенная па упругом полупространстве, пред­ ставляет собой систему, статически неопределимую, поэтому предварительное напряжение создает в ней уравновешенную эпюру реакций основания.

Таким образом, расчет предварительно-напряженной балки, расположенной на упругом полупространстве, следует начинать с определения реакций упругого основания, вызванных пред­ варительным напряжением. Возникновение самоуравновешенных реакций упругого основания возможно в том случае, если связи, расположенные между балкой и основанием, являются двусторонними.

Расчетная схема для этого случая изображена на рис. 2.14. Для определения X составим систему линейных уравнений, ко­ торая будет отличаться от рассмотренных раньше величиной свободных членов. Коэффициенты этих уравнений вычисляются обычным порядком и состоят из двух слагаемых, т. е. из осадки упругого основания и прогиба балки от единичных сил.

40

Свободные члены вычисляются как прогибы балки, вызван­ ные предварительным напряжением. Система уравнений имеет такой вид:

После решения этой системы уравнений будут найдены зна­ чения X и могут быть построены эпюра реакций основания и со­

центрицитета, с которым приложено это напряжение, а также от соотношения жесткостей балки и упругого основания.

Теперь переходим к вычислению реакций п построению эпю­ ры моментов от внешней нагрузки. Эту эпюру можно построить обычным порядком, но при определении реакций основания на­ до учесть влияние предварительного напряжения на величину жесткости балки. Отделенная от упругого основания балка представляет собой теперь статически неопределимую систему из-за наличия предварительного напряжения, поэтому переме­ щения от единичных сил в основной системе следует вычислять

41

как для статически неопределимой системы. Для подсчета про­ гибов балки от единичной силы получим такую формулу (схема указана на рис. 2.14, д ):

Величина (1—Дог*/до,'л) будет меньше единицы, поэтому при­ веденная жесткость EJV будет несколько больше действительной жесткости.

Таким образом, формула для подсчета перемещений в основ­ ной системе будет иметь вид:

б/fe = Уік + aiWik,

в результате чего возникло перераспределение реакций основа­ ния и увеличение концентраций к краю балки.

Эпюры реакций и моментов изображены на рис. 2.14, е. Каж­ дая из этих эпюр состоит из двух слагаемых: q — qp-\-qv и М = =A4p-j~A/Iv.

Реакции несколько увеличиваются за счет предварительного напряжения. На концах балки возникают отрицательные мо­ менты в результате эксцентрицитета, с которым приложено пред­ варительное напряжение.

Переход за предел упругости для предварительно-напряжен­ ной балки связан со значительным перераспределением сил во всей системе балка—основание, в результате чего не возникает пластического шарнира в обычном смысле этого слова. Появ­ ление первых трещин в бетоне влечет за собой возникновение

42

дополнительных распоров, как в арочных системах, причем за­ тяжкой для них является та арматура, с помощью которой осу­ ществляется напряжение. Взамен пластических точечных шар­ ниров в предварительно-напряженной балке образуются пласти­ ческие области, соответствующие в данном случае середине пролета. Так как момент состоит из двух слагаемых и с увели­ чением нагрузки изменяется только одно слагаемое МР, то для определения нагрузки Р0, соответствующей концу упругой ста­ дии, придется проделать расчет, применяя процесс последова­ тельных приближений.

Разрушающий момент вычисляется теперь по формуле для напряженного бетона [5]

hx— полезная высота сечения;

Rb— предел прочности бетона на сжатие.

В пролете балки в обе стороны от точки приложения груза возникают зоны трещинообразования по длине, в которых жест­ кость балки значительно снижается. Угол поворота, возникаю­ щий в результате понижения жесткости в стадии разрушения, подсчитывается по формуле

2ф0 = 0,2/р — ,

п

где Ір— длина зоны трещинообразования; при сосредоточенной силе в середине пролета составляет:

Величина кривизны для стадии разрушения получена из экс­

периментов и составляет — = 0,25-10_3 рад/см для балок толщи-

Гі

ной до 25 см.

Теперь можно подсчитать угол поворота среднего сечения балки в стадии разрушения:

Ф 0 = 0 ,2 ^ /.0 ,2 5 .1 0 - 3^ 0 ,0 0 8 .1 0 -3/,

причем пролет балки не должен превышать 5 м. Например, если / = 400 см., то

Фо = 0,008 • ІО-3 -400 = 3,2-1 (Г*рад.

43

Теперь можно вычислить эпюру реакций для стадии разру­ шения, составляя систему уравнений, как указано в п. 2.2.

В этой системе уравнений сро является известной величиной,

Истинные величины равнодействующих реакций упругого осно­ вания получим, умножая числа влияния на /% . Для вычисле­ ния Рпр необходимо составить еще одно уравнение равновесия:

(ОсХ'й-!- \сХ\ + 2сХ:2 4- ЗсХ; + АсХ\) Рлр = Мг.

Из этого уравнения и определяется

р= _________ Mr_________

2.13. Предварительно-напряженная кольцевая балка

Предварительно-напряженные кольцевые плиты широко при­ меняются в качестве фундаментов высоких сооружений башен­ ного типа. Теория расчета таких фундаментов разработана до­ вольно подробно в работах [24, 39]. Однако мало изученным яв­ ляется вопрос о влиянии предварительного напряжения на перераспределение реакций основания. На примере предвари­ тельно-напряженной балки в п. 2.12 было показано, как изменя­ ется эпюра реакций основания за счет возникновения так на­ зываемых самоуравновешенных реакций, которые характерны для предварительно-напряженных статически неопределимых систем. Для того чтобы выявить влияние предварительного на­ пряжения на распределение реакций под кольцевой балочной плитой, необходимо рассчитать эту плиту и найти реакции, воз­ никающие от предварительного напряжения. Как известно, предварительное напряжение кольцевой плиты осуществляется натягиванием кольцевой арматуры, расположенной с некоторым эксцентрицитетом по отношению к оси плиты. Сжимающие на­ пряжения от напрягающих тросов на фундаментную плиту пе­ редаются как внешние радиальные силы. Расчетная схема этой нагрузки показана на рис. 2.15. Приходящиеся на 1 пог. м пери­ метра плиты сжимающие силы V определяются по формуле

где Z — равнодействующая усилий в тросах, с помощью которых осуществляется натяжение.

44

Благодаря осевой симметрии весь расчет можно вести на 1 пог. м кольца по формулам плоской задачи. Основную систему выбираем, как указано в п. 2.12, и решение ведем по смешенному способу Б. Н. Жемочкпна [10]. За неизвестные принимаем уси­ лия в стержнях, с помощью которых плита прикрепляется к ос­ нованию, угол поворота поперечного сечения и осадку заделки,

как указано на рис. 2.16. Для сокрашения ооъема вычислении ис­ пользуем симметрию нагрузки по отношению заделки, размещенной

ты этих уравнений согласно схеме, указанной на рис. 2.16. Отли­ чие в подсчетах будет заключаться в вычислении свободных чле­ нов уравнений. Так, например:

метра, который был выделен из кольца. После решения уравне­ ний найдем значения X и получим эпюру реакций основания, ко­ торая показана на рис. 2.16. От предварительного напряжения будет получена уравновешенная эпюра реакций основания, как это было показано в п. 2.12. После численных подсчетов найде­ на эпюра реакций, возникающая от предварительного напряже­ ния. Из этой эпюры видно, что наибольшие дополнительные ре­ акции возникают по наружному периметру кольца; их величина пропорциональна величине предварительного напряжения и об­ ратно пропорциональна квадрату ширины кольца:

Рмакс

Например, если с помощью предварительного натяжения по периметру кольца создается напряжение а = 20 кгс/см2, тогда сила У= o F = 200-0,25£> = 506=200 тс/пог. м, F= 1 /і=0,25£>; 6=

45

Дополнительный момент по оси кольца:

ДЛ4 = 0,5-50 = 25 шс-мЬюг. м.

Полученные цифры показывают, что предварительное напря­ жение вносит существенные изменения в эпюру реакций основа­ ния. Определим теперь предельную нагрузку на фундаментную плиту с учетом перераспределения реакций за счет предвари­ тельного напряжения. Пластический шарнир образуется по оси плиты. Подсчитаем момент, возникающий в этом сечении от ре­ акции основания, как это было сделано в п. 2.12:

М = с0 + ДМ.

Первое слагаемое этой формулы представляет собой момент от реакций основания, возникающих без учета влияния предва­ рительного напряжения, второе слагаемое формулы — дополни­ тельный момент, вызванный самоуравновешенными реакциями упругого основания. Для определения РпР приравняем этот мо­ мент тому предельному моменту Л4пр, который может быть вос­ принят сечением:

Если АМ = 0,2 Мщ>и Р„р— предельная нагрузка без учета влия­ ния предварительного напряжения,

получить в замкнутой форме окончательные формулы для под­ счета величины предельной нагрузки.

В пределах упругой стадии работы бесконечной балки, на­ груженной сосредоточенной силой, наибольший изгибающий момент будет возникать под силой, и для его определения мож­ но будет воспользоваться данными, указанными в табл. 6.

46

риваться как бесконечно длинная и момент М0 можно выразить через параметр, зависящий от соотношения жесткостей балки и упругого основания. Для этого используем формулу, по кото­ рой подсчитывается коэффициент а, учитывающий изгиб балки:

Табл. 6 составлена для — = 3, поэтому между а и с получа-

с

ется такая зависимость:

Учитывая, что а= 1, получим

С другой стороны, с= //9, т. е. I = 9-1,79

Подставляя эти значения в формулу для момента, получим

После образования пластического шарнира под грузом рас­ четная схема балки изменится, и нужно будет найти числа вли­ яния для бесконечной балки с шарниром, в котором приложены единичный момент М= 1с и сила Р — 2 .

Такие подсчеты были выполнены в п. 2.2, а результаты ука­ заны в табл. 3 и 4. Из этих таблиц возьмем графу, соответствую­ щую bfc —3, и столбец а= 1 , тогда получим такие величины рав­ нодействующих реакций:

Для нагрузки Р\~илР0, которая больше До, получим такие реакции по формулам п. 2.3 (полагая для прямоугольного сече-

2S , -X

ния ---- = 1,5):

\Ѵ

47

Для определения величины параметра и.], при котором об­ разуются следующие два пластических шарнира, приравняем

М ^М о:

(— 0,076«! -К 0,096) Р0с = — 0,2727Р0с;

После образования трех шарниров в балке ее несущая спо­ собность будет практически полностью исчерпана, поэтому Рпр =

балки и основания: чем больше жесткость балки, тем больше расстояние от силы до шарнира.

Величину Ро можно выразить через М0, используя формулу,

Предельная несущая способность балки определится так:

Из этой формулы видно, что несущая способность балки за­ висит не только от геометрических размеров балки, но и от упру­ гих свойств основания. Так, например, увеличение модуля дефор­ мации основания увеличивает несущую способность балки.

Для прямоугольного сечения можно будет преобразовать эту

48

Тогда получим

Е (і - но)

Е (і — м-о)

Теперь из формулы ясно видно влияние отдельных парамет­ ров. Если РПр задана, то площадь поперечного сечения балки определяется по формуле

з

Это сечение будет подобрано по прочности балки при условии, что упругое основание работает в упругой стадии и в балке об­ разуются три пластических шарнира.

2.15. Простая рама

Рассмотрим замкнутую простую раму, которая нагружена со­ средоточенной силой на верхнем ригеле (рис. 2.17, а). Эта задача отличается от предыдущих тем, что несущая способность рамы зависит как от ригеля и стоек рамы, так и от несущей способно­ сти фундамента. Обычно расчет ведется раздельно для верхней рамы и фундамента. Более правильно будет рассматривать си­ стему всех стержней как замкнутую раму, расположенную на упругом основании.

Основная система, пригодная для расчета этой рамы, показа­ на на рнс. 2.17, б. Число неизвестных, учитывая симметрию, рав­ но 6 . Для их определения составим обычную систему уравнений.

При вычислении боо, боь 6 0 2 , бы, бц и 6 2 2 следует учесть дефор­ мацию основания и пользоваться такой формулой:

Для подсчета перемещений по направлениям Х3 н Х4 следует применять формулу, относящуюся к обычной стержневой си­ стеме:

После решения уравнения и определения X будут получены окончательные эпюры М, Q и /V, которые изображены на рис. 2.17, г.

Из рассмотрения эпюр видно, что кроме моментов в стерж­ нях возникают продольные силы, которые усложняют определе-