книги из ГПНТБ / Синицын А.П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости пособие для проектировщиков

ты могут быть связаны между собой шарнирами или болтовы­ ми соединениями, которые являются упругими шарнирами. При симметричных схемах загружения плит поперечные силы в швах будут равны нулю, поэтому швы можно рассматривать как сквозные и не учитывать влияния шарниров. Тем не менее каждую часть плиты рассматривать независимо от других нель­ зя. Известно, что плиты оказывают взаимное влияние на рас-

Рнс. 5.9

пределение реакций основания и значительно изменяют распре­ деление усилий в сечениях плиты.

Для выяснения этого вопроса сделаем расчет для несколь­ ких случаев. Плита разрезана вдоль, как это показано на рис. 5.9, является прямоугольной и имеет отношение сторон 3:5. Используя симметрию относительно двух осей, составляем си­ стему канонических уравнений; для одной четверти плиты ко­ эффициенты канонических уравнений равны1:

бц = 4-3,545 = 14,18; б1 2 = 2-2-1,045 = 4,18 и т. д.

После решения найдем значения X :+і = + 0,085; Х> = +0,072; *з = +0,173; Х4=+0,153; 1 5=+0,247; Х6 = +0,271; г/„=—3,676 и сср0= +0,848.

Плита не только опускается, но и поворачивается. Интенсив­ ность реакций определим путем деления сил Х і на соответству­ ющие им площади:

120

?з = 1,297(7о; ? 4 = 0,574?<,; цъ = 1,953?0; <7 в = І,ОІ6 ^0.

На рис. 5.9 изображена полученная эпюра реакций, и для сравнения дана эпюра, соответствующая монолитной плите. Из сравнения эпюр видно, что под сборной плитой наибольшая ин­ тенсивность реакций составляет: ?Макс= 1,963 «/о, т. е. почти в два раза больше средней ординаты.

Сделаем еще сравнение по моментам. Для этого сначала вы­ числим моменты, учитывая только продольное направление и предполагая, что в поперечном направлении по всему сече­ нию изгибающий момент распределяется равномерно. После этого учтем неравномерность распределения момента по по­ перечному сечению путем введения коэффициентов неравномер­ ности, полученных при определении интенсивности реакций.

Коэффициенты неравномерности при этом необходимо бу­

121

М, = 0,0273?0 Р; М2 = 0,0519(70 Р.

Мэ = 0,0351^0 Р\ М4 = 0,06б5(70 12.

Пространственная эпюра распределения моментов для этих обоих случаев указана на рис. 5.10.

Наибольший момент в сборной плите оказался больше, чем в плите монолитной, в k = — =1,34 раза; это произошло за

счет перераспределения реакции. Предельная нагрузка в упру­ гой стадии для сборной плиты будет ниже, чем для монолитной, на 34%, хотя схема образования пластических шарниров для обеих плит, будет одинаковой. Шарнир образуется в сечении 4—3—4. В результате этого в продольном направлении плита будет разделена на три части двумя линейными пластическими шарнирами и дальнейший расчет можно вести по схеме п.2.4. Если геометрические размеры сохранить такими же, как было указано в п.2.4, то Рпр=2-13 PQ. Э т о значение можно принять для монолитной плиты, тогда для сборной плиты получим:

(Л ір )с б = 2,13-0,66Р0 = 1,41.Р0.

Приведенные подсчеты показывают, что при замене моно­ литных фундаментов сборными следует учитывать перераспре-

122

деление реакций упругого основания, в результате которого не­ сущая способность сборных плит изменяется и может снизить­ ся, как это получилось в рассмотренном случае. Для повыше­ ния предельной нагрузки сборных фундаментных плит целесо­ образно их швы конструировать так, чтобы обеспечивалось бо­ лее благоприятное распределение реакций основания. Следует

этом же чертеже показана эпюра реакции для монолитной пли­ ты. Из сравнения видно, что в сборной плите появляется зна­ чительная концентрация реакций в центре плиты, которая в 4 раза больше среднего давления. У монолитной плиты, наоборот,

123

Т а б л и ц а 10

динаты положительные. Наибольший изгибающий момент для сборной плиты будет под грузом, т. е. в сечении 2—2:

2—2, после чего жесткость плиты значительно понизится и осад­ ки возрастут. Эта схема соответствует исчерпанию несущей способности плиты. Предельную нагрузку можно определить по

124

Сравнение монолитных и сборных плит показывает, что при замене одних другими следует делать поверочные расчеты, так как в сборных плитах изменяется распределение реакций осно­ вания по площади плиты. Выше были рассмотрены такие внеш­ ние нагрузки, при которых сборные плиты имеют пониженную несущую способность. Однако можно указать и такие схемы внешних нагрузок, при которых сборные плиты по несущей спо­ собности не отличаются от монолитных. Общим критерием мо­ жно считать, что чем ближе эпюра реакций основания прибли­ жается к эпюре внешней нагрузки, тем меньше будет разница несущей способности сборной и монолитной плиты.

Глава 6

ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ОСНОВАНИЯ

6.1. Метод конечных элементов

Для выполнения инженерных расчетов численные методы применяются давно [17, 36]. Однако практика использования ЭВМ показывает, что. в ряде случаев более удачным оказывает­ ся метод деформаций.

В таком виде численный метод был использован в работах [45, 62]. В условиях плоской задачи упругое основание и рас­ положенное на нем сооружение представляются в виде дискрет­ ной системы элементов той или иной конфигурации, соединен­ ных между собой в отдельных точках. Наиболее удачным ока­ зывается использование треугольных элементов, хотя прямо­ угольные элементы применяются тоже.

Пример разделения сооружения и упругого основания на треугольные элементы показан на рис. 6.1. Во всех точках на­ несенной сетки в основной системе предполагается наличие стержней, которые препятствуют смещениям. В качестве основ­ ного элемента принимается треугольник, изображенный на

125

рис. 6.2. Принимается, что перемещения вершин треугольника являются линейными функциями координат:

единичных состояний. Например, пусть ггг= 1 , а все остальные перемещения узлов треугольника равны нулю, это будет первое единичное состояние. Шесть коэффициентов а,-, соответствую­ щих этому единичному состоянию, определяются из следующей системы уравнений:

Еxj — x k

126

По найденным напряжениям и деформациям определим ре­ акции в связях для вершин треугольника. Например, горизон­

Для остальных главных реакций формулы будут получены из (6.4) круговой перестановкой индексов. Побочные реакции kJ . и другие вычисляются по следующим формулам:

Для удобства использования машинного счета запись всех операций составим в матричной форме. Обозначим [В ]— мат­ рица деформации одного конечного элемента; [В]т — транспо­ нированная матрица деформации; [D] — матрица упругости; [К]э•— матрица жесткости одного элемента; [Р ] — матрица внешней нагрузки. Подсчет матриц выполняется по формуле

Для каждого узла составляется уравнение равенства нулю реакций, возникающих в добавленных связях:

перемещений щ и Ѵі для всех узлов, и по формулам (6.3) мож­ но вычислить все напряжения.

Произведенный расчет позволяет определить предельную не­ сущую способность элементов, которые образуют всю систему.

127

Это можно выполнить благодаря тому, что в формулах для еди­ ничных реакций участвует модуль упругости узла сетки. При переходе за предел упругости величина модуля снижается, и это может быть учтено при составлении программы счета.

Рассмотренные формулы относятся к случаю плоской зада­ чи теории упругости, однако их можно распространить на бо­ лее общин случай, когда в состав системы входят стержневые элементы в виде стоек и ригелей рам. В этом случае при состав­ лении матрицы жесткости и матрицы реакций необходимо учесть особенности, относящиеся к рамным системам. В узлы основной системы кроме связей, препятствующих линейным смещениям, добавляются еще заделки, исключающие повороты узлов. При составлении основных уравнений равновесия для каждого узла используются три уравнения равновесия, т. е. ра­ венство нулю суммы проекций всех реактивных сил, приложен­ ных к узлу, на оси X и У, а также равенство нулю реактивных моментов, возникающих в заделке. В этом смысле наиболее удачными элементами, на которые делится заданная система, расположенная на упругом основании, являются треугольные элементы для плоской задачи и тетраэдры для пространствен­ ной задачи.

Для определения предельной несущей способности основа­ ния целесообразно использовать метод последовательных при­ ближений, и для описания физических свойств упругопластпческого основания принимается билинейная диаграмма, связыва­ ющая напряжения и деформации. В этом случае пластический участок диаграммы отличается от упругого тем, что модуль де­ формации на нем становится значительно меньше упругого мо­ дуля, в предельном случае пластический участок диаграммы становится горизонтальным и соответствует модулю, равному нулю. Билинейная диаграмма удобна в том смысле, что можно получить решение задачи в общем виде и использовать это ре­ шение для обоих участков диаграммы. Однако для каждого участка следует принимать разные модули упругости. Границу пластической области в упругопластическом основании можно определить из условий контакта и эквивалентности перемеще­ ний на границе между пластической и упругой областью. Для определения оптимального соотношения между жесткостями упругопластического основания и сооружения следует исполь­ зовать условие одновременного исчерпания несущей способно­ сти как сооружения, так и основания.

6.2. Предельная нагрузка высокой фундаментной балки

Рассмотрим фундаментную балку, у которой высота состав­ ляет одну четверть пролета. Для высокой балки распределение напряжений в ее поперечном сечении не будет линейным, и по-

128

этому за пределом упругости потекут волокна только части по­ перечного сечения и величина пластического момента должна быть определена дополнительно. Сначала используем метод ко­ нечных элементов для определения величины предельного мо­ мента, возникающего в высокой балке. Эта вспомогательная за­ дача может быть исследована путем рассмотрения балки, на­ груженной в середине пролета сосредоточенной силой (рис. 6.3); для расчета балка разбита на 32 элемента и использована сим­

метрия системы. Проведение вычислений выполнено согласно блок-схеме применительно к общей схеме, описанной в п. 6 .1 . Вычисление перемещений выполнено на ЭВМ М-220а по про­ грамме, составленной канд. техн. наук В. В. Самариным на языке АЛГОЛ-60. После решения получены величины верти­ кальных и горизонтальных смещений узлов сетки. По этим сме­ щениям вычислены напряжения ах, оу и тху, эпюры напряжений показаны на рис. 6.4. Из рассмотрения эпюр напряжений ох вытекает, что в пластическое состояние перейдет верхняя и ниж­ няя часть сечения толщиной 0,25 h. Средняя же часть балки толщиной Ѵг h будет оставаться в упругой стадии, поэтому ве­ личина предельного момента будет вычисляться по формуле

где а — численный коэффициент, учитывающий наличие упруго­ го ядра; для прямоугольного сечения а = 5/б=0,83.

Пластические области в основании определим, решая вто­ рую вспомогательную задачу о распределении реакций осно­ вания.