книги из ГПНТБ / Баринов К.Н. Теория полета космических аппаратов

малии. Сделав

подстановку из

( 3 . 4 1 )

в

( 3 . 4 2 )

и проведя

преобра

зование, получим

tq& =

Ц — —

•

( 3 . 4 3 )

Для

однозначного определения угла

TJ0

по формуле

( 3 . 4 1 ) или

( 3 . 4 3 )

мокно воспользоваться

знаком угла

в0

, который совпа­

дает

со

знаком

s l n 8 0 . Изменение угла

9

вдоль

орбиты КА будет

рассмотрено

в § 3 . 4 .

Приступим теперь к определению углового

расстояния

от

восходящего узла до начального радиуса-вектора КА. С этой

целью, пользуясь правилами аналитической геометрии, составим

нормальные уравнения для плоскости орбиты и плоскости

Охгуг

соответственно

в виде

п'ях*п1у+п;г* О,

I .

г = 0,

I

где

пх,п°,п°- направляющие косинусы

( 3 . 2 4 )

нормали к п

сти

орбиты

( р и с . 3 . 7 ) .

Совместное

решение уравнений ( 3 . 4 4 )

позволяет

найти

урав­

нение для линии пересечения 'этих плоскостей,

т . е . линии,

на­

правленной из

точки 0 на восходящий

узел

орбиты

<Q

( р и с . 3 . 7 )

и имеющей вид

</ = - - ^ г

( 3 . 4 5 )

или

с учетом

( 3 . 2 4 )

У

# =

j

( 3 . 4 6 )

где

отношение -

ЬдЙ , что и было определено

в

( 3 . 2 6 ) .

Зная уравнение1линии узлов, нетрудно определить ее направ­

ляющие косинусы, которые, как

известно,

являются координатами

е

\[сЩ

+ УсДГсГ

c , y 0 - ^ g

С

0 8 а

°

- Т

^

-

^

Щ

-

<"•«>

Для однозначного

определения угла

а 0

замегни,

что знак

son и 0

совпадав!

со

знаком координаты

г

> Зная значения

tf0

и

и 0

, можно по формуле

(3.20) определить со0 .

Теперь нам осталось определить последний элемент кеплеро-

вой

орбиты

г т

время прохождения перицентра

(для

Земли

-

перигея) орбиты. Для определения г

воспользуемся

вторым

за­

коном Кеплера

dt

Idt

at

(3.49)

где

d f -

элементарное

значение площади

орбиты, ометаемой

2~

(3.51)

С учетом второго закона Кеп­

лера для точек апогея и пери­

гея

( VA

гд = Vn

r n

) можно ра­

венству

(3.51)

придать

вид

V 8

=

J L . J L -

или

1-е

V 2

=

±

(3.52)

I Рис.3.8

1 + е

А

а

так

как

из зависимостей

(3.22) следует, что

или

ч

"

а / - е

(3.54)

На основании законов Кеплера и соотношении (3.52) и (3.53)

можно определить значение

(3.55)

Подставив выражения для

Ь

из (3.22) и для

С из (3.55) в

( 3 . 5 0 ) , получим формулу для

определения периода

Т

_. ,s

(3.56)

Из формулы (3.56) следует,

что

значение периода обращения КА

если у

орбит одинаковы большие полуоси до и их периоды равны

между

собой.

На рис. 3 . 9 . изображены две орбиты (круговая и эллиптичес­

кая) с одинаковыми большими полуосями. Если КА выйдут

в одно

и то же время из перигея,

то

в апогей, а затем и в перигей

они придут в одно и то же вре­

мя. Угол £ принято называть

эксцентрической

аномалией.

Из рис.3.9 следует,

что

d -

a cos £ ,

г> cos тЭ' = d-

ае - a cos Е -

ае .

Определим COST) из этого

равенства и подставим его

зна­

чение в уравнение для эллипса

г

=

7+'

а(1-ег)

e(ocos £ -

ае)

Рис.3.9

и отсюда найдем, что

г = Q (7 - еcos

Е).

13.57)

Итак,

i s i n ^ - f . f - c o s f -

C

7-

e

K /

-

C M

^ ,

/

-ecos£

W ^ o / + cos * * C ? -

e X

/

+ c o

s £ )

-

г

7-ecos£

« . j £ a * _ . £ .

( 3 . 5 9 )

а с

7 - ecosf

'

r

tit

'

г

• о

о

TjjL£0-e&in£B),

(3.60)

откуда найдем

г = * 0 - - ^ ( f D - f i s l n f B ) .

(3.61)

вую скорость, равную 2Я/Т

, и, кроне того, КА, одновременно

начавшие движение из перигея по орбитам (

в соответствии

с

рис.3.9), в одно время достигают апогея* а затем приходят

в

перигей, поскольку периоды их равны

[ сн^3.56)1.

Таким образом, формулы

( 3 . 2 0 ) ,

(3 . 26),

( 3 . 3 5 ) ,

(3 . 36),

( 3 . 4 1 ) , (3.48) и (3.61) устанавливают однозначную

связь между

V

.I

V,

,

V

и совокупностью кеплеровых элементов орбиты

I , Й,

to

,

а

, е , г .

чение, радиуса-вектора КА р ' на равную ему

сумму векторов г(

и РГ . Вектор

/°г ориентирован по линии узлов с модулем PCOSU,

векторг,-по нормали к линии узлов

в плоскости орбиты и имеет

модуль Psinu

.

•

Очевидно,

что векторы Г, и т\ имеют следующие проекции

на оси ранее

введенной

системы координат

0хтутгт1

х,= -

г sin и cost

sinSl,

у,

=

fslnu costposSi,

г,

=

psLn usi . ru,

=

85

Lj

Р

cosacosSJ,

хг

-

t

PCOSU

sinSl,

z,

= 0.

VjT

i

V

(.cosucasSiu

-8LnucostsinS)-

(3.63)

4

a

p

(sin u cos Й+cos u cost .n£l),

у

-V P

V =

=Vu

5i

CcosasLnffi + slnucosocosffi)-

i

i

V

(slnusinft - cosucosbcosft),

V.

=Vp

slnusLru+V^cosusint;,

где /* = 1 + e cos •&

a (/- e c o s £ )

- текущий радиус-вектор,

p =: a {]- ег) ,

и = со + #

t = T +

E~ esln £

£

/ 1 ~ 6

'

t ? 2 _ = V 7 7 7 "

* 9 у '

V r

= r

»

V " =

л "

-сосгавляю-

щив вектора скорости на направление

радиуса

F

и на лежа-

щую в плоскости орбиты нормаль

к этому

радиусу.

Эти составляющие можно определить следующим образом. Поль­

зуясь тем,

что

С = r V c o s 9 ,

Vu

= V c o s 8 ,

получаем

|

V =

J^P

=

]/тГ

0 + ecos$).

(3.64)

•ц

- р

Для определения

V r

продифференцируем

уравнение

( 3 . 3 ) :

ре

s i n

.

V

= r = — -

- t f . ,

( 7 + e c o s # )

Пользуясь (3.3)

и ( 3 . 6 4 ) ,

получим

V r =

]/р

е

а ь п ^'

(3.65)

Формулы (3.63) позволяют однозначно определить

значения ,

кинематических

элементов JC

, и ,

Z

, V_,, V,,* V_

в произ-

вольной точке

орбиты. Однозначность

этого расчета

непосредст-

88

Это равенство следует из свойств конического сечения

[см.

(3.21)

и рис.3.б] .

Формулу для анализа изменения скорости вдоль орбиты можно

получить из

равенства

( 3 . 3 5 ) ,

предварительно записав его в ви-

г

а

(З.бб)

Подставив

значение параметра

V

из равенства (3.31)

и сде­

лав необходимые преобразования, получим

V * E

< 3 - 6 7 )

Формулы (3,66) и (3.67) не устанавливают явной зависимо­

сти параметра $

и скорости

V

от аномалии ф . Поэтому ана­

лиз изменения скорости проводят в зависимости от отношения

радиуса

Р к большой полуоси

а.

Так

как

у

= I +

е ,

= I

-

е ,

го

из

формул

( 3 . 6 6 ) ,

(3.67) следует, что

о

- о - Ш .

v 2

-у2-к

1 +

е

*'тах

V n

I

'

v m a r

v n

a

/ - e '

(3.68)

?

- о

J~e

\rz

- \гг- — J~e •

Из

формул (3.66)

и (3.67)

следует, что параметр

V линей­

ционально радиусу

f .

Рассмотрим

случай, когда

г

= a

•. Тогда из формул

(3.66)

и (3.67) получим

V

I

* 0,5 ,

V 2

|

= — = V 2

Так как из

свойств конического

сечения (3.22) следует,что

-^-в*

то на основаниига рис.3.6

можно записать, что

cosт?

или

tfL_a=&rccos(-e).

(3.69)

Таким образом,

когда

г = a

,

скорость движения НА равна

местной круговой,

а значение аномалии определяется по формуле

( 3 . 6 9 ) . В соответствии с

проведенным анализом на рис.

3 . I I и

3.12

построены графики изменения параметра V и скорости V •