книги из ГПНТБ / Баринов К.Н. Теория полета космических аппаратов

120

COS

(760 +

= COS {l80+

-&г).

Можно показать, что в энергетическом отношении этот маневр

эквивалентен первому. В самом деле,

A V p =

e 2 s l n й[-l/^e,sLn=

]f~e,[(sin(7flb£f)-

Т = 2 ас „

'аз'

к

Отсюда заключаем, что для

изменения периода достаточно изме­

нить соответственно величину большой полуоси й .

Установим

зависимость

между АГи Аа . Имеем

откуда

г

Аа

= а,

(4.17)

121

где 3T= ~2~ + K(J^~ JT)- механическая энергия единицы

массы. Чем

больше механическая

энергия Э }

, тем меньше разность

— - э, ,

тем больше величина

а . При

V — V„

Э — — ,

а

оо.

сти AV направлен либо по вектору

скорости

,

либо против

него. На основании указанных предпосылок можно записать

(V0 + AV)2

Vo"

ду2

— = V ДV +

—

г

0

г

V

n

7 + е

е

то отсюда приходим к заключению, что максимальное изменение

энергии вызывает импульс, приложенный7-

в перигее орбиты.

Таким образом, с точки зре­

ния минимума энергозатрат управ­

ляющий импульс при изменении пе­

риода обращения должен.быть при­

ложен в перигее орбиты. При этом

для увеличения периода обращения

управляющий импульс должен быть

4

приложен в направлении скорости,

а для уменьшения периода - про­

тив вектора

скорости.

Рис.4.5

Количественная зависимость ве­

личины AV от

требуемого изменения периода обращения АГ приведе­

орбиты возникает при межорбитальном переходе, когда

требуется

перейти на орбиту, лежащую в новой плоскости.

Рассмотрим простейший некомпланар­

ный маневр, когда

требуется

повернуть

,Vt плоскость орбиты

на некоторый угол

у

без изменения геометрии орбиты. Для вы­

полнения этого маневра управляющий им­

пульс должен быть приложен так, чтобы

скорость V и угол наклона

вектора

ско­

рости к местному

горизонту

б

,

от

кото­

рых зависят параметры р ,

е

,

были бы

одинаковы до и после приложения управля­

ющего импульса (рис.4.б). В соответствии

с основным свойством импульсного манев­

ра радиус-вектор точки приложения импуль­

са является общин для исходной и новой

орбиты. В данном случае относительно

Рис.4.6

этого радиуса и происходит поворот плос-

кости орбиты на угол 3- .

По условию выполнения маневра имеем

V = v r , + A

v ;

И8 равнобедренного треугольника непосредственно находим

искомую зависимость

A V =

2 V,., s i n ~ •

(4.19)

123

При малых углах гг , когда допустимо

считать s i n — —

,

будем иметь

4 V = V r i j - t

i

(4.20)

Уп _

I + е_,

I

+

0.75

_ -

V A "

1-е ~

I

-

0,75

рядка

300 - 500 км на 1° требуется сообщить величину скорости

AV =

135 м/сек. Для поворота плоскости орбиты на угол j - = 90°

Бели исходная

орбита круговая, то при этом

AV = v T V K p

= V n a p .

Определим

теперь направление управляющего импульса относи­

тельно трансверсали. Из треугольника скоростей

(рис.4.б)

имеем:

о/, = 90 +

.

(4

.21)

Предположим, что на некоторой плоскости

(рис.4.7)

опреде­

лена исходная орбита своими параметрами

р,

, е , . На этой ор­

бите

точка I

приложения управ­

ляющего импульса

имеет

истинную

аномалию

&t ,

а точка 2

опреде­

лена

полярными координатами

гг ,

• f t j .

Требуется найти орбиту

пе­

рехода из точки I в точку 2,ве­

личину и направление

управляю­

щего

импульса

AV .

Обозначим параметры переход­

ной орбиты через

р

и

е .

За­

пишем в принятых

обозначениях

уравнения связей, налагаемых

на маневр:

-ecostf*Р

Р,

7+<

'

(4.22)

— у

7+e,cosiX

1

Рис.4.7

+ ecos(3+<£>)

2?

2

где

приложения импульса на пере­

-истинная аномалия точки '

7

ходной

орбите; Ф = д'г- ^ - дальность

перехода.

AV_

V h

\TYP^~

\ (4.?3)

AV,

AV,

COSoJ, = AV,

r,

AV,

125

где

of, - угол

между вектором

AV, и трансверсальным направ­

лением.

Функциональную

зависимость

AV, от параметров,

подлежащих

определению,

будем

называть функцией импульса. В данном

случае

требуется определить параметры переходной орбиты р

,

е

и истин­

ную аномалию точки приложения импульса на переходной орбите.

Поскольку три неизвестных

величины связаны между

собой дву­

мя условиями

( 4 . 2 2 ) , то представляется возможным свести

функ­

цию импульса (4.23)

к функции одного переменного. Возьмем в ка­

честве такой переменной фокальный параметр переходной орбиты

р

и преобразуем

выражение (4.23) с учетом

( 4 . 2 2 ) . Исключим

сперва величину

т9"* . Из первого уравнения

(4.22) имеем

Р

1

cos

Л

(4.24)

Второе

уравнение (4.22)

представим в виде

c o s ^ c o s # ~ s L n

Л

sLn<$ -

—

Решая их совместно

относительно

si-nt?*,

находим

sin

0 ; = (

-

/

7

(4.25)

е

cos Ф

е

J

sin Ф

Зависимости (4.24) и (4.25)

при заданных

р а е

однозначно

определяют третий параметр

. Возводя в квадрат

левые и

правые части равенств

(4.24)

и (4.25) и складывая

их,получим

1

(4.26)

s i n

Ф

Наконец, для радиальной составляющей скорости на переходной

орбите в точке I

имеем

е s i n #* = ••/—

. .

• .

(4.27)

VP

s m Ф

Подставив найденную

зависимость

для радиальной

скорости

(4.27) F исходное

выражение

( 4 . 2 3 ) ,

получим

Щр)=

J ^

V p -

VpSf+к

(f-7)cos$-^->)

e,S Ln^

(4.28)

Vp

sin <£

V/T

творяющей заданный уравнениям связей

( 4 . 2 2 ) .

Поэтому

она каж­

дому значению фокального параметра р

ставит

в соответствие

некоторое

значение AV, , при котором

обеспечивается

переход

из точки I

в заданную точку 2.

условие, характеризующее

маневр. В качестве такого

условия

примем

A V = m l n A V ( p ) .

(4.29)

Найденная из условия

(4.29) переходная орбита

обеспечи­

ировать значение

фокального параметра

р

,вычислить последова­

тельность значений AV,, и выбрать из нее

наименьшее значение

AV7 .Тогда

р о п т

при ДУ7 / п : п полностыо

определит собой перехЪд»-

ную орбиту

в соответствии с формулами

( 4

. 2 4 ) , (4.25) и ( 4 . 2 6 ) .

'пар

I

Если предположить, что запас характеристической

скоро­

Функция импульса

A V

( р )

(4.28) выпуклая. Поэтому в

области p m i n - р

- ртах

о

ы а и а е

е г единственный минимум

(рис.4.8), и для

отыскания его

можно использовать стандарт­

фиксирована (задана истинной аномалией

я?",

) . В случае,

ког­

да требуется перейти с ис­

ходной орбиты в заданную

точку, возникает

необходи­

мость онределеню

наряду

с

управляющим импульсом

и

положения точки.старта

с

исходной орбиты. При этом

функция импульса

имеет

тот

же вид ( 4 . 2 8 ) , но является

Pmin

Ропт

уже функцией двух перемен­

Рис.4.8

ных:

Vp

sin Ф

^

J

где

Л

Л

=

7 + e7

COST?,.

7

Результатом

решения задачи являются величины р и v}

,при

упрощения решения этой

задачи исследуем

частный случай,

ког­

да дальность перехода

Ф

равна

К

,

тем более,

что при

Ф =

= 5t - в выражении (4.28) имеет

место

неопределенность

типа ~ .

При Ф = ЗС условия

(4.22) принимают вид

7+есозтЗ^ =

П

7

+ е с о з ^ + З Е )

Г г

'

откуда получаем '

г, +

г 2

(4.30)

Таким образом, при дальности перехода, равной 5с

, фокаль­

ный параметр переходной орбиты

р

определяется

непосредствен­

но из граничных условий

(4 . 22) . Вместе

с тем оказывается опре­

деленной и трансверсальная

составляющая

импульса

4 у _

[ e s L n ^* -

е ?

&i

Если существует переходная орбита,

проходящая через

точки

I и 2, при отсутствии

радиальной составляющей импульса,

то

Исследуем радиальную составляющую импульса AVpHa предмет

обращения ее в

нуль:

esinfi*

_

er

sin

# i

_

~~W

v p ;

- °

-

Это равенство

будет

для переходной

орбиты выполняться,

ес­

ли

существует e s t n i ^ ,

удовлетворяющее

условию

e s l n i S ^ = е, s i n - д г у •

Преобразуем

это равенство

с учетом первого условия

(4.22)

и

выражения ( 4 . 3 0 ) :

Р

_

2 г,

/ + e c o s # * ~ Р ?

^

г] + г 2

'

откуда

е cos Л

г,-

п

'г

'?

рг +

г,

Исключая истинную аномалию

тЭ"*

,

получим

е ~ ( e , s „ n t f j

+

[-jtt^-J.

(4.31)

Правая часть равенства (4.31)

при любых значениях ej%

,

rj

г2

положительна. Отсюда следует,

что всегда

существует

пере­

ходная орбита, удовлетворяющая граничным условиям (4.22) и

условию

( 4 . 3 1 ) .

Таким образом, оптимальный переход с орбиты в точку при

дальности перехода ф = ЗС осуществляется

с помощью трансвер-

сального

импульса

исходная орбита круговая, то начальные уело-!

вия не

зависят от

положения точки

старта на

2

орбите

( г = const,

V = c o n s t ) .

Поэтому

зада­

ча оптимального перехода с орбиты в

задан­

ную точку трансформируется в задачу измене­

ния орбиты с минимальным изменением механи­

ческой энергии. Минимуму же изменения энер­

гии Э,

отвечает минимум изменения

большой

полуоси

а . Последнее условие

выполняется

лишь в

том случае,

когда заданная

точка

2

лежит на самой оси апсид переходной

орбиты,

Пусть исходная орбита

задана

параметрами р}

, е 7 ,

со,, а

новая орбита - параметрами

р 2 ,

е2 , с о 2 . Кроме

того,

опреде­