книги из ГПНТБ / Баринов К.Н. Теория полета космических аппаратов

бе

первой ступени, отличающихся параметрами движения в момент выключения двигателя V K 1 , 8 К , , Нк1 . Чем меньше & , тем кру­ че траектория, а прн&.= 0 будет вертикальный подъем. Характер этой зависимости показан на рис.2.9. Таким образом, подбором параметра S можно обеспечить выполнение пятого требования,

Рис.2.9

т . е . ограничить величину скоростного напора до необходимой величины. На этом выбор программы движения для первой ступени Обычно заканчивается. Фактически мы видим, что осуществляется не выбор вида программы, а только одного параметра, обеспечи­ вающего требуемый скоростной напор. Поэтому такая программа называется однопараметрической.

Ранее отмечалось, что для второй и последующих ступеней ракеты-носителя вид программы движения является линейной функ­ цией и, следовательно, может быть предогавлен в виде

программа движения на второй или на последующих ступенях ра­ кеты-носителя представляется не в виде одной линейной функ­ ции, а в виде целой совокупности таковых. В этом случае роль параметров выполняют моменты перехода с одной прямой на дру­ гую и, следовательно, число их возрастает. Один из таких при­

61

oL , tern

I N .

Рис.2.10

Поскольку первая ступень фактически только выводит вторую и последующие ступени ракеты-нооигеля с КА из плотных слоев атмосферы, выполняя требование по скоростному напору, то вся основная задача по выведению КА на заданную орбиту ловится на остальные ступени, начиная со второй. Следовательно, начальной точкой траектории выведения КА на орбиту будем считать точку конца активного участка первой ступени, а начальные условия соответственно примут вид

в

Очевидно, что конечная точка траектории выведения принад­ лежит одновременно заданной орбите. Эта точка задается в виде трех параметров

Краевая задача такого типа решается путем подбора парамет­ ров программы движения второй и последующих ступеней ракетыносителя. Причем должно быть выполнено условие равенства числа граничных условий на правом конце траектории (2.54) числу пара­ метров программы. Если же число параметров меньше числа гра­ ничных условий типа ( 2 . 5 4 ) , то задачу решить нельзя, а если наоборот, то имеет место бесчисленное множество решений.

Таким образом, чтобы обеспечить выведение КА на заданную орбиту, говорят, что необходимо решить параметрическую крае­ вую задачу, т . е . отыскать нужные параметры. В нашем случае зго будет решение трехпараметрической краевой задачи в соот­ ветствии с (2.54) и однопараметрической краевой задачи для первой ступени в соответствии с ( 2 . 4 8 ) . /

.§ 2 . 5 . РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПРОГРАММЫ

Прежде чем рассчитать параметры программы движения, необ­ ходимо выбрать их совокупность, гак как из предыдущего пара­ графа нам ясно,что параметры могут быть самой различной физи­

в общем случае, это не обязательно. Следовательно, можно в ка­

траектории выведения. Другими словами, требуется найти такие значения параметров управления, при которых осуществляется вы­

ном случае способ вычисления значений функций (2.55) опреде­ лен методом численного интегрирования системы дифференциаль­ ных уравнений (2.23) при заданных значениях параметров прог­ раммы и начальных условиях (2 . 53) .

Таким образом, расчет значений параметров программы сво­ дится к решению уравнений (2.55) путем многократного интегри­ рования системы дифференциальных уравнений (2 . 23) .

Одним из методов решения поставленной задачи является численно-графический метод, который удобен, если задача имеет один или два параметра. Однако если число параметров больше двух, то такая задача решается обычно методом последователь­ ных приближений (итераций).

По результатам вычислений строим график зависимости ^(5.) и из него выбираем удовлетворяющее нас значение скоростного напора Чдоп ( рис.2.11).

Если число параметров равно двум, то число расчетов увели­

добного типа пользуются, как правило, методом последовательных приближений (итераций). В связи с этим стремятся подобрать наи­ более эффективный метод решения в смысле сходимости вычисли­ тельного процесса, его устойчивости и быстродействия, а также с учетом возможности задания более грубого первого приближения. В настоящее время существуют такие методы, разработанные, на­ пример, на основе усовершенствования.широко известного в вычи­ слительной математике метода Ньютона.

65

Г л а в а Ш

ОРБИТАЛЬНЫЙ ПОЛЕТ КА В ЦЕНТРАЛЬНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОДЕ.

ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ § 3 . 1 . ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ОРБИТАЛЬНОГО ПОЛЕТА

Для изучения движения КА необходимо прежде всего позна­ комиться с законами и принципами небесной механики, применя­ емыми в теории космического полета.

го тела, то ею обычно пренебрегают, полагая ее во всех слу­ чаях единичной, и закон всемирного тяготения записывают в

вании большого числа определений положения планеты Марс, сде­ ланных с большой точностью астрономом Тихо Браге, с которым Кеплер работал некоторое время. Кеплер поэтому говорит о "пла­ нетах", хотя его законы применимы для любого тела, массой ко-

66

торого можно пренебречь по сравнению с массой притягивающего центрального тела. На этом основании сформулируем законы Кеп­ лера в обобщенной форме.

1-й закон. Орбита материального тела в поле центральной силы есть коническое сечение, в одном из фокусов которого на­ ходится притягивающий центр.

Коническими сечениями в математике называют эллипс, пара­ болу и гиперболу, так как их можно получить на поверхности круглого конуса в пересечении с плоскостью, не проходящей че­ рез вершину конуса. При этом поверхность конуса мыслится не­ ограниченно продолженной в обе стороны от вершины (рис.3.1).

Ф А б) Д S)

Рис*3.1

Если плоскость не параллельна ни одной из образующих конуса, so коническое сечение есть эллипс, в частности окружность (рис . 3 . I,а) . Если плоскость параллельна только одной из обра­ зующих конуса (рис.ЭД,б), то коническое сечение есть порабола. Если плоскость параллельна двум образующим конуса (рис.3.1,в),

67

На рис.3.2 полярная ось направлена из притягивающего цен­ тра к перигею орбиты - ближайшей к притягивающему центру точке П орбиты.

Из этого закона следует, что движение КА происходит в некого-

-рой" определенной плоскости, перпендикулярной вектору С , назы­ ваемой плоскостью орбиты.

Величину модуля вектора с можно определить из начальных условий, т . е .

то при движении в нем материальной точки справедлив закон со­ хранения полной механической энергии, который формулируется следующим образом. При движении центра масс КА в центральном . ньютоновском поле тяготения сумма кинетической и потенциальной энергий остается величиной постоянной, т . е .

68

Рассмотрим, каким образом изменяется потенциальная энер­ гия КА при движении его в центральном гравитационном поле. Из курса теоретической механики известно, что потенциальной

энергией в данной точке силового поля называется работа, кото­ рую совершают силы поля по перемещению материальной точки из данной точки поля в условно выбранную "нулевую". Обычно за "нулевую" точку, или нулевой уровень, потенциальной.энергии принимают уровень поверхности Земли с радиусом r=R.

Потенциальная энергия в выбранной точке поля консерватив­ ных сил равна определенному интегралу от элементарной работы, которая в свою_очередь определяется как скалярное произведение

гг

Подставив в выражение (3.8) значение силы притяжения из (3.2) и учитывая, что г di° = rdr,получим

( 3 . 9 )

Для более наглядного представления диапазона изменения потенциальной энергии воспользуемся определением первой косми­ ческой скорости.

Скорость, при которой КА двинется на постоянной высоте (с постоянным радиусом кривизны), называется круговой скоро­ стью.

Первой космической скоростью КА называется круговая ско­

Перечисленные законы широко используются при изучении ор­ битального движения КА.

Рассмотрим теперь некото­ рые определения и соотношения, которые потребуются в дальней­ шем.

На рис.3.4 показано изменение величины круговой скорости в зависимости от радиуса орбиты.

Круговая скорость КА на расстоянии от Земли, равном рас­ стоянию до Луны, составляет 1,02 км/сек. Круговая скорость Земли относительно Солнца составляет около 29,76 км/сек.

Первая космическая скорость у поверхности Земли составля­ ет 7,91 км/сек, у поверхности Луны - 1,68 км/сек, а у поверх­ ности Солнца - 437. км/сек.

Представляет интерес оценить величину начальной скорости, которая бы позволила КА удалиться в бесконечность от притяги-