книги из ГПНТБ / Баринов К.Н. Теория полета космических аппаратов

ки на поверхности земно­

го эллипсоида

определяет­

ся долготой

А

и геоцент­

рической широтой ц> или

геодезической

широтой

В .

Прежде

всего дадим

приближенную количествен­

ную оценку

ошибки вдоль

меридиана при

определении

подспутниковой

точки на

сферической

Земле.

Обозначим через

с\

точку пересечения радиуса-

вектора г~

с

меридианом

Рис.5.I

подспутниковой

точки

С .

Тогда расстояние между

точками С;' с' определится по

формуле

с , с '

= я ( ч > , - ч>)-

141

геодезической

широты

В

,

а дуга

С,'с'будет

приближаться к

максимальному

значению

с'

С'

= /? ( в -

Ф ) .

Геодезическая

широта

8

связана с геоцентрической

широтой

той же точки на поверхности Земли соотношением

В = ц> + <х s i n 2 Ф ,

( 5 . 1 )

где

oi = — —

-

коэффициент сжатия Земли.

298,3

В -

Наибольшая разность

Ф" , как это следует из

формулы

( 5 . 1 ) , имеет место

при

ф= 45°. Таким образом, наибольшее

расстояние между

точками С7'с по дуге меридиана достигает зна­

чения

т

а х

298,3

Для малых высот полета КА, например до 1000 км,

максималь­

ное

значение С' С^^не

превышает примерно 3 км.

Получим формулы для определения подспутниковой точки на

земном эллипсоиде* Для этого введем вспомогательную коорди­

натную плоскость

^

,

(рис.5.1), координаты КА на этой

плоскости обозначим

соответственно

^ х

,

. Будем полагать,

ториальной системе координат. Координаты

связаны с

координатами

х

,

у

,

z следующим

ооразом:

^

=

as c o s

( s + \ ) +

у sin

Cs+X),

(5.2)

7 * =

ъ,

где

Я -

звездное

время на гринвичском

меридиане,'

соз(

S + А) =

х

9

'

,-

У

—7==.

si.n(S + A)=

Подспутниковая

точка

С

принадлежит

земному меридиану

и, следовательно, координаты подспутниковой точки должны

удовлетворять

уразнению

эллипса:

Ь

* Ь

"

и

( 5 - 3 )

где

Q

= 6478,24

км -

большая полуось

земного

эллипсоида

Красовского;

Ь

= 6356,86 км - малая полуось земного эллипсоида Кра­

совского.

142

Введем в рассмотрение угол у

между касательной

к мериди­

ану в,подспутниковой --гочке и положительным направлением оси

Тангенс эгог'о угла численно равен производной

сам угол

у

непосредственно

связан

с геодезической

широтой

В =

90

-

( 180

-

у

)

=

- 90 +

Г .

Итак,

имеем

* 9

Г

*

Ч

а'

(5.4)

1*

откуда находим зависимость

0

В

2

(5.5)

Величины

т) ,

{:

связаны

с

координатами

КА ^№

,

^

оче-

видным соотношением

Н*

= -

—

• —

(5.6)

"

o r

ij)

Ъ г 7

Решая совместно уравнения (5.3) и (5.6) относительно неиз­

вестных

,

,

найдем

значения вспомогательных

величин ip,

ты В .При

необходимости

геодезическая

широта

В

может быть

пересчитана в геоцентрическую

широту

у

путем решения уравне­

ния

В = ф + at s i n 2 у .

Долгота подспутниковой

точки

Л

определяется непосред­

ственно

по координатам х

,

у ,

"Z

в соответствующую

дату на

момент

всемирного времени

М

:

c o s ( S + Л ) =

1/ж2 +

у 2 '

s i n

+

=

,

S = SD +

MK,

(5 . 7)

где 5 Q -

звездное

время ча гринвичском

меридиане

в гринвич­

скую полночь-, берохсл по таблицам астрономического

ежегодника;

148

М -

всемирное время, на момент которого определяется под­

спутниковая

точка.

Таким образом, для определения подспутниковой точки не­

обходимо иметь следующие исходные данные:

-

заданную дату и время в эту дату,

на момент которого

находится подспутниковая точка;

-

заданные параметрами орбиты I, Q, р,

е, со, Тп координаты

х ,.у

, ъ

КА в АГЭСК, соответствующие

заданному моменту вре­

мени.

§

5.2. ТРАССА КА И АЛГОРИТМ ЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

отвечает своя подспутниковая точка с

координатами

Л ,

ц>(или

Л ,

В ) . Геометрическое место подспутниковых точек называ­

ется

трассой КА. Если подспутниковые

точки нанести

на

гло­

шагом по времени вычислить координаты подспутниковых

то­

чек А , (р (или

Л , В ).

Рассмотрим

наиболее простой случай определения трассы КА,

когда его орбита является круговой, а земля - сферой. Первое

Из сферического треугольника С BE

имеем(рис.5.2):

s i n

= s L h 1 sin

и.

(5.8)

ты и.

Для круговых

орбит

аргумент широты пропорционален вре­

мени:

и

= озо ( t - t й ) ,

где

соо = -2-|г-

-

угловая скорость радиуса-вектора ~гь ;

Г = 2-5Су ^

-

период

обращения;

£ п -

время прохождения восходящего узла орбиты.

ет знаку

аргумента

и

. При

0 - U - 5 1

ф ^ 0? а

при JC <

ц £

— 251

су - О .Для

отыскания долготы

подспутниковых

точек,

име­

ющих аргумент

широты

и

, воспользуемся

очевидным

соотноше­

нием,

вытекающим из рис.5.2:

>—)

$

+ *

=

В*£ .

Дуга 6 £ может быть определена из сферического треуголь­

ника

ВСЕ:

.

^

t o ф

BE

=

•

t g

i

сумму:

Звездное

время

можно представить

как

Sin

где

S

Q

-

звездное время на Гринвиче в момент

прохож­

дения КА восходящего узла орбиты;

*

Тзв

-

угловая

скорость вращения Земли.

вид

Тогда формула для определения долготы

Л

примет

При этом

a r c s i n

^AiL

находится^ той же четверти, что иср.

Разность

величин

численно равна долготе

восходящего

узла

А д

(рис.5.2). По­

этому формула (5.9) мо­

жет быть

представлена

в

виде:

ЧУ

Л = Л Q + a r c s i n

t g i

(5.10)

^

3

(5.Ю)

При пользовании

форму­

лой (5.10) необходимо

иметь

в виду,

что

<f

Рис.5.2

есть

функция аргумента

широты,

определяемая

зависимостью ( 5 . 8 ) , а время

i есть

также функция аргумента

широты, но определяемая из зависимости

и -

оо0

(t

-

t

ft).

Запишем алгоритм расчета трассы КА для круговых орбит в

виде последовательности

расчетных формул:

и

=

0 +

ДИ л

,

s i n

<р =

s i n I sin

и

j

tg ф

a ;

со,

л = 5 v Q + a r c s l n

t a t

- — и,

( 5 . I I )

0

где

A u - шаг

вычислений;

/? - порядковый номер шага.

В результате

вычислений получаем последовательности чи­

сел Л , <р . Нанеся эти точки на карту

и проведя по ним линию,

получим графическое представление

трассы. При пользовании фор­

мулами

( 5 . I I )

величина Лп может

быть

либо задана,

либо, долж­

на вычисляться по заданному времени пересечения КА экватора

(восходящего

узла) .

Пусть MQ-

московское время прохождения КА узла орбиты.

межвитковым сдвигом или межвитковым расстоянием и обозначает-

L

ся

Л о

т В .

Величина меж-

виткового

сдвига зависит

только

от

периода

обраще

Л-

ния

Т

: чем больше пери

од

обращения, тем больше

межвитковое расстояние.

Для орбиты о периодом об

Рис.5.3

ращения 1,5 ч величина

л т

в составляет около

22,5°, для орбиты с периодом обращения T-IZH

Л ^ Ю О 0 .

Межвитковый сдвиг следует понимать шире, а именно как сме­

щение начала последующего витка относительно

начала предыду -

щего.

Трасса КА, движущегося в центральном . гравитационном

поле

обладает тем свойством,

что

на любой широте

трасса последующе­

го витка смещена относительно трассы

предыдущего витка на одну

и ту же величину \ m B - -

j -

2 T L •

Из этого очень важного3

овойсгва трассы вытекает простое

сместить в западном направлении на величину Лтв=

c o n s t

(рис.5.4).

М

9

8

7

6

5

4

3

I {

12

ф

Рис.5.5

Если в звездных сутках T3Sукладывается

не целое число

периодов, то начало первого витка вторых суток оказывается

смещенным в западном направлении на величину

А!КСотноситель­

Величина суточного смещения трассы зависит от дробной ча­

сти

отношения

. Представим это отношение в виде

-у-

= 'п,

т,

где

т -дробная часть (/7?-=1 ) .

Суточное

смещение

трассы

свя­

зано с величиной

т соотношением

М с

= -

( 7 - т)

^ w e .

(5.13)

Чем больше т ,

тем меньше суточное смещение в западном

на­

Т а б л и ц а

5 . 1

п

16

15

14

13

12

I I

10

8

Н к/ч

263

570

904

1245

1678

2130

2752

• • •

35600

Т

Я

В этом случае

КА возвращается в исходную

точку

трассы

после

совершения

р

витков по истечении

звездных

суток.

Если от-

ношение

. представляетсяппелптятитя'й'пг'Я-

иррациональнымиппягтиш

числом, то

трасса

с учетом соотношений

/ 7 - е

Ч, -

£

.

V

г^УтГе

Ч

гГ = и

- со.

Для случаев круговых орбит имеется простое

(линейное)

соотношение ме*ду временем и аргументом широты

и :