книги из ГПНТБ / Баринов К.Н. Теория полета космических аппаратов

70

V

Рис.3.4

ващего центра, а также определить, какая скорость будет в бесконечности в зависимости от величины начальной скорости V 0 . Для этого воспользуется законом сохранения полной механической

2 . Если V0 =2V,K O C -JT, ^oVj=Voan=0z% следовательно, КА уходит

бесконечность, имея V ^ - V ^ O . В этом случае КА преодолевает поле притяжения планеты, двигаясь по гиперболической траекто­ рии.

71

На основании проведенного анализа сформулируем следующее определение.

Минимальная начальная скорость, необходимая для удаления КА в бесконечность из данной точки пространства, называется параболической скоростью или скоростью освобождения. Эта ско­ рость, на основании второго случая, определяется по формуле

Вторая космическая скорость для Земли, Луны и Солнца со­ ставляет соответственно 11,2; 2,4 и 619,4 км/сек.

График изменения параболической скорости в зависимости от радиуса приведен на рис.3.4.

§3 . 2 . КЕПЛЕРОВЫ ЭЛЕМЕНТЫ ОРШТЫ

В§ 3 . 1 . отмечалось, что будем изучать движение КА только под действием одной центральной силы. Особенность такой зада­ чи заключается в том, что в отличие от большинства других про­ блем космических полетов, представляющих достаточно большие

затруднений для математического описания и изучения. При этом все движения, укладывающиеся в рамки задачи двух тел, обычно называют каплеровыми движениями, так как они изучаются на ос­ нове уже изложенных в предыдущем параграфе законов Кеплера.

Таким образом,кеплеровы движения являются простейшими видами движений КА в космическом пространстве. Траектории более слож­ ных космических полетов могут быть в первом приближении пред­ ставлены состоящими из кеплеровых траекторий.Так траектория тле-

72

та к какой-либо из планет солнечной системы может быть пред­ ставлена состоящей из начальной кеплеровой орбиты с фокусом в центре Земли, промежуточной кеплеровой орбиты с фокусом в цен­ тре Солнца и конечной кеплеровой орбиты с фокусом в центре до­ стигаемой планеты.

Естественно поэтому, что теория космических полетов долж­ на начинаться с изучения теории кеплеровых движений.

Кеплерова орбита КА в пространстве,подобно траектории актив­ ного участка, может быть полностью охарактеризована шестью не­

но однозначным соотношением с начальными условиями движения, может быть использована в качестве характеристики кеплеровой орбиты. Такую систему.величин называют полной системой'кепле­ ровых элементов орбиты. При этом характерным признаком ее пол­ ноты является so, что она полностью определяет орбиту, т . е . позволяет найти значения координат и составляющих вектора скорости центра масс КА в любой точке его орбиты.

Прежде чем ввести систему кеплеровых элементов орбиты КА, рассмотрим, что представляет собой эта орбита в пространстве на фоне планеты (рис.3.5).

Из второго закона Кеплера следует, что плоскость, в кото­ рой происходит движение КА, остается неизменной в простран­ стве. Эту плоскость называют плоскостью орбиты. Линию пересе­ чения плоскости орбиты с плоскостью экватора называют линией узлов. Точку, в которой орбита пересекает плоскость экватора при движении КА с юга на север, называют восходящим узлом и обозначают знаком <J£ . Противоположную (относительно центра Земли) точку орбиты называют нисходящим узлом и обозначают через 1$ .

Положение восходящего узла характеризуется углом между осью0хтабсолютной.системы координат и направлением 0SI в плоскости экватора. Этот угол О. называют прямым восхожде­ нием восходящего узла. Угол Q отсчитывают против движения часовой стрелки (если смотреть со стороны северного полюоа).

В качестве второго угла, характеризующего положение плос­ кости орбиты КА, используется угол I между плоскостями эк-

73 ватора и орбиты, называемый наклонением орбиты. Вершиной это­

го угла является восходящий узел,а отсчет его ведется против

Рис.3.5

движения часовой стрелки от восточного направления на эква­ торе. Наклозепие орбиты изменяется в пределах ох 0 до 180° (при поворохе плоскости орбиты на угол, больший 180°, восхо­ дящий и нисходящий узлы меняются местами).

Таким образом, значения углов восходящего узла и наклоне­ ния полностью характеризуют положение плоскости орбиты КА в пространстве.

В плоскости орбиты КА необходимо определить ее ориенха-- к№. Как видно на рис.3.5 ,ориентация орбиты (ее полярной оби) определяется углом со , который называют аргументом периценхра, измеряемым ох восходящего узла до периценхра ор­ биты по направлению движения КА. Этот угол определяется по

менены другими элементами. В связи с этим в качестве примера рассматриваются геометрические характеристики эллиптической орбиты (рис.3.6):

2с-

Рис.3.6

В курсе математики приводятся следующие соотношения между параметрами кривой второго порядка:

75

с

(3.21)

аг = 6 < + c % j

атакже уравнение кривой второго порядка в полярных координа­ тах

г, —Р

Приведенных соотношений (3.21) и рис.З.б достаточно, чтобы установить новые зависимости:

жение плоскости орбиты в пространстве, воспользуемся очевидным условием, что векторы г0 и V0 лежат в плоскости орбиты.

Единичный вектор нормали в этой плоскости (рис.3.7; опре­ деляется следующим образом:

где

С другой стороны, эти углы можно определить при помощи уг­ лов i и й . Для этого обозначим через А , 6 , С , N точки пересечения осей координат и нормали к плоскости орбиты с еди­ ничной сферой и рассмотрим сферические треугольники АЦМнВЦЛ/, в которых

78

Определив апогейное и перигейное расстояния, а также 8нал соотношения (3*22), можно найти все интересующие нас элементы кеплеровской орбиты через начальные условия. Выпишем их в ко­ нечном виде:

лии воспользуемся уравнением орбиты ( 3 . 3 ) , разрешив его отно­ сительно cosily: