книги из ГПНТБ / Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие

Малой выборкой считается выборка, объем которой не пре­ вышает 25 единиц продукции. Если объем выборки больше 25 единиц, то она считается большой. При анализе производ­ ственных процессов обычно применяются большие выборки, со­ стоящие из 50— 100 единиц продукции; при контроле и регули­ ровании — малые выборки объемом 3— 10 единиц.

Определение метода отбора единиц продукции в выборку зависит от способов представления продукции на контроль. Су­ ществуют три способа: в виде «ряда», «россыпи» и «потока». «Ряд» характеризуется тем, что единицы продукции, поступаю­ щие на контроль, упорядочены, они легко могут быть пронуме­ рованы; каждую единицу продукции легко отыскать. Приме­ рами продукции, поступающей на контроль способом «ряд», могут служить автомобили, электродвигатели, приборы.

Второй способ представления продукции на контроль — «россыпь» характеризуется тем, что единицы продукции неупорядочены, их трудно нумеровать и практически невозможно отыскать определенную единицу продукции (например, шай­ бы, гайки, кнопки).

«Поток» имеет следующие особенности: единицы продукции поступают на контроль непрерывным потоком одновременно с выпуском продукции; единицы продукции упорядочены, можно легко отыскать и достать каждую вторую, пятую и т. д. едини­ цы продукции (например, продукция, изготовляемая на стан­ ках-автоматах и конвейерах).

В зависимости от способа представления продукции на контроль различают следующие методы отбора единиц продук­ ции в выборку:

случайного отбора; наибольшей объективности; систематического отбора.

Метод случайного отбора применяется в тех случаях, когда продукция однородна и представлена на контроль в виде «ря­ да», а также во всех остальных случаях для однородной про­ дукции, если это не ведет к большим трудностям экономиче­ ского или технического порядка. Метод случайного отбора ис­ пользуется в двух вариантах:

А — для отбора единиц продукции в выборку применяют таблицы случайных чисел (ГОСТ 11003—73);

Б — для отбора единиц продукции в выборку применяют карточки. Количество пронумерованных карточек должно сов­ падать с количеством пронумерованных единиц. Номер кар­ точки соответствует номеру определенной единицы продукции. Карточки тщательно перемешивают и произвольно достают по одной; номер карточки указывает, какую единицу продукции следует включить в выборку.

60

Метод наибольшей объективности применяется в тех слу­ чаях, когда продукция представлена на контроль в виде «рос­ сыпи». При этом необходимо стремиться включать в выборку единицы продукции из разных частей контролируемой партии.

При методе систематического отбора единицы продукции отбирают в выборку через определенный интервал (количество единиц). Например, если выборка должна составить 5% от контролируемой партии, то отбирается каждая двадцатая еди­ ница продукции. Чаще всего этот метод применяется в тех слу­ чаях, когда продукция представлена на контроль в виде «по­ тока».

§12. Распределение выборки. Графические представления статистических распределений

Выборочный метод позволяет решить две основные задачи, имеющие большое практическое значение. Первая заключается в установлении закона распределения изучаемой случайной величины и параметров этого распределения по данным вы­

что если генеральная совокупность подчиняется определенно­ му закону распределения, то и выборка из этой совокупности, если объем ее достаточно велик, будет подчиняться этому же закону. Утверждение будет тем точнее, чем больше объем вы­

рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения

к объему выборки — = W t — относительными частотами.

п

Статистическим или эмпирическим рядом называют пере­ чень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистический ряд можно задать также в виде после­ довательности интервалов и соответствующих им частот.

Заметим, что в теории вероятностей под распределением по­ нимают соответствие между возможными значениями случай­ ной величины и их вероятностями, а в математической стати­ стике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или относительными частотами.

61

Проверка: 0,15+0,50+0,35=1.

Статистической функцией распределения (функцией рас­ пределения выборки) называют функцию F *(x ), определяю­ щую для каждого значения х относительную частоту события

X < х:

где пх — число наблюдений, меньших х;

п— объем выборки.

Вотличие от статистической функции распределения вы­ борки интегральную функцию F (х) распределения генеральной совокупности называют теоретической. Различие между стати­ стической и теоретической функциями состоит в том, что тео­

для оценки теоретической функции распределения генераль­ ной совокупности (партии).

Значение А'<6, а именно л:, = 2 наблюдалось 12 раз. Следовательно,

12

F * ( х ) = — = 0,2 при 2 < х < 6.

62

Для наглядности строят различные графики статистическо­ го распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

П о л и г о н о м ч а с т о т называют ломаную, отрезки кото­ рой соединяют точки (лт, я-i), {х2 (хд, пд). Для по­ строения полигона частот на оси абсцисс откладывают вариан­ ты Х{, а на оси ординат — соответствующие им частоты л*. Точ­ ки (Xi, rii) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

63

ных частот iia оси абсцисс откладывают значения х;, а на оси; ординат —■ соответствующие нм относительные частоты 1Г,-. Точки (лу, ff'f) соединяют отрезками прямых и получают поли­ гон относительных частот.

На рис. 10 изображен полигон относительных частот сле­

ру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых слу­ жат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отноше­

нию (плотность частоты). Для ее построения на оси

аоецнсс откладывают частичные интервалы, а над ними прово­

, Wi т

частичного прямоугольника равна h--j- = Wi. Следователь­

но, площадь гистограммы равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.

Благодаря наглядности гистограммы получили широкое распространение в области контроля качества. На передовых

64

предприятиях давно существует практика записи «истории ка­ чества». Все показатели качества изделий от партии к партии отражаются в виде гистограмм, на которые наносят дополни­ тельные линии технических пределов и номинального значения. С помощью гистограмм рекомендуется оформлять предложе­ ние-заявку и сертификат-гарантию. Карточки с гистограммами удобно хранить, легко сортировать в зависимости от исследуе­ мого признака. На рис. 12 схематически представлена «исто­ рия качества».

О

При статистическом анализе гистограмма является ценным средством. Введение статистических методов на предприятии надо начинать с исследования распределения частот и построе­ ния гистограмм. Одновременно определяют статистические ха­ рактеристики: среднюю арифметическую и среднее квадрати­ ческое отклонение. Построение гистограмм — это первая сту­ пень при введении на предприятиях контрольных карт.

§ 13. С тати сти ч ески е оценки п а р а м е т р о в р асп р ед ел ен и я

Пусть требуется изучить количественный признак генераль­ ной совокупности. Допустим, что теоретически удалось устано­ вить, какое распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить (приближенно найти) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра пол­ ностью определяют нормальное распределение. Если же есть основания считать, что признак имеет распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр а , которым это распределе­ ние определяется.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь дан­

далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр.

Рассматривая х и Хо,...,хп как независимые случайные ве­ личины АТ, А2, . . . , Хп, можно сказать, что найти статистиче­ скую оценку неизвестного параметра теоретического распреде­ ления — значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемо­ го параметра. Например, для оценки математического ожида­ ния нормального распределения служит среднее арифметиче­ ское наблюдаемых-значений признака:

- _ * 1 - р * 2 Т ~ * 3 4 ~ • • • ~ \~ х п

п

Чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближе­ ния оцениваемых параметров, они должны удовлетворять оп­ ределенным требованиям. Рассмотрим эти требования.

Пусть 0 * — статистическая оценка неизвестного парамет­ ра 0 теоретического распределения. Допустим, что по выбор­ ке объема п найдена оценка ©Д. Повторим опыт, т. е. из­ влечем из генеральной совокупности другую выборку того же

ожидание которой не равно оцениваемому параметру, приве­ дет к систематическим (одного знака) ошибкам. По этой при­ чине естественно потребовать, чтобы математическое ожидание

-66

оценки |i ( 0 * ) = 0 было равно оцениваемому параметру. Хотя соблюдение этого требования не устранит ошибок (одни зна­ чения 0 * больше, а другие меньше 0 ), однако ошибки разных знаков будут встречаться одинаково часто. Иными словами,

математическое ожидание которой равно оцениваемому пара­ метру 0 при любом объеме выборки, т. е. р(@*) = 0 .

С м е щ е н н о й называют оценку, математическое ожида­ ние которой не равно оцениваемому параметру.

Однако было бы ошибочно считать, что несмещенная оцен­ ка всегда дает хорошее приближение оцениваемого парамет­ ра. Действительно, возможные значения 0 * могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т. е. дисперсия а2(в *) может быть значительной. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка, например © Д может оказаться

этой причине к статистической оценке предъявляется требова­ ние эффективности.

Э ф ф е к т и в н о й называют статистическую оценку, кото­ рая (при заданном объеме выборки п) имеет наименьшую воз­ можную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема к статистиче­ ским оценкам предъявляется требование состоятельности.

С о с т о я т е л ь н о й называют статистическую оценку, ко­ торая при п-*- сп стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при tt-vco стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Чтобы кратко выразить результаты наблюдений, сущест­ вуют два типа числовых характеристик: с помощью одного из них описывается среднее положение наблюдаемых значений, с помощью другого — отклонение индивидуальных значений от среднего. Числовые характеристики называются также ста­ тистическими мерами.

В практике контроля качества особый интерес представ­ ляют следующие средние значения: среднее арифметическое

значение х и медиана — х. Наиболее известно среднее арифме­ тическое ряда измерений. В повседневной жизни нам приходит­ ся часто сталкиваться с такими средними значениями. Так, на

предприятии рассчитывается среднемесячная доля брака, сред­ ний расход сырья в цехе или среднесуточная производитель­ ность агрегата. Точно так же, как вычисляют эти средние зна­ чения (суммирование индивидуальных значений и деление суммы на количество величин), определяют и среднее арифме­ тическое ряда измерений объема п со значениями хь х2, ... , хп.

Среднее арифметическое ряда измерений определяется по формуле

Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами. Основное свойство средней арифметической: сумма откло­

нений Хг от средней арифметической всегда равна нулю:

(*i—х) + (х2— х) + . .. + [х„ — х) = 2J (хг — х) = 0. I

Справедливость этого свойства следует из определения средней арифметической и показана на примере 14.

Если значение х,- выражается числом, состоящим из не­ скольких цифр, то вычисления можно упростить, введя услов­

ную среднюю ха. Тогда

«8

дений является медиана или центральное значение х. Для ее вычисления все наблюдения необходимо расположить в поряд­ ке возрастания или убывания результатов измерений. Если п — нечетное число, то медиана является числом, находящимся в центре упорядоченной последовательности. При четном п медиана равна среднему арифметическому двух расположен­ ных в середине значений упорядоченной последовательности.

Найдем медиану для значений х,-, приведенных в приме­ ре 14. Для этого расположим все данные в возрастающем по­ рядке: 101,61; 101,62; 101,63; 101,64; 101,65. Четвертое, цент­ ральное значение ряда равно 101,63. Следовательно, медиана

х = 101,63.

По определению медиана х зависит исключительно от одно­ го или двух центральных значений ряда измерений. Осталь­ ные значения последовательности можно произвольно варьи­

ровать, не изменяя при этом х, в то время как среднее ариф­

метическое х может существенно измениться.

Особенно легко определять медиану малого количества из­ мерений. Поэтому медиана часто используется в технике конт­ рольных карт, где ей отдается предпочтение перед средним арифметическим.

Для описания статистических распределений недостаточно введения единственного числа, характеризующего ряд измере­ ний через их среднее значение, так как два статистических рас­ пределения с одинаковыми средними могут иметь совершенно разный вид.

Рассмотрим наиболее употребительные в практике меры рассеяния: размах (варьирования) R, выборочное среднее квадратическое отклонение s, а также его квадрат s2.

Проще всего рассчитать р а з м а х R, который равен разно­ сти между максимальным и минимальным значениями призна­ ка в ряде измерений. В примере 14R = 101,66— 101,62 = 0,04.

Для вычисления размаха используются крайние значения, расположенные в порядке возрастания или убывания последо­ вательности результатов измерения, причем распределение промежуточных измерений может быть неизвестно. Поэтому

69