книги из ГПНТБ / Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие
..pdfпараметров, а можно принимать одно из двух решений: при годно изделие к дальнейшему использованию или нет, т. е. де лить изделия на годные и дефектные. В первом случае говорят о так называемом количественном признаке качества, во-вто- ром — альтернативном.
В соответствии с видом классификации изделий различают контроль по альтернативному и количественному признакам. Контроль по альтернативному признаку обладает рядом пре имуществ по сравнению с контролем по количественному при знаку. Во-первых, он проще как по объему вычислений, так и по организации его на производстве, методика контроля не за висит от вида распределения измерительных параметров и по этому является более универсальной, тогда как в большинстве случаев при контроле по количественному признаку предпола гается, что измеряемые параметры имеют нормальное распре деление. Однако следует отметить, что при контроле по аль тернативному признаку используется лишь малая часть инфор мации, содержащейся в наблюдениях, что приводит к необхо димости большого количества измерений.
В соответствии с решением о дальнейшем использовании партии планы контроля делятся на два типа:
D] — когда заключение о браковке партии приводит к ре шению об отклонении партии как негодной;
Do — когда заключение о браковке партии приводит к ре шению в ее разбраковке и изъятии дефектных изделий (с за меной или без замены дефектных изделий годными).
Если контроль носит разрушающий характер, то возмож но применение только планов первого типа, во всех остальных случаях выбор типа плана определяется чисто экономически ми соображениями и специфическими условиями производ ства.
§23. Основные характеристики планов статистического приемочного контроля
Поскольку при статистическом приемочном контроле суж дение о качестве партии выносится на основании испытаний только части изделий из партии (выборки), неизбежны ошиб ки, связанные с браковкой хороших и приемкой плохих пар тий. При случайном отборе изделий можно при общем неболь шом количестве дефектных изделий в партии отобрать на про верку значительное число дефектных, что приведет к ложному решению о браковке хорошей партии (ошибка первого рода). С другой стороны, при засоренности партии дефектными изде лиями в выборке может оказаться сравнительно небольшое ко
151
личество дефектных, н плохая партия будет принята (ошибка второго рода).
Задача заключается в том, чтобы в условиях выборочного контроля такие ошибочные заключения делались крайне ред ко, а степень их возможности была заранее определена. Ошиб ки первого и второго рода должны учитываться при планиро вании контрольных испытании.
Пусть на контроль поступают партии, степень засоренности которых приведена на рис. 35. Назначим план контроля, в соответствии с которым партия объемом N=1000 шт. принимается, если в выборке «=100 шт. ока жется не более С ~ 0 (приемочное число) дефектных изделии. Результаты выборочного контроля следующие: в выборках из 75 партии дефектных из
делий не оказалось, |
в 24 было найдено |
по одному дефектному изделию, |
в четырех — по два, |
в двух •— по четыре, |
в одной •— шесть и в двух — по |
восемь. При сопоставлении с результатами сплошного контроля оказалось, что вес 75 партий, в выборках из которых не обнаружены дефектные изде лия, выпущены при нормальном ходе производства, из 24 партий, в выбор ках которых обнаружено одно дефектное изделие, 23 выпущены при нор мальном ходе производства, из четырех партий с числом -дефектных изде
лий в выборке, равном двум — две, остальные |
партии выпущены в усло |
виях разлаженного технологического процесса. |
Из примера следует, что |
выбранный план контроля не эффективен, что назначать систему правил приемки партии, в соответствии с которой в выборке не должно быть де фектных изделий, нельзя, так как это приведет к ненужному забракова нию 23 хороших партий.
Для |
оценки эффективности плана выборочного контроля |
|
служит так называемая |
о п е р а т и в н а я х а р а к т е р и с т и |
|
ка, пли, |
как ее иначе |
называют, р а б о ч а я х а р а к т е р и |
с т ик а . |
Под оперативной характеристикой плана контроля |
понимают функцию L (q ), равную вероятности принятия пар тии с уровнем качества q. Рассмотрим оперативную характе ристику плана сплошного контроля.
В процессе контроля каждого изделия в партии оказывает ся точно известным количество дефектных изделий в партии. Если это количество больше некоторого критического значе ния Ml{p = NqKp, то такая партия обязательно (с вероятностью равной единице) будет отклонена, как не соответствующая требованиям потребителя. Если количество дефектных изделий в выборке меньше Мкр, то партия с вероятностью единица бу дет принята. При этом считают, что ошибки, связанные с опре делением степени пригодности изделия, исключены. Оператив ная характеристика плана сплошного контроля показана на рис. 36, а. Такую оперативную характеристику будем назы вать идеальной. Однако построить выборочный план с такой рабочей характеристикой невозможно. В этих случаях потре битель и поставщик договариваются о двух уровнях качества <7о и qm- партии с уровнем качества q ^ q о считаются заведомо хорошими, а партии с уровнем качества q ^ q m. причем qm > ?о, — плохими. Интервал q0^ q s ^ q m считается зоной не
определенности. Партии с таким уровнем качества считаются еще допустимыми. .Величину q0 будем называть приемочным уровнем качества (ПРУК), величину qm— браковочным уров нем качества (БРУК).
Рис. 36. Оперативные характеристики алана контроля:
а — сплошного; о — статистического
Таким образом, вся продукция делится на три категории: продукция первой категории, уровень качества которой
q^qo\ |
уровень |
качества |
которой |
продукция второй категории, |
|||
q~z^q-m\ |
уровень |
качества |
которой |
продукция третьей категории, |
удовлетворяет соотношению qo<q<qm-
К плану контроля предъявляются требования, состоящие в том, что партии первой категории должны по возможности приниматься, второй — по возможности браковаться. В коли чественном отношении эти требования выражаются в том, что вероятность принятия партии с уровнем качества q ^ q o долж на быть не меньше величины 1—а, а вероятность приемки пар тий, у которых q ^ q m, не должна превышать величины |3.
Величины а |
и |
|5 называются соответственно р и с к а м и |
п о с т а в щ и к а |
и |
п о т р е б и т е л я и представляют собой |
вероятности ошибок первого и второго родов. Задание рисков а и р обеспечивает гарантии поставщика и потребителя в от ношении забракования хороших и приемки плохих партий. На практике величины а и р выбираются равными 0,1; 0,05; 0,01. Назначение их не является статистической задачей, а пол ностью определяется последствиями от неверно принятых ре шений (ошибок первого и второго рода).
Таким образом, если требования поставщика и потребите ля сформулированы в виде четырех чисел, например: qD=0)01; ^,„ = 0,05; а = р = 0,1, то это значит, что в среднем из каждых ста партий, имеющих уровень дефектности не более 1%, будет
153
забраковано не более пяти партий, а из 100 партий, содержа щих пять и более дефектных изделий, будет принято не больше пяти партий. Таким образом, для любого плана приемочного контроля справедливы уравнения:
LU/0) > l - a ; |
(90) |
|
(91) |
Учитывая также, что L(0) = 1, L (1 )= 0 , легко |
представить |
внешний вид оперативной характеристики статистического пла на контроля (рис. 36, б).
Уравнения (90), (91) являются основой для задания плана приемочного контроля, т. е. назначения объема выборки и нор мативов, с которыми сравниваются результаты контроля, и вычисления оперативной характеристики L(q).
Рис. 37. Действительный риск поставщика при необоснованном зада нии приемочного уровня качества
Остановимся на вопросе назначения требований q0 и qm. Величина браковочного уровня качества выбирается исходя из требований потребителя, которому необходима продукция с уровнем качества не ниже qm. Величина приемочного уровня качества устанавливается с учетом возможностей производ ства, которое должно обеспечить выпуск продукции с уровнем качества qB^ q o , где qH— средний уровень засоренности пар тий при нормальном ходе производства. Только в этом случае поставщик гарантирует себя от напрасной браковки хороших партий, выпущенных при соблюдении основных требований технологии. Как правило, значение q0 немного больше qB. В противном случае эффективность плана контроля снижает ся. Действительно, если приемочный уровень качества много меньше qB, вероятность принятия партий, как это видно из рис. 37, резко падает, и действительный риск поставщика уве личивается. При выборе <7о, значительно превышающего qB, действительный риск поставщика меньше а, однако такой план
154
контроля окажется, как это будет видно из дальнейшего изло жения, фактически неэффективным, так как потребует боль ших объемов выборок.
Таким образом, знание требований потребителя к качеству продукции, уровня, достигнутого предприятием-изготовителем, последствий от принятия ложных решений о приемке и браков ке партий оказывается необходимым и достаточным для пла нирования контрольных испытаний по принципу недопустимо го в эксплуатации уровня качества. Предварительная оценка эффективности плана контроля производится с помощью опе ративной характеристики, характер правой части которой дол жен удовлетворять требования потребителя, левой — требова ния поставщика, а средней — того или другого в зависимости от степени ответственности контролируемых изделий. Более полная оценка эффективности может осуществляться с учетом статистической оценки уровня качества принятой продукции. Такие оценки в статистическом приемочном контроле назы ваются последующими.
§24. Статистический приемочный контроль по альтернативному признаку
Одноступенчатый приемочный контроль. Пусть на контроль предъявлена партия объемом /V, содержащая М дефектных изделий. Из партии случайным образом отбирается выборка
объемом л штук. Партия принимает |
|
|
|
|
||||
ся, если в выборке окажется не бо |
|
|
|
|
||||
лее с дефектных изделий, в против |
|
|
|
|
||||
ном случае партия бракуется. |
На |
|
|
|
|
|||
званная система |
правил |
оценки ка |
|
|
6раходка |
|||
чества товарной партии |
составляет |
|
|
|||||
|
|
-L с </ |
||||||
сущность |
одноступенчатого |
при |
|
|
||||
емочного контроля. Графически из |
|
|
с y |
|
||||
ложенная процедура контроля пред |
|
|
Приемка |
|||||
ставлена на рис. 38. |
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим оперативную харак |
■ |
■■ 1 |
— ■■■ |
■ ■—■. |
||||
теристику |
плана |
одноступенчатого |
|
|
>(П) |
К |
||
приемочного контроля. |
|
|
Рис. |
38. |
Схема |
процедуры |
||
При сформулированных условиях |
одноступенчатого |
приемоч |
||||||
число дефектных изделий в выборке |
|
ного контроля |
имеет гипергеометрическое распре деление, поэтому вероятность того, что в выборе окажется ров но т дефектных изделий, равна
Iп п - т
,92)
CN
155
где с* — число сочетаний из /г элементов по к. Поскольку
в выборке допускается не более с дефектных изделий, вероят ность приемки партии (оперативная характеристика) опреде ляется как сумма вероятностей попадания в выборку 0, 1,2 ... с бракован иых деталей:
L(q\ = P0 ^ -P 1 + . . . + Р С= 2 Рт . |
1.931 |
т - О |
|
Уравнения (92) и (93) определяют основные свойства опе ративной характеристики, а именно:
при фиксированном объеме выборки с ростом приемочного числа с вероятность приемки партии увеличивается (рис. 39, а ) ;
Рис. 39. Изменение вероятности приемки партии при постоян ных:
и — объеме выборки и различных значениях приемочного числа с: б — приемочном числе с и различных значениях объема выборки
при фиксированном приемочном числе с с ростом объема выборки вероятность приемки партии уменьшается (рис.39, б).
Из сказанного вытекает очень важное в практическом от ношении следствие: часто применяемые в производстве планы контроля с объемом выборки, составляющим определенный процент от объема партии, в условиях переменного N и посто янного с могут оказаться малоэффективными, так как с изме нением выборки меняется также и вероятность приемки партии.
Выбор плана одноступенчатого контроля заключается в назначении объема выборки п и приемочного числа с. Если требования к плану контроля сформулированы в виде задания q0, с / т , а и р , объем выборки и приемочное число могут быть найдены как корни системы (90) и (91), которая в данном случае запишется следующим образом:
с т |
г п — т |
(94) |
•« =0 |
= 1 — а; |
|
CN |
|
156
c |
tn jn — m |
__ 0 |
|
V |
N4mCN-Nqm |
( 9 5 ) |
|
Ь |
~n |
- lJ. |
|
m = 0 |
CN |
|
|
где N q=M .
Вычисление величины Pm затруднительно. Но известно, что при N — оо гипергеометрическое распределение приближается к биномиальному, особенностью которого является независи мость его от объема партии. На практике, если n ^ 0 ,\N , вме сто гипергеометрического распределения можно использовать биномиальное.
В этом случае вероятность попадания в выборку т |
дефект |
|
ных изделий вычисляется по формуле |
|
|
Рт = |
с;;ят { \ - я у - т , |
(96) |
а вероятность приемки партии |
|
|
L { q ) = |
2 c';i‘qm{ l — q)n- m. |
197) |
|
/л=0 |
|
Дальнейшее упрощение вычислений связано с заменой би номиального распределения распределением Пуассона, кото рое с достаточной точностью можно применять, когда доля де фектных изделий в партии не превосходит 0,1. В этом случае можно пользоваться формулой
Рт |
(пд)т С- ПП' |
(98) |
|
т\ |
|
В отечественной и международной практике распространен случай одноступенчатого контроля с приемочным числом с, равным нулю. Оперативная характеристика этого плана конт роля для случая, когда число дефектных изделий в выборке имеет биномиальное распределение, вычисляется по формуле
L{q) = (1 — <?)". |
(99 |
При заданных qm и |3 данный план обеспечивает минимальный объем контроля.
Для рисков поставщика и потребителя можно записать уравнения:
(1 — <7о)" = |
1 — |
( ЮО) |
( 1 - О л = |
Р- |
(101) |
Из уравнений (100) и (101) получаем соотношение
1n (1 |
?m) _ |
In Р |
/ 102) |
In (1 — ?о) |
In (1 — а)’ |
|
из которого следует, что обеспечить заданные риски а и (3 при
157
плане контроля с с —0 можно только при определенном соот ношении qо и qm, не зависящем от объема выборки п.
Пусть задан браковочный уровень </т=0,05. При этом риск потреби теля не должен превышать величины Р = 0,05. Необходимо выбрать план контроля, гарантирующий потребителю приемку продукции с уровнем ка
чества не хуже </,„.
Очевидно, поставщик заинтересован в выборе плана контроля с наи
меньшим объемом выборки п. Наименьший объем |
выборки соответствует |
плану с приемочным числом с= 0 . Из уравнения |
(101) находим, что требо |
вания потребителя будут гарантированы, если назначить п = 5 6 *. Посмот |
рим какой уровень качества должен обеспечить поставщик, чтобы, удовлет
ворив |
требования потребителя, |
гарантировать |
себя |
от |
забракования хоро- |
|||
ших |
партий. Назначив и=0,1, |
из |
уравнения |
С |
|
с 'п Я™ —<?0) т| — = 0,9 |
||
S |
|
|||||||
находим, что приемочный уровень |
качества |
|
//2 =0 |
|
быть не более 0,002. |
|||
должен |
Однако такой уровень качества обеспечить в производстве трудно, а в ряде
случаев п невозможно.
Допустим, что оборудование завода-нзготовителя позволяет наладить
выпуск продукции |
с |
уровнем |
качества |
</п = 0,01. |
Тогда, |
предъявив |
к плану |
|||
контроля |
требования |
в виде |
<7т =0,05, |
</0=0,01, |
а=0,1, |
Р=0,05 |
из |
формул |
||
(90), (96) |
находим, что контроль надо осуществлять |
выборками по 124 из |
||||||||
делия от |
партии, |
назначив |
приемочное число с = 3 . |
Если бы |
поставщик |
оставил план контроля п = 56, с = 0 |
и производил продукцию с уровнем каче |
|||
ства </ц = 0,01, |
ему пришлось |
бы в |
среднем |
браковать 45% партии с уров |
нем качества |
q n < q m, так как |
/.(<?„) =0,55. |
Это должно привести к излиш |
ним и неоправданным расходам.
Анализ результатов расчетов показывает, что с увеличе нием приемочного числа с увеличивается объем выборки; од нако при этом для фиксированных рисков а и р и уровня qm
отношение — стремится к единице, и оперативная характе ре
рнстика приближается к идеальной.
Многоступенчатый приемочный контроль. Пусть на конт роль подается партия, состоящая из N изделий. Из партии слу чайным образом отбирается выборка объемом п\. Если число дефектных изделий в выборке т { не превышает приемочного
числа сь партия принимается, если величина |
окажется не |
меньше браковочного уровня dx (с1л> C j), партия |
бракуется; |
если случайная точка т \ попадет в интервал между сх и du |
принимается решение о назначении второй выборки объемом п2 (п2 не обязательно равно ti\). Для второй выборки также устанавливаются нормативы с2 и d2, с которыми сравниваются
результаты контроля, а именно: |
если nii + m2^ .c 2, партия при |
||||
нимается, |
если |
m\ + m2^ d 2, |
партия |
бракуется, если |
|
т г -!- т 2< ' d.2, но |
?пг + /п2 > |
с2. |
выносится решение о назна |
||
чении третьей выборки и т. д. |
Количество |
выборок заранее |
* Для определения п и с могут быть использованы специальные таб лицы [8].
158
установлено и не превышает числа К. Процедура контроля продолжается до тех пор, пока не будет принято окончатель ное решение о приемке или браковке партии. Рассмотренная система правил проведения контрольных испытаний и приня
тия |
заключений относительно качества |
товарной |
продукции |
|||||
составляет сущность многоступенчатого контроля. |
|
|||||||
Поскольку при многоступенча |
|
|
|
|||||
том |
контроле |
окончательное за |
о т , |
|
|
|||
ключение |
о качестве партий мо |
\ЬракоШ |
БракоЪт |
|||||
жет быть принято |
на одной из К |
|
<//-*- |
|
||||
ступеней, |
объем контроля |
оказы |
|
V Со |
||||
вается случайным и, следователь |
|
|
|
|||||
но, |
для его характеристики мож |
|
О, |
Приемка |
||||
но ввести понятие |
среднего числа |
|
|
|||||
Привит |
|
|||||||
затрачиваемых на контроль изде |
|
|||||||
|
|
|
||||||
лий пСр. Оказывается, что при ра |
|
1 |
К |
|||||
циональном планировании много |
Рис. |
40. Схема |
процедуры |
|||||
ступенчатых |
испытаний |
средний |
||||||
объем контроля меньше |
объема |
двухступенчатого |
приемоч |
|||||
|
ного контроля |
|||||||
выборки, |
необходимого |
для про |
|
|
|
ведения испытаний в одну ступень. В этом и заключается осо бенность многоступенчатых испытаний.
Рассмотрим основные закономерности, принципы планиро вания и свойства планов многоступенчатого приемочного конт роля на примере двухступенчатых контрольных испытаний, процедура которых графически представлена на рис. 40.
Вычислим оперативную характеристику двухступенчатого плана контроля.
Вероятность приемки партии можно рассматривать как сум му двух несовместных случайных событий:
А1 — партия принята по результатам испытаний изделий первой выборки;
А2 — партия принята по результатам испытаний изделий и первой и второй выборок.
Согласно теореме сложения вероятностей вероятность приемки партии (оперативная характеристика)
L { g ) = P { A i ) + P{ Aa}-
В соответствии с правилами контроля партия будет приня та после извлечения первой выборки, если число дефектных изделий в выборке не больше приемочного числа поэтому вероятность события А может быть представлена в следующем виде:
р M i l = |
s р т „ |
|
т,=0 |
159
где вероятности P ,„t вычисляются согласно формулам (92), (94) пли (96) в зависимости от закона распределения числа дефектных изделий в выборке.
Для принятия партии по второй выборке необходимо, чтобы совместно осуществились два события:
В | — число дефектных изделий в первой выборке не мень ше Ci п не больше (сх < т 1< <Д);
Bz — суммарное число дефектных изделий в первой и вто рой выборках не больше сг- Таким образом:
Р Ио) = р {S jg ,) = Р |c1< m 1< ( i 1, т х Д- ш2< с ,| .
Пусть в первой выборке обнаружено К дефектных изделий, причем 1 - Тогда партия будет принята, если число дефектных изделий во второй выборке окажется не больше
Со — Л .
В соответствии с теоремой умножения вероятностей вероят ность приемки партии после извлечения второй выборки при условии, что в первой выборке обнаружено К дефектных из делий, равна
Сп - К
'V П
пи О* lll.j-
Так как величина т х в данном случае может принимать любое
значение от n -г 1 до d x—1, то |
|
|
|
|
|
||
|
|
j , |
1 |
~ ™ х |
р |
|
|
Р \ Л , |
1 |
А,„ |
S |
|
|
||
|
|
т | |
|
|
|
|
|
Окончательно имеем |
|
|
d 5 \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
c.j-iiiy |
|
||
L Я ■ = |
|
S Р ,„ - |
2 |
P „h |
|
2 Р т ,. |
(103) |
|
/и, О |
т , - С | - т I |
|
т . у О |
|
Если число дефектных изделий в выборке имеет биномиальное распределение, выражение для оперативной характеристики запишется в следующем виде:
L[ q) = |
С | |
( / . — 1 |
C‘^ q m‘ х |
2 с™ч/"'-( 1 |
2 |
||
|
:п , —0 Я| |
m t -=Ci + l |
1 |
X |
с 2— т , |
c’^-qm‘ I 1 — |
I 104) |
(1 — q)n‘-"^ 2 |
w/2= 0
Получим уравнение для определения среднего объема вы борки при двухступенчатом контроле. Для этого рассмотрим случайную величину п (объем контроля), принимающую зна чение пи если заключение о качестве партии принимается по-
160