книги из ГПНТБ / Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие

т. е. вероятности того, что случайная величина принимает зна­

величины.

Зная закон распределения случайной величины, можно ука­ зать, где располагаются ее возможные значения и какова ве­ роятность появления ее в том или ином интервале. Однако при решении многих практических задач нет необходимости харак­ теризовать случайную величину полностью, достаточно иметь только некоторое общее представление о случайной величине.

В теории вероятностей для общей характеристики случай­ ной величины используются числовые характеристики. Основ­ ное их назначение — в сжатой форме выразить наиболее су­ щественные особенности того или иного распределения.

О каждой случайной величине необходимо прежде всего знать ее некоторое среднее значение, около которого группи­ руются возможные значения случайной величины, а также

р и р 2 - . . , р п . Тогда математическое ожидание случайной вели­ чины X, которое мы обозначим р [Л'] или просто р, определяет­ ся равенством

П

!А I * 1 = *iPi — W o + . . . - хпрп = V Xj>t. ( Ю)

/=|

Итак, математическим ожиданием случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений слу­ чайной величины на вероятности этих значений. Математиче­ ское ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины и тем точнее, чем больше число опытов.

Если производится несколько серий опытов, то математи­ ческое ожидание есть такое постоянное число, около которого будут колебаться средние арифметические значения случайной величины, вычисленные для каждой серии опытов.

Для непрерывной случайной величины математическое ожи­ дание вычисляется по формуле

50

другие характеристики положения — мода и медиана случай­ ной величины.

М о д о й М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной ве­

Рис. 5. Моды на кривых распределения случайных величин:

а — дискретной; б — непрерывной

Если кривая распределения имеет два или несколько мак­ симумов, то распределение называется двухмодальным или лмпогомодальным (рис. 6).

Рис. 6. Двухмодальное распределение случайных величин:

а— дискретной; б — непрерывной

Ме д и а н о й х случайной величины X называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение «большего или меньшего значения случайной величины, т. е.

Геометрически медиана — это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится попо­ лам (рис. 7). Так как вся площадь, ограниченная кривой рас­

пределения, равна единице, функция распределения в точке д; будет

все три характеристики положения случайной величины — ма­ тематическое ожидание, мода и медиана — совпадают.

Рис. 7. Медиана на кривой распределения

Значения наблюдаемых в практике случайных величин всегда более или менее колеблются около среднего значения. Это явление называется рассеянием случайной величины около ее среднего значения. Числовые характеристики, харак­ теризующие рассеяние случайной величины, т. е. показываю­ щие, насколько тесно сгруппированы возможные значения случайной величины около центра рассеяния (математиче­ ского ожидания), называются х а р а к т е р и с т и к а м и р а с ­ с е я н и я .

Основными характеристиками рассеяния случайной вели­ чины являются дисперсия и среднее квадратическое отклоне­

Дисперсия выражается:

для дискретной случайной величины

52

П

( 1 5 )

для непрерывной случайной величины

Дисперсия случайной величины является очень удобной ха­ рактеристикой рассеяния возможных значений случайной величины. Однако она лишена наглядности, так как имеет раз­ мерность квадрата случайной величины.

Для большего удобства желательно иметь характеристику, по размерности совпадающую с размерностью случайной вели­ чины. Такой характеристикой является среднее квадратиче­ ское отклонение случайной величины ь.

§ 9. Законы распределения дискретных случайных величин

При контроле качества наиболее распространены три типа распределения дискретных случайных величин: гипергеомет­ рическое, биномиальное и закон Пуассона. Знание параметров этих законов позволяет обоснованно назначать границы регу­ лирования для контрольных карт по альтернативному призна­ ку, рассчитывать планы выборочного контроля, производить статистические оценки.

Гипергеометрическое распределение. Дискретная случайная величина X называется распределенной по гипергеометриче­ скому закону, если ее возможные значения 0, 1,2 ........п, а ве­ роятность того, что X = d выражается формулой

(18)

где D u d — количество дефектных единиц продукции в партии и выборке;

Л,ти п — объем партии и выборки.

Расчет вероятности того, что в выборку объемом п, взятой из партии объемом N, попадет d бракованных изделий (если всего их в партии D штук), производимый с помощью гипер­ геометрического закона распределения, соответствует опреде­ лению вероятности события классическим методом.

1 В литературе по контролю качества вместо термина «среднее квадратическое отклонение» широко применяется термин «стандартное откло­ нение».

53

Математическое ожидание и дисперсия числа дефектных единиц продукции из п проконтролированных изделий опре­ деляются из выражений:

ряют его качество, после чего возвращают в партию и переме­ шивают. Затем берут наугад второе изделие, производят те же самые операции и т. д. Вероятность извлечения (п—d) годных изделий из проконтролированных определяется по формуле

Математическое ожидание ц и дисперсию а2 биномиально­ го распределения находят по формулам:

составляет 0,1. Последовательно берут 10 деталей и обследуют, после чего их возвращают в партию, т. е испытания носят независимый характер. Какова вероятность того, что при проверке 10 деталей попадется одна бра­ кованная?

Из условия задачи

<7=0,1; /г=10 и d = 1.

Очевидно, что р — 1—<7=1—0,1=0,9. Тогда

10

Р ( 10; 1 ) = ----- -0,1 -0,9°-9=0,387.

'1! 9!

Полученный результат можно отнести и к тому случаю, когда извле­ кается подряд 10 деталей без возврата их обратно в партию. При достаточ­ но большой партии, например 1000 шт., вероятность извлечения годной или негодной детали после каждого из 10 извлечений деталей изменится нич­ тожно мало. Поэтому при таких условиях извлечение бракованной детали можно рассматривать как событие, не зависящее от результатов предшест­ вующих испытаний.

54

Закон редких событий (Пуассона). Если вероятность q со­ бытия А очень мала ( q ^ 0 , \ ) , а число испытаний велико, то вероятность того, что событие А наступит d раз в п испыта­ ниях, будет равна

где a —nq = n[m] — математическое ожидание случайной вели­ чины.

Уравнение (24) определяет собой распределение редких со­ бытий, или распределение Пуассона.

Когда число испытаний п велико, a q мало, то закон бино­ миального распределения и закон редких событий практически

ятность того, что при взятии из партии выборки объемом 50 единиц продук­

ским условиям в принимаемой партии продукции допускается некоторый процент брака (обычно небольшой) и поэтому всег­ да <7< 0 ,1.

При помощи закона редких событий можно вычислить ве­ роятность того, что в выборке из п единиц продукции будет со­ держаться: 0 ; 1; 2 ; 3 и т. д. бракованных деталей, т. е. задан­ ное число d раз. Можно также вычислить вероятность появле­ ния в такой выборке d штук дефектных деталей и более. Эта вероятность на основании правила сложения вероятностей бу­ дет равна

Закон Пуассона и функция распределения Пуассона табули­ рованы.

55

§ 10. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины

При контроле н регулировании технологических и произ­ водственных процессов по количественному признаку обычно действует нормальный закон распределения. В технике конт­ рольных карт для количественного признака на основании этого закона назначаются допустимые отклонения параметров и определяются границы регулирования.

По нормальному закону могут распределяться значения величин, колеблющихся от множества случайных факторов, при условии, что ни один из них не преобладает над другими. К таким величинам относятся размеры деталей, обрабатывае­ мых инструментами из стойкого материала, объем, вес изде­ лий, электрические и магнитные показатели, ошибки измере­ ний и т. п.

Закон и функция нормального распределения выражаются следующими формулами:

тельно точки х = р. Это значит, что равные по абсолютной ве­ личине, но разные по знаку отклонения от математического ожидания равновозможны. При этом меньшие отклонения бо­ лее вероятны, чем большие.

Положение кривой относительно начала координат и ее форма определяются двумя параметрами ц и о. С изменением ц форма кривой не меняется, но изменяется ее положение от­ носительно начала координат (рис. 8, а). С изменением а не меняется положение кривой, но изменяется форма (рис. 8, б).

Область, лежащую в пределах Зсг-границ, называют «ста­ тистически допустимой областью», а Зо-границы — «статисти­ ческим допуском». Итак, расстояние между статистическими допусками составляет 6а.

Практическое применение таблицы функции распределения нормального закона. Определение величины статистической

56

надежности (доверительной вероятности) производится с по­ мощью функции нормального распределения.

Вероятность того, что случайная величина, подчиняющаяся закону нормального распределения, примет значения в преде­ лах Х\—Х2, может быть записана следующим образом:

Р ( х , < х < х 2) = Ф(/2) - Ф ( / х) = ф ( ^ т ^ ) - ф ( £^ ) . (29)

t _t*_

нии 1. Эта функция нечетная, следовательно Ф (—£)=Л—Ф (0 и для отрицательных значений t табличные данные берутся со знаком минус.

57

П р и м е р 11. Пусть случайной нормально распределенной величиной Судет размер детали с математическим ожиданием ц.=5 см и средним квад­

Понятие о центральной предельной теореме. Широкое применение зако­ на нормального распределения в технике обосновано русским математиком А. М. Ляпуновым (центральная предельная теорема теории вероятностей). Приведем лишь следствие из теоремы Ляпунова: если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых слу­ чайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Л' имеет распределение, близкое к нормальному.

Теорема Ляпунова дает теоретическое объяснение тому факту, что при устойчивом процессе обработки деталей на настроенных станках и при от­ сутствии изменяющихся во времени систематических погрешностей действи­ тельные размеры деталей часто подчиняются закону нормального распреде­ ления, так как результирующая погрешность обработки представляет собой сумму большого числа погрешностей, зависящих от станка, приспособления, инструмента и заготовки.

Г л а в а IV

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

§ 11. Выборочный метод

Существует два основных метода сбора статистических дан­ ных — путем непосредственного наблюдения и при помощи уст­ ного или письменного опроса. Последний метод широко приме­ няется для изучения спроса на продукцию. При контроле каче­ ства в большинстве случаев используется метод непосредст­ венного наблюдения. Суть этого метода состоит в том, что во­ прос о качестве изделия (является ли оно годным или дефект­ ным) решается на основе непосредственных показаний измери­ тельного прибора или на основе специфической для данного изделия числовой характеристики (параметра), устанавливае­ мой также при помощи показаний измерительного прибора.

Сбор данных для контроля качества производится или пу­ тем контроля всех 100% изделий (сплошной метод) или путем

58

отбора некоторых единиц продукции из партии (выборочный метод). Под единицей продукции понимается испытуемый от­ дельный экземпляр штучной продукции или определенное ко­ личество нештучной продукции (одна деталь, конструкцион­ ный узел, 1 м2 поверхности, 1 м провода).

В большинстве случаев выборочный метод является более целесообразным и экономичным, чем сплошной метод кон­ троля. Если производится испытание с разрушением, то сплошной контроль практически не имеет смысла. В таких слу­ чаях отбирают из всей совокупности случайным образом огра­ ниченное число ениниц продукции и подвергают каждую еди­ ницу контролю.

В ы б о р о ч н а я с о в о к у п н о с т ь или просто в ы б о р ­ к а — это совокупность единиц продукции, взятых из исследуе­ мой совокупности. Если исследуется нештучная продукция, то ее часть называется п р о б о й .

Генеральной совокупностью называется множество единиц продукции, из которого производят выборку.

В теории и практике контроля качества генеральную сово­ купность обычно отождествляют с понятием партии, которая поставляется потребителю и качество которой должно быть установлено. Заключение о качестве партии на основе выборки составляет один из важнейших предметов исследования мате­ матической статистики.

На результат контроля большое влияние может оказать способ выборки.

П о в т о р н о й называют выборку, при которой отобранная единица продукции (перед отбором следующей) возвращается в партию. Б е с п о в т о р н о й называют выборку, при которой отобранная единица продукции в партию не возвращается. На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбо­ ром.

Чтобы по данным выборки можно было достаточно уверен­ но судить об интересующем нас признаке генеральной сово­ купности, выборка должна быть представительной. В силу за ­ кона больших чисел можно утверждать, что выборка будет представительной, если ее осуществить случайно: каждая еди­ ница продукции выборки отобрана случайно из партии, если все единицы продукции имеют одинаковую вероятность по­ пасть в выборку.

Если объем партии достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в пре­ дельном случае, когда рассматривается бесконечная генераль­ ная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это раз­ личие исчезает.

59