книги из ГПНТБ / Контроль качества продукции машиностроения учебное пособие

Л'ь Х2— средние арифметические выборок, которая в случае справедливости основной гипотезы распре­

делена нормально с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Границы критического множе­ ства в случае одностороннего (Za) и двустороннего (Z /) огра­ ничений устанавливаются с помощью табл. 7. Если реализация выборочной функции

гипотеза Н0 отвергается, как противоречащая эксперименталь­ ным данным. В противном случае гипотеза принимается.

П р и м е р 22. В цехе холодной штамповки через определенные проме­ жутки времени ведется наблюдение за состоянием технологического про­ цесса. Его разладки приводят к смещению номинального значения контро­ лируемого признака X . Для проверки стабильности через каждые три смены

Результаты исследования двух выборок: .*1=3,03 мм; А'г=2,981 мм. Рассчитывается критерий по формуле (54)

£ _ 0,057

.085.

0,0526

По табл. 7 для а=0,05 2а =1,645 (одностороннее ограничение, так как раз­

ладка приводит к уменьшению номинального размера). Таким образом, ги­ потеза Яо принимается, как не противоречащая экспериментальным данным. Следовательно, можно считать, что в данный момент технологический про­ цесс стабилен и не требует подналадки.

2. Случай неизвестных дисперсий (двойной (-критерий Приведем решение поставленной задачи для случая неизвест­ ных, но равных дисперсий сг|2 = сг22.

Справедлива следующая теорема: если контрольный при­ знак X имеет нормальное распределение, то в случае истинно­ сти гипотезы Н0 выборочная функция

где Xi, х2— среднее арифметическое первой и второй выборок; Si2, S22 — выборочные дисперсии;

Ц], п-2 — объемы выборок,

90

имеет распределение Стьюдента с m = ni + n2—2 степенями сво­ боды.

Критерий проверки гипотезы аналогичен изложенному на стр. 85—86.

дел прочности стали марки А отличается от предела прочности стали мар­ ки В.

Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей # 0: сТ]2 = а22. Пусть для проверки сформулированного утверждения из первой со­ вокупности взята выборка объема п\, а из второй совокупно­ сти — объема п2. По результатам испытаний выборок опреде­ лены выборочные дисперсии Si2 и s22.

В основе метода проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей, известного в литературе как ^-критерий, лежит теорема; выборочная функ­ ция

91

ми дисперсиями является значимым. В противном случае гипо­ теза Н0 принимается.

ния некоторого признака выпускаемых ими однотипных изделий. По резуль­ татам Л]=25 измерений деталей, изготовленных первым станком, получено

92

ральной совокупности Н0 : q = q0. Допустим, что распределение числа дефектных изделий в совокупности п элементов — бино­ миальное, и тогда q0— параметр этого распределения. С точки зрения производства q0 представляет собой вероятность изго­ товления дефектного изделия в условиях стабильного техноло­

(где т — реализация случайной величины X) распределена приближенно нормально с математическим ожиданием, рав­ ным нулю, и дисперсией, равной единице.

Построенный по выборочной функции (62) метод проверки гипотезы о значении параметра q0альтернативной генеральной совокупности соответствует изложенному на стр. 84.

Вычисленное по результатам проверки выборки значение

функции Z сравнивается с критическим значением Za или Za'.

л

Если \Z\ > Z a, Z Z , то гипотеза Н0 отвергается. Вероятность ошибки первого рода при этом не превышает уровня значимо-

Л

сти а. Если |Z| ^ . Z a,Z a' , гипотеза Н0 принимается, как не про­ тиворечащая экспериментальным данным.

П р и м е р 25. Для решения вопроса о состоянии технологического про­ цесса, который должен обеспечить выпуск продукции с уровнем качества

94

<7о=0,03, взята выборка /г = 1000, в которой обнаружено 43 дефектных изде­

лия. Не противоречит ли полученный результат сформулированному требо­ ванию: <7о=0,03?

ние опытного значения с границей критической области приводит к отклоне­ нию гипотезы о том, что технологический процесс обеспечивает уровень ка­ чества <7о=0,03. Вероятность ошибочного заключения не превышает 0,05.

§ 18. Проверка гипотезы относительно принадлежности максимального или минимального элемента выборки основной генеральной совокупности

В математической статистике данная задача известна под названием «Оценка анормальности результатов измерений». Изменение терминологии преследует цель сохранить единство формулировок, принятых в настоящей работе и специальной литературе, характерных для постановки задач, решаемых ме­ тодами проверки статистических гипотез.

Пусть из нормально распределенной совокупности взята выборка объема п, результаты исследований которой есть дан­ ные по измерениям некоторого контрольного признака X. На практике встречаются случаи, когда отдельные значения Xi об­ наруживают резкое расхождение с остальными измерениями. Возникает задача оценки анормальности измерений. При этом под анормальным понимается измерение, резко отличающееся от остальной группы измерений, которые принимаются за нор­ мальные.

При подобной оценке следует рассмотреть две альтерна­ тивы:

резко отклоняющееся измерение выполнено в тех же усло­ виях, что и остальная группа, т. е. оно принадлежит той же (основной) генеральной совокупности. В этом случае оцени­ ваемое измерение следует включать в анализ свойств генераль­ ной совокупности;

резко отклоняющееся измерение вполне могло быть следст­ вием случайного нарушения нормальных условий или грубых

95

ошибок при измерении и расчете. В этом случае указанное из­ мерение не принадлежит основной генеральной совокупности, и оно должно быть исключено в дальнейших расчетах. В тех. случаях, когда анализ физической сущности явления невозмо­ жен, предложенная задача решается методами проверки ста­ тистических гипотез. Рассмотрим два случая,

1. Дисперсия генеральной совокупности а2 известна. В ос­ нове проверки гипотезы, которая формулируется следующим образом: «измерение Хг принадлежит той же генеральной сово­ купности, что и все остальные», лежит анализ выборочной функции

Распределение функции (64) при условии справедливости гипо­ тезы HQизучено, и в табл. 11 приведены результаты решения уравнения вида

где а — уровень значимости; У* — граница критической области (верхнее одностороннее

ограничение).

Критерий проверки гипотезы формулируется следующим

А

образом: если реализация функции Y>Y'a , гипотеза Н0 отвер­

мальный результат принадлежит той же генеральной совокуп­ ности, что и все остальные.

Для оценки анормальности минимального результата ис­ пользуется та же таблица, при этом величина У берегся с по­ ложительным знаком.

П р и м е р 26. При исследовании долговечности шин были получены ре­ зультаты пробега 10 образцов (в тыс. км): 65,0; 66,1; 65,7; 65,8; 66,5; 67,0; 64,7; 65,0; 64,0; 60,2.

Требуется оценить результат 60,2 тыс. км.

Среднее квадратическое отклонение о=0,97 тыс. км. Находим реализа­ цию функции У по формуле (65)

96

заданных условий результат 60,2 тыс. км следует признать анормальным и исключить его в дальнейших расчетах, связанных с изучением долговеч­ ности шин. Вероятность ошибки первого рода не превышает 0,05.

2. Дисперсия генеральной совокупности а2 неизвестна.

В основе проверки гипотезы лежит анализ распределения функции

где U'o. — граница критической области, соответствующей уров­

Л

следует признать анормальным. Если U^U'^ , гипотеза # 0 при­ нимается, т. е. экстремальный результат следует считать при­

Критерий хи-квадрат. Предположим, что произведено п независимых опытов, в каждом из которых наблюдалась слу­ чайная величина X. Результаты сведены в k разрядов и оформ­

кон распределения F(x) *.

Зная теоретический закон распределения, найдем теорети­ ческие вероятности попадания случайной величины X в указан­ ные интервалы:

Pi = F ix i+i)— F ixi)-

Например, если F(x) — нормальная функция, то

где функция Ф (х) представлена в табл. 29.

Если гипотеза Я 0 не формулирует никаких требований или предположений относительно параметров р, и а, то они заме­ няются соответствующими статистическими характеристиками

х и 5:

В решении задач проверки гипотез о законе распределения признака X принцип замены неизвестных параметров распреде­ лений статистическими характерен не только для нормального распределения, но и для всех других.

Составим выборочную функцию

* Знание параметров распределения необязательно. В этом случае основная гипотеза объединяет семейство распределений, одинаковых по типу.