книги из ГПНТБ / Закиров, С. Н. Проектирование и разработка газовых месторождений учебное пособие

где р — среднее давление в элементарном газонасыщенном объеме норового пространства adQ в кгс/см2.

Из приведенной формулы следует, что для вычисления текущего факти­

ческого среднего пластового давления р по промысловым данным необходимо иметь карты равных значений коэффициентов пористости, начальной газонасы-

ретроградные процессы. В результате этого в ходе разработки изменяются состав газовой фазы в залежи и коэффициент газонасыщенности. Поэтому при исполь­ зовании уравнения (4) или (5) применительно к газоконденсатным месторожде­ ниям текущий коэффициент сверхсжимаемости газа необходимо определять не только с учетом пластовой температуры и текущего среднего пластового давления, но и изменяющегося состава газа1. Величина газонасыщенного объема в правой части уравнений (4) или (5) является переменной вследствие выпадения конденсата в пласте.

Уравнение материального баланса (5) может быть получено в результате интегрирования дифференциального уравнения исто­ щения газовой залежи [38]. И наоборот, из уравнения (5) получим дифференциальное уравнение истощения газовой залежи. Для этого продифференцируем по времени уравнение (5):

G учетом выражения для добытого количества газа получаем следующее искомое уравнение:

и дифференциальное уравнение истощения газовой залежи запи­ сываются в виде:

Из уравнений (6) и (8) следует, что количество отбираемого в еди­ ницу времени газа в момент времени t пропорционально скорости (темпу) изменения среднего пластового давления в залежи на тот же момент времени t и наоборот.

При водонапорном режиме газонасыщенный объем норового пространства газовой залежи изменяется во времени. Обозначим

текущий газонасыщенный поровый объем газовой залежи через aQ (t). Тогда на момент времени t масса газа в пласте составит

1 См. также Г. Р. Р е й т е н б а х. Об уравнении материального баланса для газоконденсатной залежи. — «Газовое дело», 1972, № 12, с. 6— 10.

30

а уравнение материального баланса для газовой залежи соответ­ ственно запишется в виде:

Здесь

1

p(t)-. J pa dQ.

ай (t) £2(0

Нетрудно видеть, что дифференциальное уравнение истощения залежи при водонапорном режиме имеет вид:

Наиболее строгая формулировка принципа материального баланса гласит: начальная масса газа в пласте равняется сумме добытой массы газа и массе газа, оставшейся в газонасыщенном и обводнен­ ном Мобв объемах пласта.

Так как обводненный объем пласта равен QH— Q (t), то в этом объеме при среднем значении коэффициента остаточной газонасыщенности аост находится газ в количестве

Следовательно, уравнение материального баланса для газовой залежи в условиях водонапорного режима с учетом неполноты вытес­ нения газа водой записывается в виде:

z (ре) — коэффициент сверхсжимаемости при рв и Тпл; аост — отно­

шение защемленного объема газа (при давлении рв и температуре Тпл) к общему норовому объему обводненной зоны пласта. По данным лабораторных исследований [71], коэффициент остаточной газонасыщенности зависит от давления в обводненном объеме, что и отра­ жено в уравнении (12).

При среднем значении коэффициента остаточной газонасыщен-

ности аост (рв) суммарное количество воды QB(t), поступающей в залежь к некоторому моменту времени t, распределится в объеме

31

- — ^ „ ■■■. Тогда газонасыщенный объем (внутри контура газ —

аКост (Рв)

вода) пласта ко времени t составит

Таким образом, под текущим газонасыщенным объемом в (12) понимается его выражение согласно (13).

Из уравнения материального баланса (12) вытекает следующее дифференциальное уравнение истощения залежи:

(14)

Уравнения (12) и (14) (с учетом (13)) более строгие, чем соответ­ ствующие уравнения (9) и (10). Принципиальных затруднений для использования (12), (14) и (13) при определении показателей разра­ ботки газовых месторождений в условиях водонапорного режима не имеется [71]. Однако использование указанных формул приводит к усложнению методики расчетов, что объясняется необходимостью

определения величины рБ(t) и изменения значения коэффициента остаточной газонасыщенности. Кроме того, при анализе фактических

данных затрудняется определение зависимости рв = рв (t). Расчеты значительно упрощаются, если в (12) принять

и изменение коэффициента остаточной газонасыщенности опреде­ ляется изменением во времени среднего пластового давления. В этом

что дебиты, отборы и т. д. приведены к атмосферному давлению и пластовой температуре.

32

зоны пласта и установления зависимости ее изменения во времени. Заметим, что при определении коэффициентов начальной газонасыщенности необходимо иметь в виду возможность присутствия в пласте остаточной нефти. Так, по данным А. Г. Дурмшпьяна, в зависимости от условий формирования газоконденсатных залежей значения коэффициента остаточной нефтенасыщенности могут дости­

гать десятков процентов.

Проведенные в последние годы, в основном лабораторные, исследованпя

Уравнение материального баланса для залежи в условиях газового режима при учете десорбции газа в процессе снижения пластового давления может быть записано в виде:

Опубликованные в литературе сведения относительно адсорбции н десорбции газа пористой средой при существующих способах интерпретации результатов экспериментальных исследований малопригодны применительно к уравнению (18). Для наших целей наиболее подходящими являются результаты исследова­ ний А. М. Кулиева, А. И. Алиева и Э. В. Григоряна (1971) по адсорбционной способности образца породы по отношению к сухому газу. Содержание метана в газе составило 93%. Адсорбция проводилась при повышении давления до 20 кгс/см2. После этого проводилась десорбция при снижении давления до

породы массой 1 г.

При давлении более 3 кгс/см2 формула (19) дает отклонение от эксперимен­ тальных данных не более чем на 7,9% .

Таким образом, можем записать, что

в г/м3; ап — количество газа, адсорбированного на поверхности образца породы

располагается выше аналогичной зависимости без учета десорбции газа. Для принятых условий определяем начальные запасы, которые получаются на 8% больше запасов, подсчитанных без учета явления десорбции. Этот процент может быть и иным. В рассмотренном примере он оказался завышенным. При наличии связанной воды количество адсорбированного газа будет меньше полученного в результате расчетов по формуле (20). Кроме того, принято, что уравнение (19) справедливо для больших давлений, чем в проведенных экспериментах, которые следует рассматривать пока как частные.

При оценке влияния деформации пласта на характер изменения приведен­ ного среднего пластового давления в процессе разработки залежи уравнение

p/z(p), кгс/смг

Рис. 9. Зависимости p/z (р) = f [@доб (01 для деформируемого (2) и недеформируемого (1) коллекторов при одинако­ вых запасах газа в залежи

го участка зависимости p/z (р) = f [<2доб (01

до оси абсцисс (линия з), то оцениваем завы­ шенные начальные запасы газа в пласте

Уравнение (21) следует из принятия экспоненциального характера измене­ ния коэффициента пористости при снижении давления [53], т. е. когда

m= m0exp [ — ат (Рн— р (*))]•

Здесь т0 — коэффициент пористости при давлении рн.

Для примера рассмотрим пласт с начальными запасами газа Qзап = 100 млрд. м3 при рн = 300 кгс/см2. Содержание метана в газе 98%, пластовая температура

2(р)

(линия 2) располагается выше соответствующей зависимости при отсутствии деформации (линия 1), что объясняется уменьшением во времени норового объема

залежи. При р = 0 линии 1 ж 2 сходятся в одну точку, так как независимо от того, является ли пласт деформируемым или нет, добытое количество газа к мо­

менту, когда р = 0, должно равняться начальным запасам газа в пласте. Отме­ тим, что зависимости приведенного среднего пластового давления от добытого

34

количества газа для месторождений Чирен (БНР) и Битковского аналогичны зависимости 2 на рис. 9.

Если по начальным точкам линии 2 попытаться определить начальные запасы газа в пласте (линия 3), то они окажутся завышенными (для рассма­ триваемого трещиноватого пласта) на 45%. Для гранулярного коллектора это завышение составляет около 5% .

В кернах, полученных из целого ряда месторождений природного газа, обнаружена нефть. В этой нефти растворен газ. При снижении давления нефть будет дегазироваться.

Примем для упрощения, что растворимость газа в остаточной нефти под­ чиняется закону Генри1. Тогда уравнение материального баланса с учетом выделения из нефти газа и при пренебрежении усадкой нефти представится в виде (18). Суммарное количество газа, выделившегося из нефти к моменту

дегазации нефти зависимость p/z (р) = } (<?д0б (0) располагается выше соот­ ветствующей зависимостп при отсутствии остаточной нефтенасыщенности. В рассматриваемом примере дегазация увеличивает начальные запасы газа

впласте на 9,3%.

§5. Дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации газа в пористой среде

При проектировании, анализе и определении перспектив разработки газовых и газоконденсатных месторождений требуется определять изменение во времени необходимого числа эксплуатационных и нагнетательных скважин, дебптов газовых и расходов нагнетательных скважин, пластовых, забойных, устьевых давлений и температур, продвижение во времени контурных или подошвенных вод, изменение количества и состава выпадающего в пласте и добываемого кон­ денсата и другие показатели.

Процессы, происходящие в пласте при разработке месторождений природных газов, описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Для определения показателей разработки газовых и газоконденсатных место­ рождений с учетом неоднородности пласта по коллекторским свойствам, произ­ вольного расположения разнодебитных скважин, неравномерности продвижения границы раздела газ—вода и т. д. необходимо интегрирование дифференциаль­ ных уравнений неустановившейся фильтрации газа, воды и конденсата при соответствующих начальных и граничных условиях. При этом особую важность в теории разработки газовых месторождений имеет дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации газа.

Коллекторы природного газа характеризуются неоднородностью, измен­ чивостью параметров пласта. Мощность продуктивных отложений по площади газовой залежи может изменяться в очень широких пределах. Коэффициенты проницаемости и пористости пласта претерпевают значительные изменения по мощности и по площади газовой залежи.

Лабораторные и промысловые исследования показывают зависимость коэф­ фициентов проницаемости и пористости от изменения горного (пластового)

1 При наличии соответствующих экспериментальных данных коэффициент растворимости в уравнении (22) принимается зависящим от давления, т. е.

у = у (р) [13].

давления [2, 4, 18, 21, 53]. Согласно этим исследованиям, коэффициент про­ ницаемости при снижении давления может уменьшаться до 50% и более по сравне­ нию с коэффициентом проницаемости при начальном пластовом давлении.

При значительном пластовом давлении начинают проявляться и влиять на показатели разработки отклонения свойств реальных газов от законов иде­ ального газа [23, 26, 53]. Учет реальных свойств природных газов приводит к необходимости вводить в уравнение состояния для газа коэффициент сверх­ сжимаемости. Реальные свойства газов проявляются и в том, что коэффициент динамической вязкости газа изменяется с изменением давления.

Теория и практика разработки месторождений природного газа показывают, что отмеченные факторы могут оказывать большое влияние на процессы, проис­

двумерного случая.

В газоносном пласте переменной мощности выделим элементарный объем dx dy h (х, у). Здесь h (х, у) — значение мощности пласта в точке с координа­

тами х и у (рис. 10).

Рассуждая обычным образом [42, 50, 83], получаем, что через грань a'b'c'd' за время dt втекает масса газа, равная

Аналогично этому изменение массы газа за то же время в элементе dx dy h (х, у) за счет фильтрации газа вдоль оси Отравно

Суммарное изменение массы газа в элементе пласта dx dy h {х, у) за время dt составляет

36

Здесь и и v — компоненты вектора скорости фильтрации в точке пласта с координатами х и у вдоль осей ох и оу соответственно.

В газонасыщенном поровом объеме рассматриваемого элемента масса газа равна

рam (х, у) h (х, у) dx dy

(т — коэффициент пористости в точке пласта с координатами х п у). Темп ее изменения во времени составляет

h (х, у) dx dy д (рост) dt

За время dt изменение массы газа в элементе dx dy h (х, у) равно

Уравнение состояния для реального газа дается следующим соотношением:

газа рат п коэффициента сверхсжимаемости газа z (р) вычисляются при пластовой температуре.

Подставляя (8) п (9) в (7) и принимая коэффициенты пористости и газонасы­ щенности неизменными во времени, получаем

фильтрации реального газа в реальной неоднородной по коллекторским свойствам пористой среде. Уравнение (10) является нелинейным дифференциальным урав­ нением параболического типа.

При выводе уравнения (10) принято, что скорость фильтрации неизменна вдоль мощности пласта, и при ее определении, согласно (8), учитывается вели­ чина коэффициента начальной газонасыщенности (используются коэффициенты фазовой проницаемости для газа). Кроме того, принято, что коэффициент газо­ насыщенности не изменяется в процессе разработки залежи. Проведенные спе­ циальные исследования подтверждают это (М. Т. Абасов, О. Б. Качалов и др.). Коэффициент газонасыщенности увеличивается достаточно быстро до единицы

впризабойной зоне пласта (осушка призабойной зоны) К В пласте за пределами

1Согласно исследованиям О. Б. Качалова, в зависимости от соотношения пластовых давления п температуры могут происходить независимой попеременно процессы испарения и конденсации, конденсации и испарения п т. д.

37

призабойной зоны изменением коэффициента газонасыщенности во времени можно

пренебречь.

В частном случае нз (10) имеем, что неустановившаяся фильтрация идеаль­ ного газа (ц = const, z = 1) в неоднородной по коллекторским свойствам, недеформируёмой пористой среде описывается следующим уравнением:

i [*(*'у) h {х’ у) ж]+ж [ к {х' у) h {х■у) W ] =

уравнением Л. С. Лейбензона.

Необходимость введения в дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации коэффициента газонасыщенности проиллюстрируем на следующем

примере.

Пусть показатели разработки газовой залежи определяются в условиях водонапорного режима. Требуется найти, например, решение уравнения (10) и следующего дифференциального уравнения теории упругого режима филь­ трации:

носного пласта; Г — подвижная граница раздела газ—вода; индексы —0 и + 0 характеризуют соответствующие величины и параметры вблизи границы раздела со стороны областей газоносности и водоносности соответственно; кв — фазовая проницаемость для воды в обводненной зоне пласта; I — вектор-функция, по направлению совпадающая с направлением нормали п к границе Г.

Рассмотрение примера показывает, что написание закона движения границы раздела газ—вода в виде (14) или (15) было бы затруднительно, если бы коэф­

38

фициент начальной газонасыщенности не входил в дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации газа.

Остановимся еще на одном обстоятельстве.

Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации упругой жидкости в однородной упругой пористой среде получено В. Н. Щелкачевым и имеет вид:

сти и пористой среды соответственно. Величина коэффициента р* численно равна изменению упругого запаса жидкости в единице объема пласта при изменении пластового давления на 1 кгс/см2.

Сопоставление уравнений (12а) и (16) показывает, что при фильтрации газа

аналогом коэффициента р* является величина r£H t. в . Н. Щелкачев показал, что

при фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде величина коэф­ фициента Р* имеет порядок 10~5 1/(кгс/см2). При фильтрации газа аналог вели­ чины коэффициента р* имеет порядок 10~2-М 0“3 1/(кгс/см2), т. е. примерно на два порядка выше величины коэффициента (3* для жидкости, что объясняется большой упругостью газа. Упругость газа на несколько порядков выше упру­ гости пористой среды. Этим объясняется то, что при выводе дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации газа не учитывается зависимость коэффициента пористости от давления (для гранулярных коллекторов).

Иногда решение интересных для практики задач получается в результате интегрирования дифференциальных уравнений с источниками и стоками.

Предположим, что изменение массы газа в элементарном объеме h (х, у) dx dy происходит как вследствие разности втекающих и вытекающих масс газа, так п вследствие отбора (закачки) газа в количестве (в пересчете на единицу объема пласта). В этом случае изменение массы газа, с одной стороны, равняется выражению (5), а с другой стороны, — изменение массы газа за время dt в объеме h (х, у) dx dy составляет

и уравнение состояния газа (9) в (17), получим искомое дифференциальное

Здесь Q — объемный расход газа из единицы объема пласта в единицу времени, приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре.

Впервые понятие источников (стоков) в дифференциальные уравнения фильтрации введено Л. С. Лейбензоном. Примеры интегрирования дифферен­ циальных уравнений с источниками (стоками) можно найти в работах [15 и др.].

39