книги из ГПНТБ / Закиров, С. Н. Проектирование и разработка газовых месторождений учебное пособие

допустимого технологического режима эксплуатации и притока газа к средней скважине, начальное пластовое давление, пластовая тем­ пература; известно изменение параметров пласта по площади газо­ носности. Для определенности рассматривается вариант разработки месторождения тремя батареями скважин с радиусами батарей i?rl, Rr2, Rr3. Требуется определить основные показатели разработки месторождения.

Месторождение схематизируем в виде кругового (при соотноше­ нии осей, меньшем 3). В пределах каждого удельного объема дрени­ рования параметры пласта принимаются неизменными по площади.

Согласно проведенным ранее исследованиям, объемы дрениро­ вания, приходящиеся на каждую батарею скважин, пропорциональны соответствующим отборам газа из отдельных батарей. Следовательно,

Соотношение (а) приближенно справедливо и при переменных величинах отбора газа из отдельных батарей скважин, т. е. можно

Из приведенного условия (а) определяется, в каком соотношении находятся объемы дренирования, а затем вычисляются и сами вели­

чины аЯ х, а£23 и aQ3. Пусть индексом 1 выделяется ближайшая

к центру залежи батарея скважин. Тогда aQx = nR^xmah. Отсюда определяется RKl. Величина RKl равняется внутреннему радиусу для объема дренирования второй батареей скважин (RKl = Rs2) С

Следовательно, из соотношения aQ2 = л (Rl2 — i?Ki) шжЬ, опре­ деляется Rk2 и т . д .

Таким образом, основная задача сводится к определению пока­

радиус «залежи» равняется RBl, а внешний — RKi. В дальнейшем для простоты индекс i опускаем.

110

Подставляя в (1) выражения для скорости фильтрации v и пло­ щади фильтрации F

Здесь

р* Ср) = р(р) |^ат

Рассматривая процесс фильтрации газа по пласту в момент вре­ мени t как установившийся, проинтегрируем уравнение (4) в преде­ лах по г от Rr до RKи по ф от фг (t) до фк (t). Получаем

фк(*)—фг(0

In Дк

Д г

Здесь фг и фк — соответственно значения функции ф при давле­

Здесь ф — значение функции ф, соответствующее среднему пласто­

вому давлению р.

Сумма величин притоков газа из внешней Q' и внутренней Q" (по отношению к рассматриваемой галерее) зон пласта равняется величине отбора газа из батареи скважин:

Вместе с тем величины притоков газа к батарее слева и справа от нее пропорциональны объемам порового пространства в областях

111

может быть принято равным давлению на галерее рг в соответству­ ющий момент времени.

Тогда уравнение притока газа к средней скважине согласно ме­ тоду последовательной смены стационарных состояний записывается

Здесь а и b — коэффициенты фильтрационных сопротивлений для области пласта от гк до Rc, которые оцениваются по известным формулам (см., например, [39]). Так как основные потери давления при притоке к скважине приходятся на призабойную зону пласта, то за а и Ь приближенно могут быть приняты осредненные значения коэффициентов А и В, найденные в результате исследования скважин.

По уравнению технологического режима эксплуатации скважин

—изменение во времени потребного числа скважин.

Напомним, что уравнение (10) применяется при условии, если

выполняются соответствующие ограничения (см. § 4 данной главы). В противном случае вместо уравнения (10) используется выражение

Рг (0 —Р* (0 = а (Ц*«)сР q (0 + bzcpq2 (t).

В качестве примера приведем результаты расчетов показателей разработки газовой залежи А тремя батареями скважин при исход­ ных параметрах, принятых в примере предыдущего параграфа.

мости ср = ф (t) (хорошие коллекторские свойства пласта), потребное

число скважин в первой и второй батареях определялось исходя

из зависимости р — р (t). Дебиты скважин определялись с исполь­ зованием уравнения (10) и при условии, что а = А и b = В.

§ 6. Решение на ЭВМ задач неустановившейся фильтрации газов

В предыдущих параграфах рассмотрены приближенные методы определения показателей разработки газовых месторождений. Развитие этих методов было связано с нелинейностью исходных дифференциальных уравнений неустано­ вившейся фильтрации газа, что не позволяло получить эффективные решения в замкнутом виде даже для простейших задач. Решение данных уравнений методами конечных разностей стало возможным лишь благодаря созданию и все более широкому применению быстродействующих электронных вычислительных машин.

Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных называются в литературе сеточными или конечно-разностными

методами1. В предыдущих параграфах мы уже пользовались методами числен­ ного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при опре­ делении, например, показателей разработки газовой залежи в период падающей добычи газа.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных про­ изводных основаны на выражении (замене) производных первого, второго и т. д. порядков в какой-либо точке пространства и в какой-либо момент времени через значения функции в соседних точках.

Известно, что любую функцию у = / (х), непрерывную и имеющую все

разбит на п равных частей (рис. 35). Тогда расстояние (шаг) между двумя точками равен h = (N — M)jn.

Выберем произвольные точки i — 1, i и i + 1 на линии MN. При помощи ряда Тейлора (1) запишем значения функции в точках i — 1 и £ + 1 через значе­ ния функции и ее производных в £-й точке. Для точки £ — 1 величина (х — а) =

1 В настоящее время имеется обширная литература по численным методам решения дифференциальных уравнений, например [7, 10, 64 и др.].

Здесь R x (А) н R 2 (А) — суммы соответствующих остаточных членов рядов

(2) и (3), поделенных на А.

Таким образом, формула (4) без R x (А) дает значение производной для конца интервала [г — 1, г], а формула (5) без R 2 (А) — Для конца интервала [г, i + 1] с погрешностью порядка А, так как R x (А) и R 2 (А) — члены первого порядка малости относительно А. Отбрасывание этих членов в формулах (4) и (5) при значительной величине А может привести к значительным погрешностям при замене и вычислении производной в точке г.

Таким образом, при аппроксимации (замене) производной в точке i через значения функции в соседних точках остаточный член имеет погрешность по­ рядка А2, т. е. пренебрежение остаточным членом в формуле (6) дает меньшую погрешность, чем в случае формулы (4) или (5).

Сложив уравнения (2) и (3), получаем аппроксимирующее выражение для второй производной в точке i:

в конечно-разностной форме одномерное дифференциальное уравнение параболи­ ческого типа (в безразмерном виде)

описывающее неустановившуюся фильтрацию сжимаемой жидкости. В резуль­

116

Уравнение (9) может быть записано двояким образом в зависимости от того, к какому временному слою относить его левую часть. Допустим, что решение уравнения (8) на временном слое / Дг уже известно, а решение отыскивается

вательно уравнение (10) к каждой г-й точке (с учетом граничных условий), можнополучить искомое решение на временном слое (/ + 1) Д г и т. д. Отсюда стано­ вится понятным, почему уравнение (10) называется явным: оно позволяет явным

ния функции, то задача сводится к решению системы из га — 1 уравнений с га — 1 неизвестными.

Таким образом, использование численных методов сводит интегрирование дифференциального уравнения (8) при соответствующих краевых условиях к чисто алгебраической задаче.

Возможность или эффективность использования сеточных методов приводит к рассмотрению вопросов сходимости и устойчивости их.

Необходимость рассмотрения сходимости и устойчивости сеточных методов связана: 1) с погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения

исоответствующих краевых условий конечно-разностными уравнениями; 2) с по­ грешностью вычислений на каждом временном слое.

Если сеточный метод дает такое решение, которое при изменении шагов Ах

иД г (при Ах — 0 и Д г — 0) стремится к точному решению задачи, то такой метод является сходящимся.

Если сеточный метод дает такое решение, что при увеличении числа просчи­ танных шагов по времени / погрешность вычислений стремится к нулю (или остается ограниченной), то метод является устойчивым. Оказывается, что устой­ чивость метода неразрывно связана с величиной шагов Ах и Дг.

Известно (см., например, [7]), что явное уравнение является устойчивым в том случае, если соотношение между шагами по пространственной и временной осям удовлетворяет неравенству

допустимы любые шаги по осям Дг и Дг, так как сходимость метода неразрывно связана с величинами шагов Дг и At.

Использование явного сеточного метода возможно в том случае, если шаги по пространственной и временной координатам удовлетворяют неравенству (12).

117

Оказывается, что это ограничение на шаг по временной осн является очень жестким. Для устойчивости метода шаг At приходится брать очень малым, что увеличивает общее число шагов по времени, а следовательно, и общий объем вычислительных работ. В связи с этим, несмотря на большую простоту явного сеточного метода, использование его на практике весьма ограниченно.

При использовании неявного сеточного метода, как уже отмечалось, нет прямых ограничений на величины шагов по пространственной и временной координатам, так как этот метод является устойчивым. Однако для получения заданной степени точности решения задачи выбору шагов по времени и про­ странству приходится уделять определенное внимание. Естественно, что умень­ шение шагов Да; и Д t сказывается положительно на точности получаемого реше­ ния, но вместе с тем это влечет за собой увеличение объема вычислений и на­

оборот.

На практике выбор шага по пространственной координате часто осуще­ ствляется экспериментальным путем. Для этого проводятся вычисления на ЭВМ с некоторым шагом Ах. Затем вычисления повто­ ряются с шагом Ах/2. Если оказывается, что ре­ шение, полученное при шаге Ах, отличается от решения, полученного при шаге Ах/2, на заданную величину погрешности 8, то шаг Ах считается незавышенным для достижения требуемой точности.

В противном случае задача просчитывается с ша­

зованы значительно более крупные шаги по пространственной (преобразованной) координате (это будет показано далее).

При выборе шага по временной координате целесообразно руководствоваться следующими соображениями.

Из изложенного видно, что чем сильнее изменяется искомая функция по пространственной или временной координате, тем меньший шаг требуется для получения заданной точности. Известно, что решение дифференциального уравнения параболического типа для некоторой точки пространственной коорди­ наты имеет вид, изображенный на рис. 36. Искомая функция наибольшим обра­ зом изменяется в первые моменты времени. После некоторого времени t1 изме­ нение функции во времени происходит почти по прямой линии. Это означает, что в интервале наибольших изменений функции [0, гх] требуется меньший шаг At, чем после достижения времени tr. Проведение расчетов с одним и тем же шагом по времени неэкономично. Таким образом, расчеты по времени должны

проводиться с растущими временными шагами.

Алгоритм увеличения шага по времени довольно прост. С начальным, по возможности малым, шагом Дг просчитываются два шага но времени. Затем с шагом 2Д« просчитывается один шаг по времени. Полученные два решения

на момент времени 2At при разных временных шагах сопоставляются. Если эти решения различаются на величину большую, чем заданная погрешность 8, то дальнейший счет ведется с шагом Дг. В противном случае расчет продолжается

118

с шагом 2At. С шагом 2Af просчитываются два шага. Затем с шагом 4Дt делается повторный просчет по времени. Аналогично изложенному результаты сопоста­ вляются, п получается ответ о целесообразности или нецелесообразности даль­ нейшего увеличения шага по времени и т. д.

Для задач, описываемых уравнениями параболического типа, часто удается записывать балансовые соотношения, например уравнение материального баланса применительно к газовой залежи. Наличие такого уравнения при проведении численных расчетов позволяет судить о правильности составления программы и дает представление о величине интегральной ошибки, получаемой

врезультате расчетов на ЭВМ.

Сначала 50-х годов для решения задач неустановившейся фильтрации газов

все более широкое применение находят численные методы и ЭВМ. Первые иссле­ дования в этом направлении посвящены решению одномерных задач неуста­ новившейся фильтрации газов [39, 47, 85 и др.]. Полученные практически точные решения позволили установить точность приближенных методов и обосновать справедливость применения упрощенных методов определения показателей разработки месторождений природных газов [39].

Пусть, например, требуется определить, как будет изменяться во времени давление на забое совершенной газовой скважины радиусом Яс при пуске ее в эксплуатацию с постоянным дебитом q. Газоносный пласт круговой формы радиусом Лк имеет постоянную мощность и однороден по пористости и про­

г — Лк,

др

дг

Для получения универсального решения, справедливого для любых пара­ метров пласта, диаметров скважины, размеров залежи и вязкости газа, диффе­ ренциальное уравнение, начальное и граничные условия представим в безраз­ мерной форме.

Введем следующие безразмерные переменные и параметры:

Тогда задача (13)—(14) в безразмерной форме принимает вид:

0 = 0, р* = 1,

» - о , А £ -= о .

ди

119