книги из ГПНТБ / Закиров, С. Н. Проектирование и разработка газовых месторождений учебное пособие

р, R c . ф

R c

Из дальнейшего изложения будет видно, что введение понятия фиктивной скважины приводит к некоторой специфике задания и учета граничных условий по скважинам при решении задач под­ земной газогидродинамики численными методами.

Если учесть, что при фильтрации газа одно из условий подобия записывается в виде:

CRCq . 2ратСр “

то получим, что при моделировании газовых скважин величина добавочного сопротивления определяется той же формулой (5). Радиус фиктивной скважины при фильтрации газа (по закону Дарси) также равен 0,2077 шага сеточной области.

В ряде случаев при расчетах по разработке газовой залежи на электрической модели можно и не использовать добавочные сопро­ тивления. Например, при определении показателей разработки одно­ пластового месторождения и задании дебитов газа по скважинам не набирают добавочных сопротивлений. После окончания расчетов на модели значения давлений на забоях фиктивных скважин пере­ считывают с использованием формул типа (8) в значения давлений на забоях реальных скважин.

Нельзя обойтись без введения в расчеты добавочных сопротивле­ ний при решении задач разработки многопластовых месторождений единой или комбинированной сеткой скважин и некоторых других задач.

Исследуем вопрос об определении величины добавочного сопро­ тивления для случая нарушения в призабойной зоне пласта линей­ ного закона фильтрации.

Уравнение притока газа к реальной скважине может быть пред­ ставлено в виде двучленной формулы

р 2 — p l = a q + b q z.

Здесь коэффициенты фильтрационных сопротивлений а и Ъ

относятся к области, заключенной между радиусом, равным Дж, и радиусом действительной скважины R c.

Уравнение (2) перепишем в виде:

Р2~ Рс

Чa-\-bq

Отсюда следует, что

141

Тогда, сопоставляя уравнения (1) и (9) и учитывая второе усло­

По правилу производных пропорций из соотношения (10) имеем

Следовательно, добавочное сопротивление при нарушении закона Дарси в призабойной зоне будет

Нетрудно видеть, что из этого соотношения в частном случае, если положить b = 0, получаем формулу (5).

Таким образом, при нарушении линейного закона фильтрации добавочное сопротивление зависит от дебита скважины q. Это озна­

чает, что при изменениях дебитов скважин в процессе решения задач разработки на электрических моделях необходимо пересчитывать по формуле (И ) величины добавочных сопротивлений и производить их перенабор.

Величины фильтрационных сопротивлений а л Ъ, входящие в фор­

мулу (11), трудно вычислить с достаточной достоверностью. Учиты­ вая, что основные потери давления при притоке газа к скважине приходятся на призабойную зону, рекомендуется вместо коэффи­ циентов а и Ъ подставлять в уравнение (И ) величины фильтрацион­ ных сопротивлений А и В , определяемые по данным интерпретации

результатов исследования скважины при установившихся режимах. Итак, добавочные сопротивления при решении задач неустановившейся фильтрации газа на электрических моделях рассчитываются

Вычисление добавочных сопротивлений значительно усложняется при учете реальных свойств газа и пористой среды. Поэтому реко­ мендуется применять следующий приближенный способ.

Используем уравнение притока реального газа к скважине

142

или при учете также реальных свойств пласта приближенно запишем

Эта зависимость хорошо аппроксимируется двумя (тремя или более)

___ ____________________ ф — ф с ___________________

^АС у (p*z)Cp-|-.6CizCp<7

Тогда вместо соотношения (10) имеем

Так же определяется 7?доб для двух других выделенных интерва­ лов изменения квадратов давления: Су заменяется соответственно на С 2 или С 3.

Чтобы не получалось принадлежности р 2 и р 2 разным интервалам аппроксимации, можно поступать следующим образом. Как только р\

достигнет величины р 2, производится новая аппроксимация зависи­ мости ф = ф (р2). Новая аппроксимирующая линия проводится, например, так, как показано на рис. 44 (пунктирная линия а).

Данная аппроксимирующая зависимость используется в расчетах до тех пор, пока р 2 не достигает левого конца интервала. После этого расчеты продолжаются с использованием аппроксимации (15) и т. д.

При нарушении закона Дарси непрерывный процесс решения задачи возможен лишь в случае пренебрежения реальными

143

свойствами газа и если дебиты скважин не изменяются во времени. В этом случае величина добавочного сопротивления зависит от де­ бита скважины q [см. формулу (8)]. В условиях реального газа

необходимость решения задачи по шагам вытекает еще из того, что параметры газа (и пласта) зависят от переменных во времени давлений

При разработке месторождений природного газа образуется той или иной «глубины» общая депрессионная воронка. Это означает, что в каждый момент времени давление в пласте от точки к точке изменяется. Образование депрессионной воронки в процессе разра­ ботки Северо-Ставропольского месторождения показано на рис. 45.

При рассмотрении (в § 7) возможности применения электрических моделей для интегрирования дифференциальных уравнений неустановившейся фильтрации газов вводилась новая временная пере­ менная т. Ее введение (линеаризация уравнения) основывалось на допущении, что давление (в формулах 19 и 38 § 7) в каждый момент времени в любой точке пласта близко к среднему пластовому давле­ нию по залежи на соответствующий момент времени. При наличии депрессионной воронки значительной «глубины» это допущение может приводить к ощутимым погрешностям.

Методы, основанные на введении временной переменной т, по­ зволяют осуществлять непрерывный процесс моделирования на элек­ троинтеграторах. Более точные методы решения на электрических моделях задач разработки газовых месторождений при газовом ре­ жиме предлагаются в работах П. М. Белаша, В. Я. Лядкина,

144

Установим подобие между электрическими и фильтрационными параметрами при помощи следующих соотношений:

(индекс «э» относится к электрическим параметрам).

Тогда условия подобия протекания электрических и фильтра­ ционных процессов запишутся в виде:

Излагаемый подход основывается на решении исходной задачи последовательно шаг за шагом по времени. Перед отысканием реше­ ния задачи в момент времени t + A t предварительно пересчиты­

ваются электрические емкости по формуле

Здесь за р принимаются значения давления в узловых точках, найденных на момент времени t (или соответственно t3).

Затем производится перенабор электрических емкостей. Для отыскания решения задачи на момент времени t -f- A t в качестве

начального условия задается распределение напряжений на сетке, полученное на момент времени t. Точность решения задачи возра­ стает при уточнении емкостей С согласно (8) в итерационном цикле

на каждом временном слое.

При решении задач неустановившейся фильтрации газа по шагам могут быть применены и иные подходы.

Запишем уравнение (1) в виде:

Введем коэффициенты пропорциональности при помощи следу­ ющих соотношений:

Если на каждом временном слое производить перенабор электри­ ческих сопротивлений, то можно получить подобие фильтрационных и электрических процессов на сетках R C . Тогда условия подобия

протекания электрических и фильтрационных процессов записы­ ваются в виде:

146

Таким образом, по известному решению задачи на момент вре­ мени t предлагается рассчитывать электрические сопротивления

по формуле

и перенабирать их для отыскания решения задачи (1)— (4) на момент времени £ + Af. Это означает, что линеаризация уравнения (1) осуществляется на каждом временном слое. При достаточно малом шаге по времени A t данная линеаризация обеспечивает большую

точность, чем методы, рассмотренные в § 7. При необходимости (при достаточно большом шаге Д t) на каждом временном слое реа­

лизуется итерационный процесс.

После перенабора сетки сопротивлений в качестве начального условия задается поле напряжений, полученное для момента вре­ мени t, и отыскивается решение задачи на момент времени t + A t .

Итак, решение на электрических моделях задач неустановившейся фильтрации идеального газа возможно осуществлять по шагам при введении коэффициентов пропорциональности согласно (10), удо­ влетворении условиям подобия (11) и (12), пересчете и перенаборе на каждом временном шаге электрических сопротивлений.

Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации реального газа в реальной, неоднородной по коллекторским свой­

Краевые условия относительно функции ф переписываются ана­ логично тому, как показано в § 7.

Уравнение (16) в отличие от (14) и в левой и в правой частях за­ писано относительно одной неизвестной функции — ср. Кроме того, нелинейность уравнения (16) определяется лишь членом перед производной по времени.

Нетрудно видеть, что если при отыскании решения на момент времени t + A t нелинейный член в уравнении (16) вычислять по из­ вестному решению на момент времени t, то решение уравнения (16)

при соответствующих краевых условиях может быть получено на сетках R C . В этом случае значение емкости в каждой узловой точке

будет вычисляться (а затем уточняться в итерационном цикле) по формуле

Связь между электрическим и натурным временами задается соотношенпем t3 — Ct t. Остальные коэффициенты пропорциональ­

ности вводятся так же, как в § 7, при соблюдении соответствующих условий подобия.

Перед отысканием решения задачи на момент времени t + A t

в качестве начального задается поле напряжений, соответствующее моменту времени t.

Отметим, что при решении уравнения (16) может быть использован также подход, основанный на методе корректирующих токов (Н. Г. Степанов).

Изложенные здесь методы пошагового интегрирования на сетке RC уравне­ ний неустановившейся фильтрации газа связаны не только с необходимостью увеличения точности решения соответствующих краевых задач. Методики, осно­ ванные на введении переменной х, не позволяют, например, решать задачи создания и эксплуатации подземных газохранилищ в истощенных месторожде­ ниях. Нельзя также прогнозировать процесс нарастания давления (после неко­ торого периода разработки на истощение) в газоконденсатном месторождении с целью добычи выпавшего в пласте конденсата. Эти задачи без принципиаль­ ных затруднений могут решаться с применением изложенных в данном пара­ графе методов.

На электроинтеграторе УСМ-1 была решена задача о неустановившемся притоке идеального газа к галерее при безразмерном дебите д* = 0,5. Для со­ поставления использовано практически точное решение соответствующей задачи, полученное на ЭВМ [39].

Результаты расчетов показывают, что линеаризация дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации газа с использованием среднего пластового давления при больших процентах отбора от запасов газа (или при значительной «глубине» общей депресспонной «воронки») приводит к погреш­ ностям в десятки процентов и более. Пошаговое решение соответствующей задачи дает погрешность около 5—6% (к концу разработки газовой залежи).

§ 10. Численные методы определения показателей разработки газовой залежи

при неравномерном расположении скважин

Процессы неустановившейся фильтрации газа или жидкости в пористой среде описываются дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа. Исследования в области теории теплопроводности, диф­ фузии и др. также связаны с необходимостью интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений параболического типа.

Одномерные краевые задачи для уравнений параболического типа хорошо изучены. Имеется значительное число аналитических решений различных кра­ евых задач. Аналитическому решению двумерных (по х и у), особенно филь­ трационных, задач посвящено сравнительно небольшое число исследований. Полученные решения основываются на ряде упрощающих положений, однако из-за громоздкости они малопригодны для практических расчетов.

В связи с невозможностью получения аналитического решения краевых задач для многомерных дифференциальных уравнений параболического типа в последние годы предложены различные численные методы решения, чему способствовал значительный прогресс в создании быстродействующих ЭВМ.

148

Численные методы п электронные вычислительные машины позволяют решать в настоящее время многочисленные прикладные задачи, описываемые много­ мерными дифференциальными уравнениями параболического типа.

Применительно к теории и практике разработки газовых (и нефтяных) месторождений достаточно рассмотреть численные методы решения двумерных (по х и у) уравнений параболического типа. Строго говоря, процессы фильтра­ ции, происходящие в пласте при разработке газового месторождения, протекают во времени в трехмерном эвклидовом пространстве. Однако для рассмотрения трехмерных фильтрационных потоков требуется огромная геолого-физическая информация. Получение по ограниченному числу скважин исчерпывающей и достоверной исходной геолого-физической информации для решения трех­ мерных фильтрационных задач представляет сложную проблему. Этим в извест­ ной мере определяется рассмотрение здесь лишь двух методов (Д. Дугласа и А. А. Самарского) численного интегрирования двумерных уравнений пара­ болического типа. Этп методы применительно к фильтрационным задачам апро­ бированы в работах кафедры и проблемной лаборатории по газу МИНХ и ГП им. И. М. Губкина.

Идея методов Дугласа и Самарского наиболее наглядно иллюстрируется

Здесь / —■плотность источника (стока).

Рассмотрпм пока алгоритм решения уравнения (1) в квадратной области. На формулировке и записи начального и граничных условии останавливаться

в форме (1) и последующие конечно-разностные аппроксимации покажут, как необходимо учитывать граничные условия по скважинам.

Сущность методов численного интегрирования двумерных уравнений пара­ болического типа состоит в таком «расщеплении» исходного уравнения, что решение задачи получается в результате последовательного решения одномер­ ных разностных задач.

Согласно методу Д . Дугласа, при известном решении задачи на к-м времен­ ном слое решение на (к + 1)-м временном слое получается в результате после­ довательного решения следующих двух систем копечпо-разностпых уравнений:

сматриваемой квадратной области интегрирования; при к = 0 используется

начальное условие.

Системы уравнений (2) или (3) представляют собой системы из (п — I)2 алгебраических уравнений с (re — I )2 неизвестными. С учетом граничных усло­ вий системы (2) и (3) в общем случае будут системамп из (п + I)2 алгебраических уравнений с (п + I)2 неизвестными. Характерным для систем (2) и (3) является то, что они имеют трехдиагональную матрицу (на каждой строке или столбце сеточной области). Это обстоятельство позволяет при нахождении решения на

149

промежуточном временном шаге и к + 1-м временных шагах использовать метод прогонки.

Таким образом, по Д. Дугласу вначале, например, методом прогонки ре­ шается система уравнений (2). Прогонка осуществляется на каждой строке сеточной области вдоль оси Ох. При этом значения второй производной от и по у в каждой узловой точке вычисляются на основе известного решения задачи

на к-м временном слое. Получается промежуточное решение задачи на & + — -м

временном слое. Так же решается система уравнений (3) (с учетом граничных условий). Получаемое решение является искомым и соответствует к + 1-му моменту времени.

Таким же образом отыскивается решение задачи на каждом следующем вре­ менном слое, вплоть до интересующего нас момента времени Т.

По методу А. А. Самарского уравнение (1) аппроксимируется следующими

Каждая из систем уравнений (4) и (5) вместе с граничными условиями содер­ жит в общем случае по (п + I)2 алгебраическому уравнению с (п 4- I)2 неиз­ вестными. Системы (4) и (5) имеют трехдиагональную матрицу (на каждой строке или столбце сеточной области). Поэтому, как и в предыдущем случае, для их решения можно использовать эффективный метод — прогонку.

Последовательность решения систем уравнений (4) и (5) ничем не отли­ чается от порядка решения систем (2) и (3). Обращаем лишь внимание на то,

Конечно-разностные уравнения (2) и (3); (4) и (5) являются неявными, абсолютно-устойчивым. Они аппроксимируют исходное уравнение с погреш­

то, согласно А. А. Самарскому, уравнение (6) может быть аппроксимировано следующими системами конечно-разностных уравнений:

150