книги из ГПНТБ / Закиров, С. Н. Проектирование и разработка газовых месторождений учебное пособие

Методика решения и все отмеченные особенности, характерные для систем (4)

и(5), остаются в силе и для систем алгебраических уравнений (7) и (8).

А. А. Самарским показано, что аппроксимация уравнения (6) разностными уравнениями (7) и (8) справедлива как в классе переменных, так и разрывных коэффициентов о и v .

Подобного обобщения для метода Д. Дугласа не имеется. Однако экспери­ ментально показано, что метод Д. Дугласа дает хорошие результаты при пере­ менных коэффициентах а и v.

Необходимо отметить, что при использовании метода А. А. Самарского имеют значение процесс организации прогонки и момент вывода результатов на печать. Решение систем разностных уравнений начинается с одной серии прогонок, например по оси х. Затем выполняются дважды прогонки по оси у, дважды прогонки — по оси х и т. д. Перед выводом результатов на печать производится лишь одна серия прогонок по оси х. При выполнении этого пра­ вила расчет дает правильные не только количественные, но и качественные результаты. Если это правило не выполняется, то при верных, например, зна­ чениях забойного давления получается некачествненной карта изобар, постро­ енная по всей совокупости узловых точек области интегрирования.

Определение показателей разработки месторождений природного газа при газовом режиме в общем случае сводится к интегрированию нелинейного диф­ ференциального уравнения в частных производных параболического типа

г = 1, 2, . . ., п.

В результате решения задачи (9)—(12) требуется найти изменение во вре­ мени пластового давления и давления на забоях эксплуатационных скважин.

Для решения задачи (9)— (12) воспользуемся методом Д. Дугласа из тех соображений, что расчетные формулы для метода А. А. Самарского получаются как частный случай из разностных уравнений для метода Д. Дугласа. Из при­ водимого ниже изложения видны особенности применения численных методов.

Ранее отмечалось, что при решении задач разработки газовых (нефтяных) месторождений приходится сталкиваться с понятием фиктивной скважины (см.

§8 данной главы).

Вусловии (12) в качестве контуров si примем соответствующие контуры фиктивных скважин радиусом Лс. ф = Rc + 0,208 Дгг1. Следовательно, за пре­

151

Тогда ввиду относительной малости R c, ф условие (12) с незначительной погрешностью может быть записано в виде:

Условие (13) означает, что дебит укрупненной скважины принимается рав­ ным дебиту реальной газовой скважины. В связи с малыми запасами газа в пре­ делах области с радиусом Rc. ф это допущение выполняется с высокой степенью точности.

При решении задачи (9)—(11), (13) методом конечных разностей удобно ввести следующие безразмерные переменные:

152

В дальнейшем звездочки для простоты будем опускать.

Область фильтрации G с внешней границей Г покроем сеточной областью с шагом Ах = Ау, как это изображено на рис. 46. Внешнюю границу Г аппрокси­ мируем сеточной границей Г'. Тогда область фильтрации G заменится сеточ­ ной областью (?'. Центры квадратов будем называть узловыми точками. Пред­ полагается, что каждая г-я скважина с контуром si попадает в узловую точку. Этого всегда можно добиться соответствующим перемещением сеточной области до наилучшего совпадения места расположения скважин с узловыми точками и некоторым «сдвигом» скважин.

Используя идею метода Д. Дугласа, уравнение (14) аппроксимируем сле­ дующими двумя системами разностных уравнений (при Ах = Ау):

сверхсжимаемости газа при пластовом давлении рЬ*/1; значения величин, вхо-

и т. д.

153

Чтобы сформулировать разностную задачу, соответствующую краевой задаче (14)—(17), необходимо условия (16) и (17) записать в разностном виде. Условие (15) при решении задачи учитывается без затруднений: при к = О

все р?, / = 1.

Граничное условие с Г будем непосредственно переносить на границу се­ точной области Г' без соответствующей интерполяции, так как число пригра­ ничных узловых точек на порядок и более меньше общего числа узловых точек, аппроксимирующих G. Поэтому считается, что погрешность в решении опреде­ ляется главным образом погрешностью уравнений в основных узлах, число которых является подавляющим.

Использование данного условия на ступенчатой линии Г' при рассмотре­ нии систем (18) и (19) приводит к совпадению направления нормали с направле­ ниями координатных осей. Поэтому условие (20) для системы (18) дает следу­ ющие конечно-разностные уравнения (со вторым порядком точности для гра­ ницы, проходящей по середине расположения узловых точек):

Здесь индексы «л» и «п» означают принадлежность к приграничным узловым точкам соответственно на левой и правой границах области G' (см. рис. 48).

Так же условие (20) при рассмотрении системы (19) дает следующие конечно­

Здесь индексами «в» и «н» помечены «верхние» и «нижние» приграничные узловые точки.

Рассмотрим конечно-разностные аналоги граничных условий по скважинам. Пусть некоторая скважина находится в узле (г, /). Тогда, согласно формуле Дюпюи, для дебита фиктивной скважины можем записать относительно при­ нятых обозначений следующее уравнение:

Здесь^ р — среднее давление на контуре г = Ах; pit у- — давление на забое фиктивной скважины; а/, / — значение параметра сг в узловой точке (i, ;').

Очевидно, что величина р2 может быть принята равной среднеарифмети­ ческой величине от квадратов давлений в соседних узловых точках, т. е.

_ |

154

с.ф

Нетрудно заметить, что уравнение (27) является конечно-разностным ана­ логом выражения

Яс . ф

Символами —0, + 0 характеризуются значения производных соответственно слева, снизу и справа, сверху от узловой точки (г, /).

Применительно к схеме Д. Дугласа уравнение (28) для ^А -|— —^-го вре­ менного слоя записывается в виде:

Последовательное решение систем уравнений (18), (21), (22), (29) и (19), (23), (24), (30) с учетом условия pj, / = 1 дает решение интересующей нас за­ дачи на к -f- 1-м временном шаге.

Непосредственное решение рассматриваемых систем затруднительно иа-за их нелинейности. Поэтому при их решении могут быть использованы два под­ хода. Например, при нахождении решения на к + 1-м временном шаге вели­ чины и параметры, зависящие от искомого решения, вычисляются согласно соответствующим значениям давлений на к-и временном слое; при нахождении

с высокой степенью точности. Естественно, что в рассматриваемом случае точ­ ность решения зависит от размера шага по времени. Расчеты с шагом т, 2т и т. д. и сопоставление решений по заданной величине погрешности е позволяют установить оптимальные, растущие шаги по времени (см. § 6 данной главы).

Согласно другому подходу, при отыскании решения на (к + 1)-м временном слое в первом приближении нелинейные члены вычисляются согласно извест­ ному решению задачи на к-м слое. Полученное приближенное решение на к + + 1-й момент времени используется для итерирования (уточнения) нелинейных членов. По уточненным значениям нелинейных членов отыскивается 'новое уточненное решение на (A -f- 1)-м временном шаге и т. д. Итерационный процесс на каждом временном слое контролируется заданной величиной погрешности е или заданием числа итерационных циклов в каждый момент времени.

155

Систему уравнений (18) представим в следующем виде:

няются в результате итераций. Обозначим через s номер итерации. Тогда, на-

со,й+Т

при отыскании нового приближения и т. д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока максимальная разница в давлениях не будет различаться на заданную величину погрешности, т. е. до выполнения неравенства

156

ческих уравнений с трехдиагональной матрицей. Поэтому для ее решения можно воспользоваться методом прогонки.

Каждая строка и столбец рассматриваемой сеточной области имеет различ­ ное число узловых точек. Будем считать, что самые левые узловые точки имеют

157

Из уравнения (38) следует уравнение (36), если прогоночные коэффициенты вычислять по рекуррентным соотношениям:

Значения коэффициентов D\, £ и Elt]- определяются исходя из граничного условия на левом конце каждой /-и строки. Это условие для /-й строки, согласно принятой нумерации узловых точек, дает

Последующие значения прогоночных коэффициентов вычисляются согласно

(39) и (40).

Исходя из граничного условия на правом конце /-й строки

пользованием найденных значений прогоночных коэффициентов по формуле (36). Таков порядок определения квадратов давлений (а следовательно, при из­ влечении корня — и давлений) на j -й строке, если на ней нет узловой точки со скважиной. Теперь пусть в (г, /)-й точке находится скважина. В этой узловой

(особой) точке должно выполняться граничное условие (29). Уравнение (29) с учетом (37) можно записать в виде:

158

Приведение уравнения (45) к виду (36) дает следующие выражения для прогоночных коэффициентов:

Таким образом, если в точке (i, j) находится скважина, то нестандартным путем вычисляются лишь коэффициенты Dui, ;-и -E;+i,/. В остальном порядок расчетов не изменяется.

Решение системы (19) при соответствующих граничных условиях находится аналогичным образом. Различие состоит лишь в написании расчетных формул,

159

По вычисленным давлениям на стенках фиктивных скважин определяются давления на забоях реальных скважин с использованием уравнений притока газа к каждой скважине.

Данный численный алгоритм апробирован при расчете неустановившейся фильтрации газа к батарее скважин. Задача рассчитана Н. X . Гарифуллиной на ЭВМ М-20 как двумерная. Результаты решения сопоставлены с данными, получаемыми по практически точному методу Б. Б. Лапука, Л. А. Владимирова. При этом для величины отбора газа в 12% от начальных запасов расхождения в соответствующих значениях среднего пластового и забойного давлений соста­ вляют около одного процента.

В качестве примера использования алгоритма приведем данные расчета показателей разработки газового месторождения Б, близкого по своим пара­ метрам к Березанскому месторождению Краснодарского края.

160