книги из ГПНТБ / Закиров, С. Н. Проектирование и разработка газовых месторождений учебное пособие

Физический смысл введения новой временной переменной, со­ гласно (19), означает введение нового масштаба времени. В фор­ муле (19) давление р принимается независимым от координат и пред­

лагается заменять его средневзвешенным пластовым давлением. Таким образом, в условиях газового режима, задаваясь измене­

нием среднего пластового давления (при помощи уравнения мате­ риального баланса), не представляет труда путем численного или гра­ фического интегрирования найти зависимость т = т (t ). Эта зависи­

мость имеет вид, приведенный на рис. 41. Убедимся, что это так. Пусть отбор из месторождения постоянен во времени. Тогда

Рат(?£

Р (*) = Рн

а£2н

и для т имеем

t

QPat

dt — p Ht

2aQH

В результате решения на электроинтеграторе уравнения (20) получаются показатели разработки газового месторождения в функ­ ции новой временной переменной т. Использование зависимости т == = т (t) позволяет вновь перейти к реальному времени t. Если усло­ вия по скважинам принимаются зависимыми от времени t, то при

решении задачи эти условия задаются в функции временной пере­

При подстановке выражений (21)— (25) в уравнение (2) получаем, что для достижения подобия процессов фильтрации газа в пористой среде и электрических процессов в сетках из сопротивлений и емко­ стей должно выполняться условие

Расход газа q вдоль оси х через элементарный объем h dx dy,

приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре, будет27

Аналогичное уравнение для силы тока, согласно закону Ома, имеет вид:

Устанавливаем соотношение между расходом газа и силой тока:

Уравнения (27) и (28) с учетом (21), (23) и (29) дают второе усло­ вие, связывающее выбранные коэффициенты подобия:

Введение новой временной переменной т, соотношений (21)— (25)

и(29) при соблюдении условий подобия (26) и (30) позволяет решать задачи разработки месторождений природного газа на электрических моделях с сеткой R С.

Произвольность конфигурации месторождения и произвольность изменения параметров пласта по площади залежи, неравномерность расположения газовых скважин на площади газоносности и их разнодебитность не являются ограничивающими факторами для исполь­ зования электрических моделей при расчетах по разработке место­ рождений природных газов. Однако эти факторы представляют су­ щественные трудности, и порой непреодолимые, при нахождении аналитических решений задач подземной газогидродинамики. Учет этих факторов нетривиален и при использовании численных методов

иЭВМ для расчетов по разработке месторождений природных газов. Рассмотрим возможность решения на электрических моделях

задач разработки месторождений природных газов с учетом реальных свойств газа, реальных свойств и неоднородности пористой среды.

Неустановившаяся фильтрация реального газа в неоднородной, деформируемой пористой среде описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа:

При определении показателей разработки месторождений при­ родных газов уравнение (31) иногда приходится решать при сле­ дующих начальном и граничных условиях:

132

или

(34)

w - ° - ( х ' 1» е г -

Непосредственное решение задачи (31)— (34) на электрических моделях из сопротивлений и емкостей затруднительно. В последнее время предложена методика приближенного решения задачи (31)— (34) на электрических моделях с сеткой В С .

Введем в рассмотрение новую функцию ф согласно соотношению

циент проницаемости в точке пласта с координатами х и у при на­ чальном пластовом давлении р н; цат — коэффициент динамической вязкости газа при атмосферном давлении p ST и пластовой темпера­

туре.

Относительно функции <р левая часть уравнения (31) записывается в следующем линейном виде:

Функция ф в известной мере аналогична функции Христиановича в теории установившейся фильтрации газированной жидкости.

Производную по времени, стоящую в правой части уравнения (31), можно записать следующим образом:

Производная от давления по времени может быть представлена с учетом (35) в виде:

Таким образом, уравнение (31) относительно новой функции ф записывается в виде:

Если предположить, что давление, определяющее нелинейность члена перед производной по времени, не зависит от координат, то

133

можно ввести новую временную переменную т согласно соотношению

а начальное и граничные условия переписываются следующим образом:

Уравнение (39) приближенно описывает процесс неустановившейся фильтрации реального газа в реальной пористой среде. Уравнение (39) получено из (37) при предположении, что давление, входящее в подынтегральное выражение (38) для переменной т, не зависит от координат и равняется, например, среднему пластовому давлению в соответствующие моменты времени. Это равносильно принятию равенства

Зф Зф Зт

(44)

dt дх dt

Таким образом, если депрессионная воронка пластового давления такова, что величины др/дх и др/ду в разных точках малы, то решение задачи (39)—(43) будет близким к решению задачи (31)—(34).

Отметим, что введение функций типа рассматриваемой функции ф или

временных переменных типа переменной т встречается при решении задач неустановившегося движения газа в трубопроводах, определении параметров пласта по кривым нарастания забойного давления, а также при исследованиях стационарной и нестационарной фильтрации газированной жидкости и реаль­ ного газа. Физический смысл введения новой функции ф и временной перемен­ ной т означает переход к новым масштабам измерения давлений и времени.

Итак, приближенное решение задач разработки месторождений природных газов при газовом режиме с учетом неоднородности пласта,

134

реальных свойств газа и пористой среды сводится к решению диф­

функции ф в любой точке пласта с координатами х ж у (также и по

скважинам) в любые моменты условного времени т. Переход от да­

= z (р) путем численного интегрирования (35) определяется зави­ симость ф = ф (р ). Если в подынтегральное выражение (38) вместо величины давления р подставить величину средневзвешенного по

газонасыщенному объему норового пространства пластового давле­

В электрической сетке из сопротивлений и емкостей, собранных по схеме рис. 40, распределение напряжений описывается дифферен­

Здесь Аф — разница в величинах функции ф на концах интер­ вала Ах.

Сила тока в соответствующем элементе сеточной области опреде­ ляется законом Ома (28).

Для моделирования процесса неустановившейся фильтрации газа на сетке из сопротивлений и емкостей введем коэффициенты подобия:74

135

Подставив коэффициенты подобия (47) в (2) и (28) и сопоставив полученные уравнения с уравнениями (39) и (46), определим условия подобия протекания фильтрационных и электрических процессов:

Таким образом, возможно приближенное решение на электриче­ ских моделях с сеткой R C задач неустановившейся фильтрации реаль­

ного газа в реальной пористой среде, если ввести новые функцию ф и переменную т согласно (35) и (38) и коэффициенты пропорциональ­ ности согласно (47) так, чтобы выполнялись условия подобия (48).

Остановимся коротко на методике моделирования.

До решения задачи составляются карты равных значений пара­

метров сопротивления и емкости csmh газоносного пласта. На

кальке вычерчивается сеточная область с шагом Дя = Ау. Сеточная область накладывается на карту равных значений параметра ~ .

Производится наилучшая аппроксимация внешней границы пласта сеточной границей. Число узловых точек, покрывающих область интегрирования, должно быть не больше числа узловых точек элек­ трической модели. После этого не представляет труда, в частности, определить величину масштаба сетки М , т. е. сколько метров при­

ходится на расстояние между двумя узловыми точками. С карты

kqti

выписываются на чистый бланк сеточной области месторождения

всоответствующие значения электрических сопротивлений. Таким же образом определяется «карта» электрических емкостей (значения емкостей определяются для каждой узловой точки). По полученным «картам» производится набор на модели сопротивлений и емкостей. Заданные зависимости изменения во времени дебитов скважин или забойных давлений пересчитываются в силу тока или напряжение

вфункции времени т, а затем — в функции времени t3. На специаль­

ном блоке задания граничных условий набирается временная про­ грамма изменения электрического тока или напряжения (дебитов или давлений) в узловых точках-скважинах. Условие непроницаемости внешней границы выполняется автоматически, так как на аппрокси­ мирующие внешней контур узловые точки ни напряжение, ни ток не подаются. После этого модель считается готовой к решению за­ дачи. В интересующих нас точках пласта и точках-скважинах за­ меряется напряжение (или электрический ток). С использованием

коэффициентов пропорциональности и соотношений ф = ф (р) и т = т (t) осуществляется переход к искомым давлениям в функции реального времени t.

136

Точность решения задачи на электрической модели контроли­ руется с использованием уравнения материального баланса (как отмечено в § 6 данной главы).

Для проверки описанного метода решения на электроинтеграторе была решена задача неустановившейся плоскорадиальной фильтра­

=500 м; радиус сква­

1 С. Н. З а к и р о в , А. Н. Т и м а ш е в. Решение задач неустановпвшейся фильтрации реального газа в реальной пористой среде на вычислитель­ ных машинах непрерывного действия. Изв. АН УзбССР, серия техн. наук, 1965, № 1, с. 43 -49 .

137

абсолютные величины контурного давления равны соответственно 60 и 58,5 кгс/см2 и забойного 34 и 31,3 кгс/см2. Данные значения давле­ ний характерны для суммарного отбора, составляющего 72,6% от запасов газа.

§ 8. Расчет добавочных сопротивлений при моделировании газовых скважин

При расчетах по разработке нефтяных и газовых месторождений на электрических моделях или численными методами на ЭВМ про­ дуктивный пласт разбивается сеточной областью на элементарные объемы. При этом чем меньше шаг сеточной области, тем точнее получаемое решение задачи. Уменьшение шага сеточной области приводит к необходимости увеличения числа сопротивлений и кон­ денсаторов, что в свою очередь вызывает удорожание самих электри-

138

ческих моделей и увеличивает время решения задачи. При решении задач подземной газогидродинамики численными методами умень­ шение шага приводит к необходимости использования ЭВМ с боль­ шим объемом оперативной памяти и большим быстродействием. Чем меньше шаг сеточной области, тем при прочих равных условиях требуется большее количество машинного времени для реализации одного и того же алгоритма. Следует также иметь в виду, что часто бывает необходимо получить решение задачи не во всех узловых точках, а в некоторых отдельных, например, на забоях скважин, в точках, прилегающих к газоводяному или нефтеводяному кон­ такту, для расчета продвижения во времени ГВК и ВН К .

В связи с этим исследования по использованию аналоговых и цифровых вычислительных машин для решения задач фильтрации проводились в направлении возможного увеличения шагов по коор­ динатным осям. Оказалось, что применение метода электроаналогий или численных методов является эффективным (в отношении допу­ стимых погрешностей и практической реализации) при шаге сеточнойобласти 100—200 ми более. Однако при подобных размерах шага сеточной области не удается смоделировать скважину, имеющую диаметр в несколько сантиметров.

Если при решении задач разработки нефтяных или газовых место­ рождений на ЭВМ или на электрических моделях заменять сква­ жины узловыми точками, то оказывается, что получаемое при этом решение задачи (поле давлений) соответствует работе не действитель­ ных, а некоторых фиктивных скважин. Экспериментальные иссле­ дования показали, что радиус фиктивной скважины практически составляет 0,2 шага сеточной области (Г. Г. Вахитов, Ю. Г. Толстов). Поэтому возникает необходимость введения дополнительного сопро­ тивления (электрического или фильтрационного), моделирующего область от реальной скважины до скважины с радиусом 0,2 шага сеточной области.

К. В. Гомонова сделала попытку теоретически обосновать и опре­ делить радиус фиктивной скважины. На рис. 43 изображена соот­ ветствующая этому случаю схема для расчета.

Предположим, что в нулевой узловой точке находится скважина. Ближайшие к скважине узловые точки обозначим цифрами 1 , 2 , 3 , 4.

Давления (напряжения) в узловых точках имеют соответствующие индексы: 0, 1, 2, 3 и 4.

Пользуясь электрогидродинамической аналогией и применяя закон Кирхгофа, для нулевой точки можно записать (в случае жидкости)

нальности); R и Ддоб — соответственно сопротивление электрической

сетки и добавочное сопротивление.

139

Формула Дюпюи позволяет записать выражение для дебита жидкости, притекающей из области пласта, геометрически подобной

Щ"Г Р2 -“Г Рз + Р-1

В/

Таким образом, при решении задач подземной гидродинамики моделирование нефтяных скважин осуществляется согласно схеме,

Из формулы (7) следует, что при притоке жидкости к узловой точке, моделирующей скважину, получаемое решение соответствует работе некоторой фиктивной скважины радиусом

Я с. Ф = 0,2077 Ах.

140