книги из ГПНТБ / Дмитриев, В. Н. Основы пневмоавтоматики

ра настолько велпкп, что скоростью газа перед отверстием можно пренебречь, т. е. t’,=0. В этом случае уравнение Бернул­ ли для газа имеет вид

объеме, р! и р2 — плотности воздуха на входе в пневматическое

сопротивление и на выходе из него соответственно; £ — коэффи­

= ѵ2р2Р (где р2 — плотность воздуха после отверстия; F — пло­

щадь проходного сечения отверстия) может быть рассчитан по следующей формуле для докритического режима:

Если постепенно уменьшать давление р2 после дросселя, ос­ тавляя постоянным давление р\ до него, то массовый расход G воздуха вначале будет возрастать, а затем после достижения.

30

некоторого значения, называемого критическим, остается посто­ янным, сколько бы ни уменьшалось давление р2. Указанное яв­ ление объясняется тем, что некоторому критическому значению давлений ß,;p = [р21р\)1{р на выходе дросселя соответствует кри­ тическая скорость, равная скорости звука и являющаяся макси­ мальной при данных условиях.

Для получения потока, имеющего скорость, большую, чем скорость звука, необходимо применять специальные средства, на­ пример различного типа сопла (геометрическое, тепловое, меха­ ническое и т. д.). В практике получения сверхзвуковых скоростей большое распространение получило сопло Лаваля. Течение газа со сверхзвуковыми скоростями рассматривается в специальных разделах газовой динамики, и эти вопросы в настоящей книге не освещены. Заметим, что возмущения в воздухе распространяют­ ся со скоростью звука. Со скоростью звука будет распростра­ няться и волна разрежения, возникающая, например, от вакуумнасоса, откачивающего воздух из пространства после дросселя. Однако при надкритическом истечении возникающая на срезе сопла звуковая скорость истечения не позволит возмущению из­ вне проникнуть внутрь сосуда, из которого происходит истечение, и в какой-либо мере повлиять на режим самого течения. Как следует из выражения (2), зависимость безразмерного расхода G/G];р от отношения давлений р2/р\ при изменении давления р2 после дросселя и постоянном р\ представляет собой параболу, левая ветвь которой не отвечает физике явления. Следует отме­ тить, что увеличение давления р\ перед дросселем ведет к возра­ станию расхода и при установлении звуковой скорости на срезе дросселя. В этом случае звуковая скорость не мешает .проникно­ вению возмущений к отверстию, из которого происходит истече­ ние воздуха.

Формула для надкритического истечения получается из фор­ мулы (2) путем подстановки значения ßKp. Для нахождения ßKP продифференцируем по ß = р2/р\ выражение, стоящее в квадрат­ ных скобках формулы (2), и приравняем результат нулю. Зна­ чение коэффициента расхода р, принимается постоянным. Тогда получим

Решая последнее уравнение относительно ß, находим зна­ чение

*

при котором расход достигает максимального значения GKp. Подставляя в последнее выражение значение k = 1,4, нахо­

дим, что для воздуха §кр = 0,528.

3f

Формула для расчета надкритического истечения газа полу­ чается из формулы (2) путем подстановки вместо рг!р\ отноше­ ния {р2 Ір1 ) іф и имеет вид

при надкритическом истечении зависит от давления перед дрос­ селем р\ и не зависит от давления после дросселя /72.

изобарического и т. д. Следует заметить, что значения ß,;p для различных процессов различны.

При расчете и проектировании систем пневмоавтоматики для нахождения массового расхода воздуха через дроссели при тур­ булентном режиме течения часто применяют более простые фор­ мулы. А именно, для докритического истечения, когда pz!p\ ^

а для надкритического истечения, когда р2/р\ ^ 0,5,

(4) и (5) равно 0,5. Действительно, продифференцируем выра­

жение, стоящее в квадратных скобках формулы (4), по ß = — Pi

и результат приравняем нулю, тогда получим 1—2(р2/рі)іф:= 0. Отсюда находим, что ßKp = (р21р\)кр = 0,5. Приведенные фор­ мулы (4) и (5) довольно точно аппроксимируют точные форму­ лы (2) и (3). Максимальная относительная погрешность при расчете расходов воздуха по приближенным формулам не пре­ вышает 3,4%.

И, наконец, при малых перепадах давлений на дросселе, ког­ да можно пренебречь изменением плотности, можно вести рас­ чет расхода по формулам гидравлики, справедливым для тече­ ния несжимаемой жидкости:

G = p F ] / 2 p Ѵ р і —Р2-

32

При расчетах расхода газа через жиклер важное значение имеет определение коэффициента расхода р. Коэффициент рас­ хода для жиклеров со скругленной входной кромкой, с фаской на входе в канал и для ряда других жиклеров находят по фор­ муле

где £пх — коэффициент сопротивления на входе, зависящий от условий входа потока в жиклер.

Потери на выходе автоматически учитываются тем, что в рас­ четные формулы подставляют давление той среды, в которую происходит истечение, а не давление в самом узком сечении струп на выходе ее из дросселя.

Коэффициент £вх зависит от типа жиклера. Эксперименталь­ ные графики зависимости коэффициента сопротивления £вх от различных условий входа потока в жиклер представлены на рис. 12 [24]. Приведенные графики сняты для дросселей, имею­ щих подводящий канал, площадь которого F0 значительно боль­ ше площади проходного сечения дросселя F. Если F0 соизмери­ ма с F, то значение £вх, полученное по графикам, следует умно­

выводы. При достаточно большом радиусе г скруглення кромки коэффициент сопротивления на входе уменьшается практически до нуля (рис. 12, а). В довольно широких пределах коэффици­ ент сопротивления можно изменять путем подбора угла фаски <р и ее глубины /ф (рис. 12, б, в). Коэффициент сопротивления жик­ лера зависит также от отношения толщины стенки к диаметру, отношения расстояния от торца трубки до стенки к диаметру (рис. 12, г) и от отношения расстояния до экрана (стенки) от торца отверстия к диаметру (рис. 12, д).

Для отверстия в тонкой стенке коэффициент расхода можно

Как было показано ранее, в жиклерах имеет место турбу­ лентный режим течения при числах Рейнольдса Re ^ 2300. Од­ нако при очень малых диаметрах каналов и при малых значени­ ях перепада может существовать и ламинарное течение, что соответствует уже ламинарному дросселю.

Жиклеры получили широкое распространение в системах пневмоавтоматики и применяются как постоянные дроссели для

обеспечения необходимого перепада давлений, в управляющих усилителях типа сопло — заслонка, при построении квадраторов и других вычислительных, а также логических пневматических устройств.

Рис. 12. Графики зависимости коэффициента сопротивления от различ­ ных условии входа:

а — для жиклера со скругленной входной кромкой; б — для жиклера с фаской

----- — > 0,05 d

Пневматическое сопротивление типа капилляр. Пневматиче­ ское сопротивление подобного типа может быть выполнено в ви­ де длинной трубки или канала, имеющего прямоугольную, круг­ лую или иную форму сечения, у которого отношение длины к диаметру или к условному диаметру, равному 4/?г*, велико. Характер течения в каналах такого дросселя — ламинарный.

* Гидравлическим радиусом R,■называют отношение площади живого се­ чения потока к смоченному периметру.

34

Если перепад давлений на дросселе рассматриваемого типа изменяется незначительно по сравнению с абсолютными их зна­ чениями, то течение газа можно рассматривать как течение не­ сжимаемой жидкости (р = const). В этом случае расход воздуха зависит линейно от перепада давлений, а именно:

пневмоавтоматики. Поэтому, хотя в общем случае и надо учи­ тывать коэффициенты сопротивления на входе в капилляр и на выходе из него, можно приблизительно (при р = const) считать, что коэффициент сопротивления

:ТР = Al/d.

По длине капилляра в процессе течения газа формируется параболический профиль скоростей. Участок, на котором проис­ ходит формирование профиля скоростей, называется начальным. Длина /„ начального участка ламинарного течения зависит от диаметра капилляра d и числа Рейнольдса и определяется для капилляра круглого сечения по формуле /„ = 0,029dRe.

Поскольку капилляр имеет постоянную температуру Т, про­ цесс течения газа по капилляру можно считать изотермическим. Будем считать, что параболический профиль скоростей сформи­ рован. При течении несжимаемой жидкости (р = const) парабо­ лический профиль будет оставаться одинаковым .во всех сечени­ ях. В случае течения газа, когда р =.ѵаг, параболический про­ филь скоростей меняется от сечения к сечению.

Рассмотрим установившийся процесс течения газа в капилля­ ре круглого сечения между плоскостями АА и ББ (рис. 13). Так как воздух является сжимаемой средой, его плотность по длине капилляра I меняется от одного сечения к другому. Выделим внутри капилляра соосный с ним элементарный цилиндри­ ческий участок канала длиной dx, отстоящий от сечения ББ на расстоянии X , внутри которого плотность можно считать посто­

янной.

Составим условие равновесия всех сил, действующих на вы­ деленный элементарный цилиндрический участок струйки возду­

Касательные напряжения, пли напряжения трения т, возни­ кающие в вязкой жидкости, выражаются формулой Ньютона1:

dv

т =

Знак минус взят потому, что производная от скорости течения воздуха по радиусу ■— величина отрицательная, а напряжение трения по смыслу — величина положительная 2.

Рис. 13. К расчету течения газа в капилляре:

а — элемент потока; 6 — схема капилляра

Записывая условие равновесия сил, получим следующее урав­ нение:

интеграла и проинтегрировать по у. Тогда

Постоянную интегрирования с найдем из условия, что на стенке скорость равна нулю, т. е. ѵ = 0 при у —г, где г •— радиус капилляра. Тогда получим следующее выражение для местной скорости:

по формуле (Хд = 1,71-ІО-5 + 4,94-10~8 ГС [— ].

dv

2 Действительно, тангенс угла наклона касательной ~~— к кривой про­ филя скоростей— величина отрицательная.

36

Если по капилляру течет несжимаемая жидкость, то профиль скоростей будет оставаться постоянным во всех сечениях, и, сле­ довательно, V не будет зависеть от х. Тогда можно проинтегри­ ровать уравнение (7) второй раз:

Подсчитаем объемный расход

dp л

dx 8ц.д

Для несжимаемой жидкости Q = const, и полученное уравне­ ние для этого случая можно проинтегрировать еще раз и полу­ чить окончательное выражение для объемного расхода

Найдем выражение для массового расхода G воздуха с уче­ том его сжимаемости. В пределах элементарного участка струи dx плотность постоянна. Однако на протяжении всей длины / капилляра от сечения к сечению плотность, в силу сжимаемо­ сти воздуха, является переменной величиной. Находя из уравне­ ния состояния значение р и подставляя в формулу для массового расхода, получим следующее выражение:

где d = 2r.

Уравнения (8) и (9) называются формулами Пуазейля для сжимаемой вязкой жидкости.

При выводе формул предполагалось, что профиль скоростей параболический. Это предположение оправдано тем, что участок, ограниченный сечениями АА и ББ, был выбран за пределами начального участка. При расчете расхода воздуха через капил­ ляр, включенный по схеме, показанной на рис! 13, б, следует

•37

иметь в виду, что здесь уже не наблюдается параболическое рас­ пределение скоростей по диаметру во всех сечениях. На началь­ ном участке капилляра /„ будет происходить формирование про­ филя скоростей, т. е. на начальном участке профили скоростей в различных сечениях не будут параболическими. Однако, если перепад давлений р\ — достаточно мал, а отношение Ijd ве­ лико, то значение по отношению к I будет весьма незначи­ тельным и им можно пренебречь.

Рис. 14. Схемы для расчета течения через щели:

Как известно [9], коэффициент кинетической энергии а, вхо­ дящий в уравнение Бернулли, для капилляра в случае несжи­ маемой жидкости равен 2.

Проведем расчет ламинарного течения вязкой сжимаемой жидкости в капилляре типа тонкой плоской щели. Рассмотрим процесс течения воздуха между двумя плоскостями (рис. 14, а, б) по щели прямоугольного сечения. Пусть высота щели равна а, длина /, ширина Ь. Выделим внутри щели элементарный участок длиной dx, в пределах которого плотность постоянна. Ось. х на­ правим по длине щели на расстоянии а/2 от верхней плоскости, ось у — в направлении высоты щели. Кроме того, будем считать, что b а, при этом условии течение в щели можно рассматри­ вать как течение между двумя плоскостями. На выделенный элемент газа действуют силы, обусловленные давлением р и p + dp, а также касательным напряжением т. Сила, действующая слева, равна 2(р + dp) by, а справа — 2pby, суммарная сила от касательных напряжений равна 2bdxx.

Условие равновесия всех сил, действующих на выделенный элемент, можно записать так:

—2рЬу + 2(р + dp)by—2bdxx —0.

38

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим

dpy = xdx, откуда следует, что т = у— . Вместе с тем, учитывая, dx

что на основании закона вязкого трения Ньютона т = —ид— , и

' dy

приравнивая правые части в выражениях для касательных на­ пряжений, найдем, что

du dy

Так как производная — не зависит от у и, следовательно, dx

может быть вынесена за знак интеграла, получим

Постоянную интегрирования с находят из следующих гранич­ ных условий: при у = а/2, ѵ = 0. Определив постоянную интегри­ рования для профиля скоростей в щели, находим следующую зависимость:

1 а2 dp

.ЦД 8 dx

Для несжимаемой жидкости последнее уравнение можно про­ интегрировать второй раз аналогично тому, как это было сдела­ но для расчета течения в круглом капилляре. Получим оконча­ тельное выражение для местной скорости

Найдем максимальную скорость течения несжимаемой жид­ кости в капилляре прямоугольного сечения. Скорость течения будет максимальной, если член, стоящий в квадратных скобках формулы (10), будет иметь максимальное значение, т. е. равен единице, что соответствует у = 0. Поэтому

ѵа"{Р\ — Рг)

Заметим, что, так как b а, ширина щели b не входит в фор­ мулы для подсчета скорости.

Вычислим объемный расход несжимаемой жидкости, проте­

кающей через щель:

а

Т

Q = 2 j bvdy.

о

Подставив значения скорости ѵ и выполнив интегрирование,

найдем

Q а*Ь(Рх—рг)

12Цд/

39