книги из ГПНТБ / Дмитриев, В. Н. Основы пневмоавтоматики

Динамика пневматических камер, содержащих ламинарные дроссели. При выводе дифференциального уравнения (40) про­ точной камеры не было сделано никаких предположений отно­ сительно зависимости расхода воздуха через дроссели камеры от их геометрических п термодинамических параметров. Поэтому уравнение (40) и выражения для его коэффициентов могут быть использованы также и для камеры, содержащей ламинарные дроссели. Так как в формулы для расхода воздуха ламинарных дросселей площади проходных сечений не входят, то вместо них могут быть взяты проводимости дросселей а. При изменении перепадов давлений в широком диапазоне следует принять, что массовые расходы воздуха через.дроссели проточ­ ной камеры равны

G{ = си (р'І— р\), Go= а', (pi— pi),

где для капилляра

256|Хд/ЯГ ’

для щелевого цилиндрического дросселя „ _ пОб3

~ 24,ЦдIRT '

Уравнение (40) действительно и для случая включения различных (смешанных) дросселей, например, турбулентного и ламинарного. При этом необходимо окончательный вывод выражений коэффициентов дифференциального уравнения де­ лать с учетом соответствующей формулы для разности расходов G.

В устройствах пневмоавтоматики проточные камеры с лами­ нарными дросселями чаще всего используют в качестве точных

100

апериодических звеньев в таких приборах, как интеграторы и дифференциаторы. Поэтому они содержат или постоянные, пли регулируемые дроссели, проводимости которых остаются постоянными в переходном процессе, а также имеют междрос­ сельные камеры с неизменным объемом V. Кроме того, благо­ даря выбору соответствующего диапазона изменения рабочих давлений и геометрических параметров обеспечиваются такие условия работы ламинарных дросселей, когда сжимаемостью воздуха можно пренебречь и считать, что расход линейно зави­ сит от перепада давлений. С учетом этого для вывода диффе­ ренциального уравнения проточной камеры с ламинарными

Рис. 51. К расчету глухой камеры:

дроссель линейно зависит от перепала давления. Поэтому здесь

101

где

V'

Т,

R T a t

Примем давление р0 за постоянный уровень отсчета, а дав­ ление, отсчитанное от этого уровня, отметим чертой— р {*.

Тогда

Разделяя переменные и интегрируя, получим

где С — постоянная пнгегрировання.

Для определения постоянной интегрирования обозначим

Таким образом, падение давления в камере происходит по экспоненциальному закону (рис. 51,6). Время, в течение кото­

рого давление в камере упадет от рь до р„:

Pb

Формулы (52) и (53) были выведены для случая опорожне­ ния камеры, когда р\ > р0. Если же р0 > р\, то будет происхо­ дить наполнение камеры. Дифференциальное уравнение при этом будет иметь вид

dt

Здесь давления рі и ро отсчитывают от начального значения давления р\, которое принимают за нулевой уровень отсчета.

Пусть входное давление в момент t — 0 претерпевает скач­

кообразное изменение от 0 до ро. Решение неоднородного диф­ ференциального уравнения (54), как известно, будет состоять из суммы двух решений: решения однородного уравнения, соответ­ ствующего уравнению (54), и частного решения. Так как правая

* Принимается, что в момент t = 0 давление изменяется скачком от рь до 0.

102

времени определяют по графику переходной функции как проек­

цию касательной на линию установившегося значения р\ = ро. Диаметр капилляра d, при котором реализуется заданное

значение постоянной времени глухой камеры (рис. 51,а) Тп для заданных объема V и длины I, определяют по формуле

d V/ 128IXлГ/

лр0Т„

полученной подстановкой в выражение для Тп значения

а

І28;хд//?Г'

Пневматический конденсатор. Схема пневматического кон­ денсатора представлена на рис. 52. Вместо сильфона может быть использован любой другой упругий элемент, характеризуе­ мый линейной зависимостью между объемом и перепадом дав­ лений, а также сообщающиеся сосуды типа жидкостного U-образного дифференциального манометра с одинаковым и неизменными диаметрами.

При отсутствии упора под действием перепада давлений

р1 — р2 перемещение сильфона

*= — (Рі—Рг) = — Ар,

с\ с,

где F — эффективная площадь сильфона; щ — жесткость сильфона.

103

Площадь поршневого действия сильфона примем равной эффективной площади Тогда масса воздуха, находящегося в сильфоне:

М = Ѵ0р + xFp,

где Vo — начальный объем; р — плотность.

Дифференцируя последнее равенство по времени при

мание зависимость, имеющую место в электротехнике:

■- С —

~~dt ’

приходим к заключению, что пневматический конденсатор является полным аналогом электрического конденсатора.

3. СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОММУНИКАЦИОННЫХ КАНАЛОВ СИСТЕМ ПНЕВМОАВТОМАТИКИ

В системах пневмоавтоматики различают два вида кана­ лов— короткие коммуникационные каналы, необходимые для соединения струйных или иных элементов в блоках пневмати­ ческих устройств, и длинные трубопроводы млн каналы связи отдельных блоков, агрегатов между собой.

При установившихся режимах работы пневмоканалов глав­ ное внимание при построении пневматических приборов уделяют определению потерь давления на сопротивлениях и расчету расходов разветвленной цепи. Потери давления обусловлены либо местными сопротивлениями на входе, выходе и изгибах канала, либо силами вязкого трения, распределенными по дли­ не канала. Обычно потери давления стремятся свести к мини­ муму. Для этого выбирают соответствующим образом конструк-

1 Произведение площади поршневого действия на перемещение донышка сильфона дает приращение объема.

2 Именно при таких условиях работают пневматические конденсаторы в некоторых пневматических вычислительных устройствах.

104

цшо канала, сочетание сечений последовательно включенных коммуникационных каналов и т. д. [25].

Рассмотрим местные потери и потери по длине в коммуника­ ционных пневматических каналах.

Потери, или падение давления в коммуникационном канале, складываются из двух составляющих: потерь по длине, возни­ кающих в результате действия сил вязкого трения, и местных потерь. Потери по длине и местные потери учитываются соот­ ветственно коэффициентом сопротивления трения стр и коэф­ фициентом местного сопротивления £. Эти коэффициенты зави­ сят соответственно при ламинарном и переходном режимах течения от числа Рейнольдса и геометрии канала или местного сопротивления, а при турбулентном течении — только от гео­ метрии. Кроме того, при турбулентном и переходном режимах упомянутые коэффициенты зависят также и от шероховатости стенок.

Потери по длине каналов определяют по известной формуле

= 4[/П.

Напомним, что гидравлический радиус Rr = сіг/4. Для лами­ нарного режима течения (Re ^ 2300) в канале круглого сече­ ния коэффициент трения X = 64/Re. При неразвитом турбулент­ ном режиме течения этот коэффициент определяют по формуле Блазиуса: Â = 0,316 Re-,< . В общем случае для труб круглого сечения для всех режимов течения X определяют по

графику Никурадзе [9]. Если форма сечения канала отлична от круглой, то X зависит не только от Re, но и от отношения Іі/Ь, т. е. X = f(h/b, Re), где /і и b — соответственно высота и ширина канала.

Вычислим число Рейнольдса для наиболее часто встречаю­ щихся каналов — прямоугольного и круглого сечений. Если известна средняя скорость течения потока ѵ, то нетрудно найти числа Re, соответствующие разным формам коммуникационных каналов. Считая, что число Re = vdr/v, можно найти:

для канала прямоугольного сечения

где и = Q/bh\ Q — объемный расход,

105

где

V= 4Q/nd2.

4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПНЕВМАТИЧЕСКИХ КОММУТАЦИОННЫХ КАНАЛОВ

Динамические характеристики пневматической системы оп­ ределяются динамическими характеристиками отдельных ее звеньев, а именно, пневматических элементов и коммуникацион­ ных каналов связи. На практике при построении пневматиче­ ских управляющих систем бывает так, что система, имеющая вполне удовлетворительные статические характеристики, оказы­ вается неработоспособной в динамическом режиме. Причина часто заключается в неучете динамических характеристик пнев­ матических каналов.

В струпных управляющих системах пневматические элемен­ ты соединяют между собой коммуникационными каналами, как правило, небольших сечений и длин, для которых отношение l/dr < 10. Такие каналы называют короткими. В системах мем­ бранной или струйно-мембранной пневмоавтоматики сравни­ тельно малого быстродействия для этих целей используют более длинные каналы. Наконец, передача пневмосигиалов от дат­ чиков к системе управления и от последней к приводам осу­ ществляется по каналам большой длины, которые иногда называют длинными линиями.

Процессы, происходящие в каналах, зависят от многих факторов и крайне сложны [25]. При передаче пневматических сигналов по каналам имеет место сочетание двух процессов — процесса разгона массы среды и волновых явлений. Учет этих факторов весьма сложен, поскольку еще не выяснены до конца причины, обусловливающие преобладание каждого из них. Поэтому на практике пользуются приближенными инженерны­ ми методами расчета характеристик коммуникационных кана­ лов, а также проводят большое число экспериментальных работ по оценке погрешности приближенных методов расчета и уста­ навливают поправочные коэффициенты.

При обработке экспериментальных данных было условно принято, что коммуникационный канал представляет собой последовательное соединение звена чистого запаздывания и апериодического звена, т. е. что выходное давление р і связано с давлением на входе в канал ро следующими уравнениями:

Тп— у - + Pt = kps, dt

p') =Po(t —Ф,

106

где -г — время чистого запаздывания; р 0 — промежуточное

давление (рис. 53).

•На основании опытных данных для величины т принято сле­ дующее выражение:

I т = Ц— -

а

где / — длина канала; а — скорость звука в воздухе; р — коэф­ фициент пропорциональности, равный 1,2, согласно опытным

данным для канала сечением 1,5 X 1,5 мм.

Опыты показали также, что для каналов указанного выше сечения при наличии на их концах дроссельных сопротивлений,

Рис. 53. Упрошенная структурная схема для расчета коммуникацион­ ного канала

определяемых размерами сечении входного и выходного кана­

коммуникационному каналу было принято, что

Г, = Тп+ т.

5. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ ДЛИННЫЕ ЛИНИИ

Как известно, процесс распространения волны пневматиче­ ского сигнала аналогичен процессу распространения волн в электрической линии и описывается системой уравнений в част­ ных производных [24, 25]. В общем виде уравнения распростра­ нения волны пневматического сигнала имеют вид:

давления в линии мало по сравнению с давлением при исходном

107

статическом режиме и, следовательно, газ можно считать не­ сжимаемым. Кроме того, было принято, что потери на трение определяются так же, как при ламинарном установившемся течении газа пли жидкости по трубопроводу.

Систему (59) можно привести к одному уравнению 2-го порядка в частных производных относительно объемного рас­ хода Q или давления р\

Методам интегрирования уравнения (59) и (60) при различ­ ных значениях R, L и С посвящено много работ в области элек­ тротехники, акустики, гидродинамики, теории упругости и т. д.

когда переход от изображения к оригиналу можно осуществить с использованием табличных изображений. Применительно к каналам пневматических приборов результаты решения уравне­ ний (59) и (60) методами операционного исчисления приведем для нескольких частных случаев.

Рассмотрим решение уравнений (59) длинной линии при скачкообразном изменении возмущения на входе, которое мало по сравнению с давлением в линии на исходном статическом режиме. К выходу линии присоединена ппевмокамера.

Вобщем виде уравнение, связывающее объемный расход Q

иизменение давления в пневмокамере, имеет вид

О —С

Q - L « dt ■

Для глухой камеры с постоянным объемом

С„.= V

Ро

а для глухой камеры с переменным объемом

'-'К — I >

ро с

где V — постоянный объем камеры; К0 и р0— объем камеры и давление на исходном статическом режиме; F •— площадь пор­ шневого действия; с — жесткость сильфона или пружины, ко­ торой нагружена мембрана, поршень или другой элемент, изменяющий объем.

108

Зная значения R, L и С, по формулам (62) можно рассчи­ тать а и ßj при j = 0, 1,2, ... и для постоянного х вычислить чле­ ны ряда для различных t и, наоборот, при постоянном t вычислить члены ряда для различных х в выражении (61) для давления р(х, t). В первом случае найдем изменение давления во времени в каком-то определенном сечении трубы, а во вто­ ром — изменение давления вдоль трубы в какой-то определен­ ный момент времени. Число членов ряда выбирают исходя из требуемой точности.

2. Рассмотрим случай, когда к трубопроводу присоединена пневмокамера, а отношение длины трубопровода к его диаметру невелико. При этом условии можно пренебречь влиянием вяз­ кого трения и принять R = 0. Давление на входе в трубопровод изменяется скачком при t = 0 на величину рх=о и затем остает­ ся постоянным. Решение уравнений (59), полученное с помощью методов операционного исчисления, имеет следующий вид [24]:

цам [24].

109