книги из ГПНТБ / Сапожников, В. М. Прочность и испытания трубопроводов гидросистем самолетов и вертолетов

Уравнение (3.6) того же вида, что и уравнение для системы

содной степенью свободы. Сравнивая эти два уравнения, можно придти к заключению, что амплитуда струны как функция про­ странства ведет себя таким же образом как амплитуда системы

содной степенью свободы, рассматриваемая как функция вре­

мени.

Общее решение уравнения (3.6) имеет вид

Это выражение определяет форму струны в момент ее макси­ мальной деформации.

Постоянные интегрирования определим из условия, что на концах (в местах закрепления) отклонения струны должны быть равны нулю, т. е. //= 0 при .ѵ= 0 и х =і

Подставляя х=0, получим

у (0)= 0= Сх■0-j-С„• І

Это равенство удовлетворяется при Сі = 0, что является верным, но лишенным интереса решением, так как это соответствует со­ стоянию покоя струны. Однако, уравнению (3.5) можно удовлет­ ворить также, если представить аргумент синуса числом крат­ ным л, полагая, что

Отсюда мы определяем собственные частоты. Соответствующие главные типы колебаний найдем подстановкой значений со2 из уравнений (3.9) в уравнение (3.7). По результатам подобных расчетов построены три основные формы поперечных колебаний однородной струны (см. рис. 3.1, б).

Необходимо отметить, что существует бесконечное число нор­ мальных кривых и соответственно бесконечное число собствен­ ных частот. В каждом из этих главных колебаний движение про­ исходит так, что отклонение каждой точки струны изменяется с течением времени по гармоническому закону и, следовательно, нормальная кривая остается подобной самой себе. Поэтому ес-

60 '

ли струну вывести из положения равновесия и придать ей одну из форм, изображенных на рис. 3.1, б, а затем предоставить ее самой себе,,то она возвратится в свое исходное положение по истечении времени, определяемого периодом собственного коле­ бания. При такой частоте и форме сила инерции и упругая сила находятся в равновесии в каждый момент времени и для каждо­ го элемента сіх.

Метод Рэлея [1]. Точное решение задачи о колебаниях упру­ гой системы, когда ее масса и жесткость распределены по ка­ кому-либо закону, получить невозможно.

Рэлеем был разработан приближенный метод для определе­ ния основной или наименьшей частоты колебаний. Сущность этого метода сводится к тому, что мы заранее задаемся формой упругой кривой при основном виде колебаний, после чего вычис­ ляем наибольшие значения потенциальной и кинетической энер­ гии системы, которые приравниваются друг к другу.

Для изложения метода Рэлея возьмем задачу для струны, поскольку нам уже известно ее точное решение и оно дает воз­ можность нам оценить точность этого метода.

Так как струна все время подвергается действию натяже­ ния Т, то для ее перевода в деформированное состояние необхо­ димо совершить работу равную ТАІ Эта работа поглощается струной в виде потенциальной энергии. Для определения прира­ щения AI длины струны воспользуемся известным из дифферен­ циальной геометрии выражением элемента длины

Как и в случае системы с одной степенью свободы, формулы (3.12) и (3.13) выражают максимум потенциальной и кинетиче­ ской энергии. Причем максимум потенциальной энергии имеет

61

место в наиболее деформированном состоянии системы, тогда как максимум кинетической энергии получается при ümax, т. е. в недеформированиом положенип.

Приравнивая обе энергии друг другу, находим частоту

dy \ 2

d x

с і х

Т____ о

(3. 14)

y 2dX

Величина іщ, определяемая по этой формуле, зависит от фор­ мы у(х), которую мы положили в основу расчета.

Рассмотрим сначала точную форму кривой

определит совокупность ординат, образующих на рис. 3.1, в штриховку.

Прогиб струны в какой-либо точке равен уо минус соответ­ ствующая ордината

62

Подставив значения у в уравнения потенциальной (3.16) и ки­ нетической (3- 17) энергии и проинтегрировав их, получим

О

(3.21)

откуда

В рассматриваемом случае частота получилась всего на 0,7% больше своего точного значения. Погрешность получилась за счет того, что изогнутая струна не может иметь точной формы параболы. -

В самом деле, пружинящее действие струмы, вследствие ко­ торого любая частица сіх стремится возвратиться в положение

„ ~ „ с Р у

равновесия, определяется кривизной струны или величиной .

Но в заделках участки струны находятся в состоянии покоя, а поэтому там нет ни силы упругости, ни силы инерции. Следова­ тельно, точная форма кривой должна быть такой, чтобы кривиз­ на в крайних точках отсутствовала. Это условие парабола не отражает.

■ При практических расчетах по методу Рэлея необходимо пом­ нить, что наименьшее значение частоты является и наилучшим ее приближением.

Из рассмотренного ранее вытекает, что если сосредоточен­ ная посредине масса отсутствует, то упругая линия деформиро­ ванной струны должна быть синусоидальной. Если же массой струны пренебречь и учитывать только сосредоточенную массу, то упругая линия деформированной струны будет иметь форму угла. В действительности кривая будет иметь какую-то проме­ жуточную форму между двумя указанными. Заметим, что в пред­ положении синусоидальной формы присутствие средней массы

не влияет на потенциальную энергию. Кинетическая энергия в

О

УЪ

этом случае увеличивается на величину Жсо2-^—, что составляет

удвоенное значение кинетической энергии самой струны, так как Л] = пі\1. Таким образом, полная кинетическая энергия системы оказывается в три раза больше ее значения для струны без сред­

Если мы предположим, что струна в деформированном со­ стоянии имеет форму угла, то для потенциальной энергии оста-

63

Так как найденное сейчас значение для частоты меньше най­ денного выше, то оно является лучшим приближением.

Решая задачу точно, получим

V Ж•

Перейдем теперь к определению частот колебаний трубы. Очевидно, что все те зависимости, которые мы получили ранее для струны, будут вполне применимы для труб, если силу натя­ жения 7’ заменить жесткостью балки.

Как известно [12], дифференциальное уравнение упругой ли­ нии балки обыкновенно записывается в виде

d x 2

где Мп —EJ - - . —изгибающий момент;

d x -

q — погонная нагрузка, приходящаяся на еди­ ницу длины трубы.

Так как поперечное сечение трубы постоянно по ее длине, то множитель EJ не зависит от координаты х и поэтому уравнение (3.26) будет иметь вид

Если трубу, закрепленную в опорах, вывести из состояния равновесия и привести ее в колебательное движение, то мы за­ метим, что силы, которые на нее будут действовать при колеба­ ниях, следующие: вес, приходящийся на единицу длины q—triig,

силы инерции, направленные противоположно ускорению д - у

64

Нетрудно видеть, что решение написанного уравнения . мож­ но искать в виде суммы двух функций

Последнее уравнение определяет кривую изгиба трубы под действием статической нагрузки. Так как нас интересуют коле­ бания, то мы будем исследовать уравнение (3.30), пренебрегая прогибом трубы под действием статической распределенной на­ грузки q.

Перепишем уравнение (3.30) в таком виде

Предположим, что прогиб трубы соответствует синусоидаль­ ному закону и равен

Подставив (3.32) в уравнение (3.31), получим дифференци­ альное уравнение колебаний трубы в таком виде

где

Решение уравнения (3.33) будем искать в следующем виде sin kx, cos kx; shkx; chkx, поскольку эта функция удовлетворяет решению уравнения (3.33), так как она обладает тем свойством, что после четырехкратного дифференцирования принимает пер­ воначальную форму. Исходя из выбранного нами условия, общее решение уравнения (3.33) запишем в следующем виде

Это выражение определяет форму различных нормальных кривых. Четыре постоянных интегрирования должны быть опре-

•делены из граничных условий. Для каждого конца балки мы рас­ полагаем двумя условиями, а поэтому для двух концов получа­ ем всего четыре требуемых условия.

Такими условиями являются: для заделанного (закрепленно­ го) конца (шарнирная заделка) при х =0; I; у —0; у" =0 (нулю равны прогиб II изгибающий момент), при х~1. (свободный ко­

у—0 и у" = 0 (прогиб и угол наклона равны нулю).

Пользуясь для какого-либо частного случая закрепления кон­ цов балки соответствующими граничными условиями, из урав­ нения (3.34) приходим к четырем однородным алгебраическим уравнениям относительно четырех постоянных интегрирования (А, В, С, D). Если определитель этой системы приравнять нулю, то получим уравнение относительно к, являющееся на основании формулы (3.33) уравнением частот. Эти вычисления выполняют­ ся для различных случаев закрепления трубы.

Напишем граничные условия для трубы с шарнирным креп­

Указанным условиям удовлетворяет функция, изменяющаяся по закону синуса; что же касается остальных функций, то они здесь оказываются непригодными. Таким образом, для шарнир­ но закрепленной трубы уравнение (3.34) упрощается, принимая вид

и следовательно, упругие линии для прогибов однородной балки на двух опорах получаются такими, как и в случае струны с той лишь разницей, что здесь частоты другие. Эти частоты могут быть найдены, если приравнять аргумент синуса числу, кратно­ му числу л, а именно

kl —11л.

Последовательные значения корней уравнения (3.35) будут kil=n\ k2l=2л; /г3/=Зя и т. д.

Следовательно

66

Итак частота колебании трубы на двух опорах при шарнир­

(3.38)

или

Поскольку в расчетных таблицах, формулах и диаграммах, применяемых в технике для определения частот собственных ко­ лебаний упругих систем вводится величина Ы, то мы при даль­ нейших рассуждениях и исследованиях будем оперировать этой величиной.

Следующий случай, который нас должен интересовать, это условие, при котором защемлены оба конца балки. Для этого случая граничные условия запишем таким образом

Нормальная упругая кривая для трубы с защемленными кон­ цами должна иметь форму симметричную относительно середи­ ны, с горизонтальными касательными на концах.

Простейшей кривой, приблизительно удовлетворяющей этим условиям, является полная волна косинусоиды, смещенная вверх на уо

(3. 39)

Последовательно находим

(3.40)

(3.41)

(3.42)

Точное решение задачи получается, если взять множитель 22,4, который на 1,3% меньше того, что в формуле (3.42).

Решение относительно kl легко получить следующим обра­ зом.

Если определитель системы (3.34) приравнять нулю и под­ ставить граничные условия для защемления по концам трубы, то получим уравнение относительно к вида

нальные изгибающим моментам сечений трубопроводов в за­

68

где С — жесткость опор относительно угловых перемещений се­ чений трубы.

Этны граничным условиям, будет соответствовать уравнение

СЮ (kl)- 2cklB {kl) + {klf 5 {kl) = 0. (3.46) Уравнение (3.46) получено из (3.34) после подстановки гра­ ничных условий и некоторых преобразований. Здесь 6'= ——

относительная жесткость;

Рис. 3 3. Кривая зависимости частотного коэффициента (kl) от относитель­ ной жесткости трубы h :

D(kl); B(kl); S(kl) — функции частот, значения которых при­ водятся в справочниках по расчету кон­ струкций на устойчивость и колебания.

Полученное квадратное уравнение относительно С имеет два корня. Мы используем только положительное значение кор­ ней, так как жесткость С не может быть величиной отрицатель­ ной. Пользуясь табличными значениями функций частот мож­

69