книги из ГПНТБ / Сапожников, В. М. Прочность и испытания трубопроводов гидросистем самолетов и вертолетов

и для окружных напряжений растяжения at

Поскольку .в рассматриваемом случае Р$=0, то для вычисле­ ния напряжений на внутренней стенке трубы приведенные выра­ жения примут вид

Эпюры напряжений ати at по толщине стенки трубы пред­ ставлены на рис. 4.6, в.

В случае, когда один или оба конца трубы заглушены (см. рис. 4.6, г), в стенках трубки кроме перечисленных выше напря­ жений возбуждаются осевые растягивающие напряжения, кото­ рые в первом случае будут равны

Р

во втором случае

2 р

nd\

где Р — Р х

1 4

4

трубы.

В. Напряженно-деформированное состояние изогнутой трубы под действием внутреннего давления жидкости

Рассмотрим трубку, изогнутую по дуге окружности радиуса Rr и центрального угла Ѳ (рис. 4.7).

130

Пусть трубка имеет овальное сечение с полуосями а и Ь. Бу­ дем считать, что осью, лежащей в плоскости симметрии трубки является меньшая ось 2в, что справедливо для трубы сплющен­ ной в процессе гиба.

Под действием внутреннего избыточного давления трубка меняет кривизну нейтральной оси, а следовательно, и централь­ ный угол. Нашей основной задачей является определение величи­ ны изменения этого угла в зависимости от избыточного давле­ ния.

Прежде чем перейти к определению перемещений, остановим­

своей кривизны при любом давлении в пределах упругих дефор­ маций и почему трубка, у которой большая ось лежит в плоско­ сти гиба увеличивает свою кривизну, тогда как согласно прове­ денным рассуждениям ее кривизна должна была бы умень­ шаться. Очевидно, что такое объяснение работы трубки с дефор­ мированным поперечным сечением является неправильным.

Рассмотрим действие сил давления жидкости на часть труб­ ки Бурдона, отсеченную произвольным нормальным сечением (см. рис. 4.8, б), и определим суммарную равнодействующую сил давления в производственном сечении.

Обратимся для этого к известной теореме.

Если на какую-либо поверхность действует постоянное для всех ее точек давление, то сумма проекций на заданную ось всех сил давления равна произведению этого давления на пло­ щадь проекции данной поверхности на плоскость перпендикуляр­ ную оси.

Составляющая равнодействующая сил давления, лежащая в плоскости сечения, равна нулю, так как замкнутая поверхность проектируется на горизонтальную (см. рнс. 4.8, а) дважды, при­ чем силы давления на каждую из проекций направлены в про­ тивоположные стороны. Заштрихованные на фигуре участки представляют собой дважды наложенные проекции.

Если спроектировать замкнутую поверхность на вертикаль­ ную плоскость, то умножая площадь проекции на давление р, получим нормальную силу, действующую в сечении трубки в виде произведения давления на площадь «в свету» P=pF.

Следовательно, если равнодействующая всех сил давления, действующих на часть трубки, дает в нормальном сечении толь­ ко нормальную силу Р, проходящую через центр тяжести сече­ ния, то мы можем утверждать, что и внутренний изгибающий момент и перерезывающее усилие в любом нормальном сечении

трубки равны нулю. Это положение применимо, очевидно, к замк­ нутой поверхности любой формы.

Итак, искривление трубки не может быть объяснено возник­ новением изгибающего момента и обусловлено какими-то дру­ гими причинами.

Вырежем из изогнутой трубки с овальным поперечным сече­ нием элемент с центральным углом Ѳ(см. рис. 4.8, б).

Какую бы некруглую форму сечение трубки не имело, пол действием внутреннего давления контур этого сечения будет стремиться принять форму окружности. При этом малая ось се­ чения несколько увеличится, а большая уменьшится, и веськоптур примет примерно такую форму, какая показана пунктиром на рис. 4.8, б.

При этом каждое продольное волокно трубки получит неко­ торое перемещение по конкретному параллельному направле­ нию малой оси сечения. Обозначим эту составляющую переме­ щения через А/.

Проследим за каким-либо волокном и посмотрим, как будет изменяться его длина в зависимости от перемещения А/. Возь­ мем, например волокно тп. Когда это волокно переместится па

132

величину Al и перейдет на дугу большего радиуса, то в ием по­ явятся растягивающие напряжения, которые будут стремиться уменьшить кривизну трубки. В волокнах расположенных ближе к центральной оси, величина AI будет значительно меньшей и в этих волокнах вследствие взаимного поворота сечений возник­ нут напряжения сжатия. При этом искривление трубки будет иметь такую величину, при которой сумма моментов от растя­ гивающих и сжимающих напряжений равна нулю.

Таким образом необходимым и достаточным условием рабо­ ты трубки является искривление ее сечения под действием избы­ точного давления. Если сечение деформироваться не будет, то трубка не изменит своей кривизны. Таким является сечение, име­ ющее форму окружности. В этом случае контур трубки только растягивается и величина AI будет весьма малой. Поэтому и пе­ ремещения в трубке круглого сечения ничтожно малы и при обычной постановке эксперимента не обнаруживаются.

Если большая ось сечения расположена в плоскости симмет­ рии трубки, то величина AI при том же давлении будет иметь другой знак, и кривизна трубки будет не уменьшаться, а увели­ чиваться.

Рассмотрим деформации и перемещения продольных волокон изогнутой тонкостенной трубки эллиптического сечения с осями 2а и 2Ь. При этом будем считать, что малая полуось трубки зна­ чительно меньше радиуса кривизны RT, а б значительно меньше

W-

наименьшего радиуса кривизны эллипса — .

а

ъ<£Ят\ К< — ■

а

При этих условиях можно считать, что все точки сечения на­ ходятся на одном и том же расстоянии от центра кривизны и что само сечение может рассматриваться не как широкое эллипти­ ческое кольцо, а как тонкий эллиптический контур.

Чтобы упростить решение задачи примем следующие гипо­ тезы.

1. Будем считать, что все элементарные участки трубки, вы­ деленные нормальными сечениями находятся в совершенно оди­ наковых условиях.

Как следствие принятой гипотезы равноправности сечений вытекает, что нормальные сечения трубки, бывшие плоскими до деформации, остаются такими же и после деформации.

2. Примем гипотезу неизменности нормали. Будем считать, что нормаль, проведенная к срединной поверхности трубки до деформации, после деформации остается по-прежнему нормаль­ ной к деформированной срединной поверхности. Из первой гипо­ тезы следует дополнительно, что эта нормаль остается в нор­ мальном сечении.

J33

Гипотеза неизменности нормали является общепринятой при расчете пластин и тонкостенных оболочек.

3. Примем, что нормальные напряжения в направлении, пер­ пендикулярном к срединной поверхности, ничтожно малы по сравнению с другими главными напряжениями. Это дает нам возможность рассматривать напряженное состояние трубки двухосным.

При расчете пластинок и тонкостенных оболочек эта гипоте­ за является общепринятой. Иногда ее именуют гипотезой ненадавливания слоев оболочек. Аналогичное допущение применяет­ ся и при обычном расчете прямого бруса, когда пренебрегают нормальным напряжением в площадках, параллельных нейтраль­ ной оси.

4. Примем, что удлинение волокон трубки, возникающее в связи с наличием в сечении трубки нормальной силы Р прене­ брежимо мало (по сравнению с удлинениями, обусловленными изменением кривизны трубки). Это положение можно было бы считать само собой разумеющимся, если бы не влияние заделки, которое сказывается на крайние сечения трубки у заделки.

5. Примем, что поперечный контур сечения трубки не растя­ гивается, а лишь искривляется.

Из условий равновесия и деформаций, составленных для элементного участка трубы путем несложных вычислений по методу Ритца, найдем выражение для определения изменения центрального утла трубки Ѳпод действием внутреннего давления жидкости.

При пользовании формулой (4.16) величины а и ß следует брать для каждого соотношения осей а/Ь из таблицы № 4.3 или определять по кривым (рис. 4. 9).

134

Продолжение табл. 4. 3

а

Из уравнения (4.16) следует, что трубка с круглым попереч­ ным сечением под действием избыточного давления жидкости

отношения большей оси эллипса к меньшей

Если— <1, то трубка будет разгибаться и увеличивать pa­ ir

диус кривизны.

В случае, если— >1 величина относительная, изменение уг-

а

ла Ѳбудет отрицательным и трубка будет сгибаться, уменьшаярадиус кривизны. Последнее будет происходить в том случае, когда большая ось эллипса будет находиться в плоскости гиба трубы.

Полное перемещение AI конца трубки будет определяться следующей формулой

где

д/==]/'д^_|_д/2 .

135

Ali — осевое перемещение;

Air — перемещение по радиусу.

Возвращаясь к выражениям (4.16) и (4.17) легко заметить, что между ходом трубки AI и величиной избыточного давления Р существует линейная зависимость.

Рассмотрим как на ход трубки влияют ее геометрические раз­ меры или, иными словами, исследуем чувствительность трубки к нагружению давлением жидкости.

Подставив выражение (4.16) в (4.17) для определения чувст­ вительности трубки будем иметь следующее выражение:

и подставляя значение Г получим

Рассмотрим теперь, как изменяется чувствительность трубки от отношения осей сечения 2а/2Ь. При этом, однако, следует прежде всего условиться, какую из величин 2а или 2 b считать постоянной.

Преобразуем выражение (4.19) к следующему виду

В левой стороне выражения стоит величина пропорциональ­ ная чувствительности АЦР, а в правую часть входят члены, за­ висящие от 2 а и 2 Ь.

Если большую ось сечения 2а оставить постоянной и изме­ нять отношение осей сечения за счет изменения 26, то величина

пропорциональную чувствительности, для нескольких значений X (рис. 4.10).

136

Если оставить неизменной величины 2b и выражение перепи­ сать в виде

то легко построить зависимость величины, пропорциональной М

2аА

4.10, б).

Рис. 4.10. Зависимость чувствительности трубопровода к нагру­ жению давлением жидкости от отношения осей а ( а ) и Ь ( б ) овального сечения для различных значений }

Путем простых рассуждений без дополнительного построения кривых можно исследовать изменение чувствительности трубки

в зависимости от Rr. Из выражения (4.19), а также по дан­

ным эксперимента вытекает, что при таком параметре, при ко­ тором величиной ß можно пренебречь по сравнению f2, формула

ки в зависимости от величины центрального угла Ѳ. Для иссле­ дования этой зависимости достаточно проследить изменение ве­ личины Г (4.18) от Ѳ. Остальные величины в выражении (4.19) от 0 не зависят.

137

Ход трубки с увеличением угла 0 постоянно увеличивается, но увеличивается неравномерно. Изменение центрального угла О от 180° до 270° дает, например, увеличение хода в четыре раза больше, нежели то, которое достигается увеличением централь­ ного угла трубки от 270° до 360°.

Пределы применимости полученных формул зависят от вы­ полнения тех условий, которыми мы задались приступая к рас­ чету изогнутых трубок. Расчеты дают удовлетворительные ре­ зультаты по сравнению с экспериментальными данными [34]для трубок с большими радиусами гиба (малой кривизной) и малой (по сравнению с 2а и 26) толщиной стенки.

В нашем случае, при расчете трубок гидравлических и топ­ ливных систем, эти оба условия полностью выполняются. Одна­ ко, следует отметить, что при малой толщине стенки б, формула (4.16) дает заниженные показания значения чувствительности, что обусловлено погрешностью метода Ритца, который дает для перемещений упругой системы значения менее истинных. Даль­ нейшее увеличение толщины стенки дает уменьшение ошибок и,

примерно при—-=0,3 погрешность формулы меняет свой знак.

В дальнейшем расчетные данные оказываются завышенными по сравнению с экспериментальными.

Тяговый момент

Рассмотрим случай одновременного действия на изогнутую трубку внутреннего давления и изгибающего момента.

В соответствии с принципом независимости действия сил мож­ но написать:

где 6 Э— коэффициент аналогичный коэффициенту Кармана; / а— момент инерции поперечного сечения трубы относитель­

но большей оси.

Знак плюс соответствует случаю, когда момент уменьшает кривизну трубки, а знак минус — когда увеличивает.

Дадим определение момента, который способна развить труб­ ка. Моментом развиваемым на конце трубки Мт, или тяговым моментом трубки будем называть момент, который необходимо приложить к трубке, чтобы изменение кривизны ее равнялось тому, которое получается при заданном давлении.

Этот момент определяется, следовательно, как момент экви­ валентный силам давления. Если этот момент приложить в сто­ рону увеличения кривизны и одновременно сообщить трубке давление, то кривизна трубки, очевидно, не изменится.

138

Таким образом тяговый момент пропорционален действующе­ му давлению и зависит от всех геометрических размеров труб­ ки, кроме ее центрального угла 0 .

Чтобы определить напряжения, возникающие в заделках изо­ гнутой трубки от тягового момента, необходимо тяговый момент разделить на момент сопротивления поперечного сечения трубы в местах заделки

Совершенно естественно, что как тяговый момент так и из­ гибине напряжения, вызываемые им, пропорциональны дейст­ вующему давлению и зависят от всех геометрических размеров трубы, исключая центральный угол 0 .

139