книги из ГПНТБ / Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек

.

ГОС. ПУБЛИЧНАЯ

‘ 1

Б И Б Л И О Т ЕК А С С С Р

2S969

| Н А У Ч Н О -Т Е Х Н И Ч Е С К А Я

ством

изучения

овойотв деформируемых тел.

Большая

чаоть результатов публикуетоя впервые.

Книга "предназначена для научных

работни­

ков в

области

механики твердых деформируемых

тел,

для инженеров,

проектирующих и рассчитывающих

кон­

струкции

из гибких элементов, применяемых во многих

отраслях

техники.

Она окажетоя полезной для

аспи­

рантов и

студентов

старших курсов.

ных условиях, когда

внешнее

воздействие на них характеризует­

ся форсированными

параметрами.

Само понятие гибкости уже свидетельствует о том,

что при

проектировании таких объектов

большой запас прочности

давать

полное математическое обеспечение

которых отсутствует (особен­

но это касается вопросов единственности

решения).

Точное

ана­

литическое решение подобных задач

можно

получить

только в

от­

дельных, весьма частных случаях.

Поэтому их решение можно

осу­

вания этих алгоритмов, т .е , вопросы сходимости

и оценки

ошибок

вычислений.

Речь идет

не

просто о математической сходимости,

а

о машинной

сходимости

с

учетом реальной работы

ЭВМ

(ошибок

округления,

их наложение

и накопление, что обусловлено как

а л -

гаритмом,

так и характером самой

задачи,

особенностями

прог­

раммы и

конкретного типа ЭВМ).

Поэтому

задачи теории

гибких

нелинейных объектов являются как

бы совсеменными моделями, на

ного решения нелинейных уравнений на

ЭВМ.

Состояние современной теории гибких нелинейных

объектов

следующее. За последнее время удалось

решить

на ЭВМ задачу об

осесимметричной деформации оболочек и

пластин

и плоские дефор­

задач

статики

и динамики

нелинейных оболочек, а также

ис­

следования пространственных

деформаций криволинейных

стержней

еще далеко не отработаны и отдельные такие задачи решаются

с

трудом (решения в низких приближениях, когда объект

аппрокси­

мируется системой с небольшим числом степеней свободы

не

учи­

тываем , так как

они, как правило, не

дают надежных

результа­

т о в ).

Не лучше

обстоят дела

при учете

пластичности,

и еще ху­

же -

в случёях

с разгрузкой.

Умение решать первые из

перечисленных задач позволило

при­

наделенной основными существенно нелинейными свойствами,

при­

сущими всем нелинейным гибким объектам. Этот важнейший

раздел

современной теории нелинейных оболочек имеет своей целью

соз­

дать картину поведения

этих оболочек под нагрузкой, выработать

интуицию, без которой

невозможно создание

ни одной

прогрес­

сивной конструкции из

нелинейных объектов.

Дело в том, что поведение нелинейных

оболочек

коренным

образом отличается от

деформации привычных

жестких,

линейных

тами, обусловленными нелинейностью, главным из которых

явля­

ется

возможность существования множества различных форм равно­

весия

при одной и той же нагрузке (неединственность

решения

соответствующей краевой задачи ). Однако для воссоздания

кар­

тины деформации нелинейных объектов

есть и другой путь

-

это

качественное исследование. Последнее

позволяет выявить

не

от­

ной деформации куполообразной(не имеющей отверстия

у вершины Г е о ­

метрически нелинейной пологой оболочки

постоянной

жесткости,

нагруженной по поверхности только

поперечной погрузкой, могут

быть представлены в следующем виде

[

I -

з ]

L(u>)

— j p

[ д г + 2вв0]

;

( I . I )

L(6) = -mQ

; ( o & f

&1),

(Г -2)

p

Q ( p ) = J 5 - + j r

О

- f ( e + 9 0) ;

d . 3 )

L (

\_

flft ) ,

1

d( )

(1 .4 )

'

dp*

f dp

вие деформации

в (р )

= @л£1

и

безразмерная функция

напря-

кений <А>(р) =

^ ^

h

h

Через

обозначена толщина тела

обо-

лочки, £ , fi

- модуль

упругости

и коэффициент Пуассона,

Аргу­

мент Р=-$- ,

где г -

расстояние

какой-либо точки

меридиана

оболочки от ее оси вращения,

а

- радиус плана оболочки.в0(р)~

угол между нормалью

к недеформировшшой поверхности

и

осью

етоя в

виде у ( р ) = ^ -Л (р) , где ц =

-безразм ерны й '

па­

раметр

интенсивности

этой нагрузки, а

Я ( р )

- функция, опре­

деляющая характер ее

распределения вдоль меридиана. Р=

безразмерный

параметр

сосредоточенной

силы,

приложенный в

вер­

Р

» Я *

шине оболочки

•1

параметр

кольцевой

сосредото­

где

с =

;

т =

12(1 -<ц2) ; y , p , P t

считаются

положительны­

ми,

если они направлен^ внйзТ

Здесь

и всюду звездочками

обозначены соответствующие раз­

мерные величины.

в (/>)

и ы (р )

Через

разрешающие функции

выражаются все

величины,

характеризующие деформацию рассматриваемой

оболочки.

Это

мембранные напряжения:

6J o ) =

h J '

Ehk

(1.5)

= w 'O ) -

Nr/fty3) ~

~ меридианальные и широтные усилия

и

Л/у ,

Изгибные напряжения:

*

_

(Р ) а г _

Z

’

(4.6)

^ iy ru (p )

h*~

=

* J p h P p = ^ p • d - 7 -'

Приращения кривизн вследствие деформаций соответственно

мери­

дианам и широтным кругам,

z -

координата

по толщине оболочки,

отсчитываемая

от

срединной поверхности. Относительные

удли­

нения

и

£fu

вдоль меридиана и широтного круга

на

по­

верхности, отстоящей на расстояние

z

от

срединной

поверх­

ности „ представляются в виде

.?

£г/у(р)+^

(р) у

( 1 * 8)

где

£г

и Еу

- удлинения

на

поверхности

z= 0 .

По

закону

Гука для плоского

напряженного состояния

имеем:

(р)1

Ь у (р )= ^ (*г -р*>') = -!р [си1(/}) ~ Р ^ ^ ]

■

(1 ,9 )

Изгибающие моменты:

М д (/>) =

М? ! { )0

т =

а

(р)

■

( I ’ I0 )

Поперечная сила1:

Q (р) =

= -^ Р [е (р )+ в 0(f)]

J p л (р) dp +

О

+

а -1Г>

Горизонтальные

(перпендикулярные к

оси

вращения

оболочки)

и

вертикальные перемещения и

и

w

точек

срединной

поверх­

ности:

=

;

( Ь Ы '

*

Р

™ (p)^'tLjp~ =—J e(p)dp+ w(o) ■

с ,

is )

Вели

w ( I ) = 0

,

то

а

W {o)=\e(p)tip

И

w(f>) = J Q(p) dp .

( I . 14)

Прогиб в

центре

w

о

будем

P

t,

(0 )

обозначать через

Перемещение

и

считается

положительным,

если

оно на­

правлено

вправо, a

w

>

О

,

если

оно направлено

вниз.

Функ­

ция

w0 (j>) = J Q(t(p)dj3

-

уравнение

недеформированного мершцв-

ана,

a

■Р.

1

- стрела начального

w jo)^

—J д0 (р) d p

подьмё

оболочки.

w <

о

в точках,

где оболочка находится над

своим

планом.

деформированного меридиана тогда

запишетсяг

Уравнение

г

У (р) =

)+v%fo(pJ = J [ e ( f )+%(/>)]d f .

CI.I5)

Г

В случае

пластины

v/e (p)

s

% (р ) — 0 . Полная

энергия

Э оп­

ределяется равенством

'

Э

о

аде.)

Лт*

где UP

и

Uu

- энергии деформаций срединной

поверхности и

изгиба ;

V -

потенциал внешней нагрузки»

1

UC= $ 'J [б* +6у -2р.

;

(1.Г7)

о

1

ии= ~m~J[*£ +*1+2(1 хг хг]/>Ур

;

(1 Д 8 )

/

V - 2 r [ f y w p d fijL Mn0 ) 6 ( t ) +

О

+ j~- NrOluflj + PwM+tycwtc)] .

(1.19)