книги из ГПНТБ / Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек

горизонтальной ооыв

^ ;

г - расстояние элемента до

оси

враще­

ния

оболочки

z

. Производные

берутся

по

параметру

4 ,

меняю­

щемуся вдоль

меридиана;

ос -

параметр Лямэ,

определяемый

из

соотношения ds=ocd£ f где

d s

-

длина дуги элемента

меридиа­

на.

Вое

эти

величины

относятся

к

деформированному

соотояниго

оболочки

и изображены на рио.

8 .

Соответствующие

величины для

яедеформированного

(начального)

соотояния снабжены индекоом "О".,

:

Приведем ряд других соотношений,

необходимых в

дальнейшем:

:

N^=H cos Ф + Vsin Ф ;

Q =

-H sin Ф + V cos Ф7 ( 1 .3 )

п'—сСcos ^Ф

т' —о( sin Ф ;

ос

о

2- 2 .

(1 .4 )

=

п' + zr .

Z

- вертикальная координата

точки пооле

деформации.

d s0=o(0d $

;

ос =ro<0 (1 + Ef) ;

г = г0 + и

;

(1 .5 )

cos Ф0

)

ф '

Ф'о

(1.6)

cos Ф

(н

,

1

^

;

sin Ф

л

^

sin Ф0

(1.7)

г

>

W = J (ы Sin Ф -ос0 sin Фв )

,

(1 .8 )

где

,

ед -

относительные

удлинения в меридиальном и широт­

ном направления;

и f W -

горизонтальное

и вертикальное

пере­

мещение;

к£

,

кд -

приращение кривизны вследствие

деформации

меридиана и параллели. Вое эти

величины -

функции аргумента

4 •

Начальная форма

оболочки

может быть

определена

функцией

zo = f ( r 0) .

Выбор параметра

^

фактически

произволен

и

меры такого рода будут приведены ниже. Из геометрических

соот­

ношений

(1 .6 )

следует

уравнение

неразрывности

(r0 eg)'cos Фд -г'0

cos Ф= г ‘о (cos Ф-cos Ф0) .

(1.9)

В [42]

с целью введения функции напряжений и

сведения

рас­

сматриваемой

задачи к

двум

разрешающим

уравнениям

(содержа­

щим только угол

Ф

и указанную функцию

напряжений)

прини­

мается следующее существенное упрощение. В уравнениях.

( T .I )

и

(1 .2 )

с*

и

л

всюду

заменяются

на

<х0

и

с0

,что

равно­

сильно

пренебрежениям

€S,

и

£О

по

сравнению

с

единицей

щениях рассматриваемой

задачи, когда материал оледует

закону

Гука

[ 3 9 ,

4 0 ] .

Разрешающими функциями являются

перемещение

и (£ )

и угол Ф (£ ) . Эти

разрешающие уравнения ( 1 .1 0 )

и ( I .I I)

получаются из Ц .1 ) и ( 1 .2 ) ,

если в

последних

заменить

все вхо-“

дящие

туда

величины через

и

и

Ф

пооле исключения

Q

Уравнение

совместности

( 1 .9 )

при

этом

удовлетворится

автома­

тически, так как задача

решается в

перемещениях.

Го+и

„

+(г0 + и ) [ ±

(2ФЧдФ * ( ) Н 2 д - 1 ) СОвФ

о(п

u" + u 'f(1 -p ) £

Г0

J'{Pv StnCt>-hPHCO$<P)] +2(1-tL)cos<P0J

-*ygu

\jn cos ф *

*(ф tg Ф +

J + ( p

~1)S&-C0scp

+ (2 ф 'Ц Ф + -^ у со зФ - ш Ф )-

-Ф'0ШФ0 ^ф'эипф

(PvsCn0 +Рн сояФ) J +

.

*

+u')

.

1 Ф f <ro +U)(r

+ T J

—

Ш Ф ----------- W

+ r o

( f - Р ) ( Ш

Ф С - C O S 0 )

+

0

1Kt~o+u)о г и /

ff

f С O S 0&

( f

.

и

т ^ р - с о зф - ф + < p —

- { j , ( r + U) + J ) ( r ' + u ‘)

0

u r О

(г0 +и) ■*■]>(гЙ

- А

sincp

А

SinW0 \

~Г0 +и

~ ) '

-г*

+D(rQ+u)

(

rtcc'-v£<xn

(u+r'0 ) sln<P-

-A

~ l r o * - U ) *

Ф а C O S 0 o

simp

- A

ry+u

&1пФа _

a £

\ _

(r0 -hu)(t^ u')

ro

<*0

j

c o s е Ф

A -Top,-COSCp j

r0+u

J

Фр+иН^+и')

Py d 4

= 0*

( I . I I )

с о з Ф

По

той же методике были

"получены

такие

же уравнения

с

добавочны­

ми членами,

учитывающие влияние

температурного

поля и

сосре­

доточенных

нагрузок

[4 7 J .

Для

получения

( 1 .1 0 )

и (I . I I )

иопользовалиоь

следующие

известные

соотношения упругооти:

-< *"9

;

(1Д2)

М ^ 2 (к ^ + р к в ) ;

Мв ~ Р (к 0

(1 .3 3 )

а

также

выражение

( I . I 4 ) , вытекающее

из

( I . I )

t a

) v

„

.

(1 Л 4 )

0

Jо

••

с о з Ф

Пользуясь соотношениями ( 1 .6 ) ,

(1 .7 )

и

( I . I 2 ) ,

легко

найти за­

висимость

и

А/д от и

и

Ф

,

после чего,

имея

выраже­

ние ( I .1 4 ) ,

для

V

находим по формулам

(1 .3 )

зависимость//

и

Q

от

и и

Ф .

Аналогично

находятся

зависимости моментов

от разрешающих функций.

С

Запишем граничные на каком-то

крае

„

и\с = 0.

( 1 . 15)

Н\с = 0 .

( I . I 6 )

Тип опоры определяется следующими условиями. Шарнирное

опирае­

т е

мц\с = М .

(1 .Г 7 )

где

М - внешний контурный момент.

Жесткое защемление

P l c ’ V 'lc -

И Д 8 )

могут

встрети ться.

Как уже отмечалось выше, приведенные уравнения

описывают

осесимметричные

деформации произвольных

по начальной

форме

оболочек

вращения, которые

определяются

соответствующими

па­

раметрами,

отмеченными индексом "О ". Покажем на конкретных при­

мерах,

как

подбираются

эти параметры формы и переменная

£

•

5.)

Сферическая оболочка. Тогда,

если

£

=

Фа ,

то °£р =

R

2 ) 'Круговая 'цилиндрическая оболочка радиуса

осью

вдоль

Z

.. В

этом случае

6, = za;

/;

г0 = а0 ;

3 )

Круглая

пластина.

£ ~г0 ; <*0 = 1

%=0-

Интересен класс оболочек уравнения меридианов, которые мо­

гут

быть

представлены в дзвиде

Z0 ~ a

( m +1) J

sinm f<P0 (i <P0;ro -ja sln m 4<P0 ,

( 1 . 18)

о

где

d

- положительное

число;

m -

целое

число.

Для них можно брать £=Ф 0 ', d a ~a(m +t) 5inm Ф0 .

Придавая

Ш

разные значения, можно

получить

самые разнообраз­

ные по очертаниям оболочки. При

т > 0

оболочки обладают

по­

ложительной

гауссовой

кривизной

(при

т =0 сферическая

обо­

л оч ка ),

а

при

Ш <0

гауссова

ктжвизна

отпитгательна.

В

ли­

нейной

постановке также

оболочки

изучались

в

[ 4 8 ] .

Первые результаты решения на LtBIA

задач

о

деформации

сфе­

рического

купола по уравнениям (1 .1 0 )

и

( I . I I )

приведены

в

[ 4 8 j . При этом,

включая все

множество решений

в закритичеоной

области,получены

полные характеристики о помощью разновиднос­

ти метода

пристрелки,

широко

применяемого при решении пологих

оболочек [

3 ] . Сейчас

имеется ряд результатов

численного реше­

ния таких

задач

при весьма форсированных значениях

параметров

оболочки,

полученных указанным методом пристрелки.

Это

опро­

вергает

совершенно произвольное и ни

чем не обоснованное утверж­

дение из

[4 9 ] , что метод пристрелки

не подходит, для решения

указааапс

задач.Попутно отметим,что метод,применяемый в [4 9 ] для

стижения

критического

значения принимается признак

расходи­

мости

[ 4 9 ] .

Однако такой подход весьма шаткий,

так

как

метод

может расходиться и до достижения нагрузкой критического

зна­

чения,

на

что

обращено внимание в

[ 2 5 ] , тем более,

что

по

собственному

признанию авторов [4 9 ]

,

сходимость

применяемого

ими алгоритма не доказана. Численные

результаты

из

[49]

с дру­

гими результатами не сравниваются, так что отсутствуют

даже

косвенные

подтверждения

достоверности

полученных в

[4 9 ]

ре­

зультатов.

В

Г49] попользованы такого же типа уравнения,

как в [3 9 ]

и [ 4 0 ]

,

без

ссылок

на

последние.

В

работе

[5 0 ]

приведен ряд интересных численных

решений,

полученных на базе такого же

подхода

к

уравнениям

для

•непо­

логих оболочек,

как и в

[3 9 ]

и

[40] .

Эти решения получены хо­

рошо известным

численным

алгоритмом автора

указанных

работ.

Уравнения динамики для этих, оболочек

без

учета

инерпии

вращения,

получаются из

(1 ,1 0 )

и

( Г . I I ) ,

если в

них вместо

p v

я

р

ставить

члены

d2w

д2и

pv~m

g t 2

и Ри

т

d t 2

и к ним добавить еще уравнение

( 1 .8 ) .

В

этом случае

кроме

гра­

ничных условий

необходимо

еще

задать

начальные

условия

для

функций

и п

W

§

3.2. Разрешающие уравнения для описания

плоских деформаций непологих арок

Рассматривается случай

плоской деформации арки,

т.е.

предполагается,

что она имеет плоскость симметрии,

в

которой

dH

d v

dMv

(2.1)

Ts

P*• ' -dT’ -Pv'’ ~ Ж - а -

Первые два

уравнения ( 2 .1 )

получены проектированием воех

но придать и другую форму,

если брать проекции на наоательное

и нормальное направления к

деформированному элементу.

dN

dq>

dQ

d<P

ds

~ Q d T =

+ N ds~

-

(2*2)

где

<lt

7

Цп ~ проекции интенсивности

поперечной

нагрузки

на касательную и нормаль к

элементу.

Они овязаны 0

Рн и

Ру

формулами ( 2 .3 ) .

= Рн со&* +Pv sin

ЧгГ~Рн 5lnCp+Pv С05(Р- . (2 .3 )

Если ввеоти, как и для оболочки, аргумент

£

, иоходя из

ра­

венств

ds=<<d 5

и

d s o =tL0 dS,,

(2 .4 )

то соотношения ( 1 .3 ) ,

( 1 .4 ) ,

( 1 . 5 ) ,

(1 .6 ) и

( 1 .8 )

оотаготоя в

силе и для арки.

Соотношения упругооти для арки представляются в оледугощей

форме:

N ^ E F S ^ ;

# Р

d n

(2 .5 )

ds

ds„

Здеоь

J

-

момент

инерции поперечного оечения

относительно

его

нейтральной

оои,

F -

площадь

этого

сечения.

Для вертикальных

перемещений

w

имеется формула( 1 .8 ) ,

следствием

первого

равенства ( 1 .6 ) .

u ( s

o ) = f

(f + £+) cos<P-cos<P0 dso+u(o),

(2 .6 )

Запишем разрешающие уравнения для арки, взяв в качестве

р аз-

решающих функций £

=

£ *

и ip ~ -д-

, Для их получения ис­

пользуем уравнения

( 2 .2 ) ,

исключая из

них 6? при

помощи треть-

его

уравнения ( 2 .1 )

и

М = М^ посредством второго

соотношения

( 2 .

5 ) . Приведем зти

уравнения для арки постоянной

жесткооти.

( f + £ ) :

( 1+ £ )

F £ p

% 0+£)1

(2 .8 )

E I

Здесь штрихами обозначены производные -по аргументу

S .

Для получения уравнений динамики достаточно

заменить

в

последних уравнениях

(ft

и

уп

соответственно

на

Яг

-т

д2ц

COS<P +

д*V

sin

ЧР

(2 .9 )

dt>

dV

и

дги

dzw

Я п т

W -

sin Я3 ■+ТЕ1

cos Я>

(2.10)

U и

W

выражаются через

6

и

ф

посредством формул (1 .8 )

И ( 2 .6 ) .

Граничные и начальные условия записываются так же,

как

и

для оболочки.

Совершенно ясно,

что

приведенные уравнения - это не

един­

ственно

возможная форма разрешающих уравнений, полученных

на

базе

соответствующих

уравнений равновесия,

и для решения разшх

задач часто бывает удобно пользоваться разнотипными

уравнени­

ями. При этом для некоторых чаотных

олучаев разрешающие урав­

нения могут быть

существенно

упрощены.

Так

например,

если

Яс =

о

и арка

первоначально

круговая или прямолинейная,т.е.

с(Ф0

допускает

первый

интеграл,

-j^-^COnst , то уравнение ( 2 .7 )

представленный соотношением ( 2 . I I ) .

e(s) + j

хг (&)

= е ( о ) + ^

хг(о)

(2 .1 1 )

F

2

2

Уравнения ( 2 . I I ) и

(2 .1 2 ) являются разрешающими в рассматрива­

емом олучае. Исключая из

последних

£ ( О), можно придать

урав­

нению (2 .1 2 ) другой

вид:

d zx

—

£ Х = —

(2 .1 4 )

d s *

J

£ J

В работе [ б з ] подробно

рассмотрены деформации тонких

неполо­

гих стержней, однако без

учета

растяжения оои

вследствие де­

формации, т .е . цренебрегается

£

по сравнению с единицей.

§ З.З.С войства симметрии

непологих

оболочек

и арок

Докажем теорему симметрии для

оболочек,

используя

непос­

приведенные

в

§ 3 .1 и

не прибегая при

этом к разрешающим

уравнениям

из

предыдущего параграфа.

Пусть

имеется одно какое-то решение

задачи

и

порождаемое

нагрузками

рН1 , p v1

и контурным

мо­

ментом мь

.

Найдем необходимые

условия существования

наряду

UzCV-UfCVi'

( V s -&,($) i

Рт~Рн2 •

(3 .1 )

Тогда из формул (1 .5 )

-

(1 .8 )

вытекает

г2 - Г) ;

i

^вг ~ £ q i ’

~ ■

( 3 .2 )

*7 . v

_ * S i n C p Q

г У

* 9 2 -

г

( 3 .3 )

1 о

W j + w2 s - 2 f * 0 sin Фо ct$ .

(3.4)

Если материал

оболочки линейно

упругий и справедливы

гипоте­

зы Кирхгофа, то из

(3 .2 ) следует

N^2 ~

11

=

Nqj .

(3 .5 )

Учитывая

(3 .5 )

и первое

уравнение

( I . I )

для

обоих

состояний,

получим

t'(Vi+V2 )=-fr<*(pvt+Pv2) с($ .

(з.б)

Здесь и впредь будем опускать индексы у равных для обоих

со­

стояний величин. Далее

из первых

соотношений ( 1 .3 ) ,

( 3 .5 )

и

( 3 .6 ) можно заключить, что

H i-H 2 =

- ^

LfrcC (p v1+pY2) d $ .

(3 .7 )

Исходя

из

второго

уравнения ( I . I )

и учитывая ( 3 .7 ) ,

запишем

tg(P1fr< < (pv1 +p y2) d §

в с *

con st,

( 3 .8 )

где С

-

произвольная константа.

Соотношение ( 3 .8 ) - первое искомое необходимое

условие.

Однако, так как нас интересует случай, когда существует

бес­

численное множество пар состояний,

удовлетворяющих

уоловиям

( 3 .1 ) ,

то подобные

необходимые

уоловия должны зависеть

только

от начальной формы оболочки, характера ее опирания и

внешней

нагрузки.

Поэтому из (3 .8 )

следует

необходимое уоловие

Pvi + Ру2 ~

(3 .9 )

С другой

стороны,

если

учесть ( 3 .6 ) , (3 .9 )

и ( 1 .3 ) ,

то

V, = -

4

f

<?, = - 9 г

-

<3-10)

Тогда,

складывая

(1 .2 )

для

обоих

состояний,

имеем