книги из ГПНТБ / Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек

Это обобщение позволяет строить так

называемый

"деформаци-

онный

портрет”

данной оболочки,

дающий большой объем

инфор­

мации о поведении данной оболочки

в различных условиях. Рас­

смотрим методику построения деформационного портрета.

Пусть,

для примера,

на

рассматриваемую оболочку действуют

нагрузки,

входящие в состав обобщенной силы R

,

что

соответствует

т е -

ореме

симметрии и еще,

кроме того ,

нагрузка

ЧЦ>(f i ),

что

уже

нарушает

симметричность данной

системы.

Деформационный

порт-,

рет

строится

на плоскости.

( 4 , R )

следующим образом.

На

эту

плоскость

наносится

серия характеристик.

Каждая

такая

кри­

вая

изображает

зависимость

R(p)

от

£

(

р,~

параметр,

введенный при формулировке

следствия

I

из свойства 3

(см .§

2.2)),

когда на оболочку дополнительно к R (p )

действует,

например,

еще

нагрузка

ЦФ (р ) с фиксированным

значением

/£=

^ (1

Меняя

значение

параметра

Ц

, получим на плоскости

(

R

)

ука­

занную

серию

характеристик, которая

и есть

деформационный

портрет данной оболочки для данного внешнего нагружения.

Любая

из этих характеристик (за исключением той, для которой

)

уже

не

есть

сама по

себе симметричная

относительно

центра

сим­

метрии

Ср кривая.

Однако характеристики при

I? -

и

будут взаимно симметричными относительно

С0,

как

это

сле­

дует из обобщенной теоремы симметрии. Таким образом,

деформа­

ционный портрет

состоит

из

пар

взаимосимметричных характерно'

тик

с центром симметрии

Со . Каждая

из

них сама ;По"сёбё'не’

есть

симметричная кривая и не проходит через

С0

,

за

исключением

одной,

соответствующей

= 0 .

Портрет удобно строить для случая шарнирного опирания кра­

ев

оболочки,

так как

при этом он н есет,

как

будет

показано

ни­

же, наибольший объем информации. Граничные условия по

Сл)

мо­

гут быть любыми, но фиксированные для всех точек этого

порт­

рета.

Рассмотрим информацию,

которую

содержит портрет.

Каждая

делку. Геометрическое

место точ® портрета,

лежащих, на

одной

прямой,

параллельной

оси £ ,

представляет

случай*

когда R(p)~

= Const

, а

Ц

принимает

различные

значения.

В

частно­

сти, если эта

прямая

совпадает

с осью %

,

то получим решение

заданных граничных

условиях

для

СО(р) , находящейся под воз­

действием нагрузок

R (р ) и

цЧ>(р) при любых граничных

усло­

виях для 6 (р ) . Меняя зависимость

R

от

р

,

можно

полу­

чить и решения при произвольных

сочетаниях внешних

нагрузок,

образующих обобщенную силу R .

Обобщенная теорема симметрии и деформационный портрет поз­

воляют также сделать ряд качественных

выводов.

Так>

например,

если характеристика

при данном

R1

имеет

экстремальные

точ­

ки ( т . е . в этих условиях

возможны хлопки),

то

такого

же-

типа

экстремумы

будут

и при

.. При этом максимум

при

^

.

симметричен с

минимумом при

^ =

наоборот.

Поэтому

связь

между верхней

(при

=

.)...и нижней

(при

) критически­

ми нагрузками или наоборот остается в таком же видеь.....

(2 .1 4 ),

Если же при ty-ty

нет хлопков,

то

их.Г " не

будет

ишри.

1

~

-------1

В качестве конкретного примера деформационного

портрета

рассмотрим купол, очерченный по

сферической поверхности,

шар­

нирно опертый, деформирующейся

под действием

контурного

мо­

мента Mr (t)~M

и равномерно

распределенного

давления

о.

интенсивностью ф(р)= у - const. При действии

одного

только М .

( т . е . при

<£ =

0

)

сферический сегмент

с шарнирным отиранием - J

симметричная

систем а,в чем легко

убедиться.

Поэтому

деформа­

ционный портрет в этом случае, строится на плоскости

(kt) М)

и

каждая характеристика соответствует какому-то

фиксированному

значению

Cj,

На рис. 6 показана часть такого деформационного

портрета

для случая

k0- ~ 4

и шарнир

подвижный [з]

..

На этом

ри -;

При других q ,< 0

характеристики уже не приведены,

так

как

они симметричны с

соответствующими характеристиками

п р я ^ ^ 0

-

Деформационный портрет не обязательно связан с понятием

сим

-

Натрии и его можно

отроить на

любой

плоскости.

Однако

построение

его на

плоскости.. (

4 , Я )

представляет боль­

шие удобства потому, что при этом мож­

вторая половина строится по

симмет- :

рии. Кроме того , использование

плос­

кости (

й ) позволяет,

как

э т о ’

было показано выше, получить ряд

ка­

чественных

следствий, что

не

менее

( если не более ) важно,,

чем конкрет­

ные численные результаты.

ения деформационного

портрета

на плоскости (

R

) , где

обо­

лочка -

симметричная система.

Поэтому представляет

интерео

сле­

дующая обратная

задача.

Дана произвольная по начальной форме оболочка,

т .е .за д а н а

функция. во(р). Нужно подобрать внешнюю поперечную

нагрузку,

параметры которой входят в обобщенную силу

R

для

того,чтобы

данная в0 (р) удовлетворяла;, уравнению ( 1 .6 ) . Тогда

можно будет

использовать теорему симметрии со всеми вытекающими из нее

след­

ствиями.

В0(р) ,

Рассмотрим поставленную

обратную задачу

для

допу­

скающую представление

в виде ряда

+

( 5 .1 )

;(Напомним, что. до (р)

должна быть в виду осесимметричности

обо­

лочки нечетной

функцией

р

на интервале -1 ^

).

В

таком случае в

R

, как это вытекает

из

общего решения

( 1 ,8 ) ,

не могут входить сосредоточенные нагрузки. Поэтому будем

искать решение этой задачи подбором соответствующей

функции

Л(р),

определяющей характер

поперечной распределенной

наг­

рузки. С этой целью

подставим в 0 (р ) в виде ( 5 .1 ) в

( 1 .8 ) ,

представим А (р)

в форма (5 .2 ) и сравним коэффициенты

при

Таким образом,

введя

некоторую фиктивную нагрузку

по

закону

(5 .

2 )

и ( 5 .3 ) ,

можем на базе этой

нагрузки ввести

плоокость

( 4

, /?

) и строить

симметричный

деформационный портрет для

интересующей нас нагрузки.

Рассмотренная обратная задача имеет решение только

тогда,

когда интегралы из правой чаоти

(1 ,8 )

существуют. В противном'

случае

решения данной обратной

задачи нет. Примером может

слу­

жить коничеокая оболочка, для которой

в0(р ) = COfl$it В

этом

случае

обобщенная сила

R

не

существует и для такой оболочки

невозможно строить

симметричный деформационный портрет.

§ 2 .6 ..

Плоскость ( 4 , 7

)

и некоторые

ее

свойства, обусловленные

симметрией

В предыдущих параграфах рассматривалась

плоокость

( %7R )?

на ней

строился

симметричный деформационный портрет, где. каж­

дая характеристика соответствовала какому-то

фиксированному

значению параметра

дополнительной к

R

поперечной нагруз­

ки.

Сейчас рассмотрим плоскость

(

4 ,

Ц

) .

где

каждая харак­

теристика строится

при фиксированном значении R

. Тогда

на.

этой

плоскости

существует

центр

симметрии о координатами ^ = - £ dJ

. Это утверждение следует из того , что.состояния оболоч­

ки, определяемые, параметрами.

q t

и

Rz -~2%0~ У г ~ ~ * ? г .

взаимно симметричны и при этом

4 , * 4 *

, Поэтому

указан -

'

нал рыше серия характеристик состоит из

пар

взаимносимметрич­

ных кривых относительно центра

К ( - £ О}0),

для которых

/?,

и.

. Rb

связаны соотношением ( 2 .8 ) ;

В

частности,

характеристика,

соответствующая

R - - £ 0 ,

будет

сама

кососимметрична

относи­

тельно

центра

К .

Так

как точка

К

при этом

находится

на

оси

4

» го нижняя критическая

сила

отрицательна,

т .е .

добав-

имеется, не

нарушается с изменением характера

нагружения

(при

обязательном присутствии в данном случае

R -~ £ 0 ) .'Т а к напри­

мер, в случае шарнирно-опертого

сферичеокого купола,

сила R

пропорциональна контурному моменту

М . Если действует

М =

= - 2%0 ( 1+{1), то при

произвольной

поперечной нагрузке(да­

же неосеоимметричной) этот купол нежесткий.

(Более

детальное

изучение свойства нежесткости проведено в главе 4 ) .

Подчерк-"

нем при этом,

что указанное

свойство

справедливо

при

любой

стреле

начальной погиби |^0 | >

£ 00

(см .

§ 2 . 3 ) .

В

силу

не­

прерывности очевидно,

что

при М

,' ~близкому- ' к

эначейию

-2 ^ 0 (f+M),

сферическая

оболочка,

а

также

оболочки других

форм,

у которых

в0 ( О близко

к

значению ~240

» как

У

сфе­

рического купола, также будет нежесткой в указанных

условиях.

Приведенное свойство

при действии

R - - %0

схоже с

поведе­

нием фермы Мнэеса,

рассмотренной в

следующем параграфе.

Другим свойством рассматриваемого

пучка

характеристик

является следующее. Если при каком-то

R~ R-,

имеются

или не

имеются хлопки,

то

тоже

самое,

можно

утверждать

и для

случая

Очевидно,

что

и другие

свойства

деформационного

портрет

т а ,

рассмотренного

в

§ 2 .4 ,

соответствующим

образом

могут

быть

перенесены

и на

плоскость

(

4

,

R

) .

Совершенно

очевидно,

что

то

же

самое имеет

место и

для

‘ любой плоскости

(

к,} 9& ) , где

Эв -

параметр

любой попереч­

ной нагрузки.

§ 2 .7 .

Симметризация характеристики

любой

нелинейной осесимметричной оболочки при

ее рассмотрении в первом приближении.

Некоторые примеры симметричных систем.

Метод Бубнова-Галеркина в первом приближении или

Другие

методы первого приближения, когда приближенное решение

для

Q (р ) представляется в виде ( 7 .1 ) , где

неизвестный про­

гиб в центре оболочки, a

fC fi)- соответственно

выбранная

функ­

ция,

приводят

к

характеристике;

уравнение

которой

представлено

в форме ( 7 .2 )

(см .

например,

C l,

2 ,

26 ]

)

( 7 .1 )

S=d1b + dt k*+d3b t b 0+ d 4 ti b%.

( 7 .2 )

Здесь

$

- линейная комбинация ( 7 ,3 ) параметров внешних попе­

речных нагрузок

S=a^ + агР+ а3Р^ а4 м.

(7 .3 )

Конотанты

dL и dj

зависят от параметров задачи,

вида функции

f(p) и используемого метода приближенного решения.

Кривая (7 .2 )

S ( 4 ) - кубическая парабола,

кососиммет­

ричная,

с

центром

симметрии, определяемой следующими координа­

тами :

(7 .4 )

Если

при этом

/

выбрана так , чтобы

f ( p ) = . ^ E l ^

(7 .5 )

существуют приближенные решения в

виде

выпрямленной и выворо­

ченной оболочки. Это характерно для

симметричных

систем.

Таким образом* первое приближение всегда

оимметризует

любую систему

независимо

от того ,

симметрична ли она в дей­

ствительности

или н ет. Поэтому подобная

симметризация

может

дать существенное, качественное

искажение действительных свойств

системы. Так

например,

в случае

защемленного

сферичеокого

некоторого 13;0 1 )

характеристику [ I ]

,

Нежесткой

эта

оболоч­

ка

в данных условиях " ’также

не бывает.

Вот

почему

утвержде­

ние

о симметричности системы на основании

первого

приближения

не

может быть

состоятельным.

Первая

известная нам

работа,

где

были строго

установлены

свойства

симметрии для

одного

частного случая (чистого изгиба пологого

сферического

купола),

имеется в сборнике

[ ’37] . Теорема симметрии в общем случае по-

и последующих параграфах, впервые

были изложены

в [ 2 6 J .

Даль*-

нейшие

обобщения теории

симметрии

на непологие

оболочки

даны

в [3 8 ,

3 9 ] , а.такж е в

[4 0 ] . Свойства симметричных

пучков

ней трехшарнирной арки Мизеса под действием вертикальной

силы

Р * . Пунктирными линиями изображено

какое-то промежуточное(де­

формированное) состояние фермы. Уравнение характеристик

этой

системы

имеет

вид

( 7 .6 )

( с м ,г например,

[4 1 ]) :

(7 .6 )

P~V(f+£ ) V + ( i ' - i ) 4

Здесь введены

безразмерные величины:

2EF '

^o~~q'~ c^9c^o>

■

F

— площадь

поперечного сечения

стержней.

Легко показать, что (7 .6 ) описывает коеосимметричнуто

кри­

вую с центром

симметрии в точке с координатами

4~^>о

*

р ~@ >

где

ферма выпрямляется.

Когда 4

0

р ~0 ,

имеет

место

полный зеркальный выворотфермы. Эта симметричная система

в с е г ­

да

нежесткая.

Нежесткость может

быть

устранена,

если силу

пере­

давать на центральный

шарнир посредством достаточно

жесткой

пружины

[4 1 ]

, при этом симметричность системы сохраняется.

Такие

же

свойства

имеются

и

у

пространственной

фермы

Мизеса из

трех

стержней, образующих правильную пирамиду

[ 4 1 ] .

Очевидно, что

качественная

картина поведения системы неизме­

нится, если число стержней,

составляющих правильную пирамиду,

будет

больше

трех.

Пологая

двухшарнирная арка, очерченная по дуге

полувол­

ны синусоиды и нагруженная

поперечной нагрузкой, меняющейся по

такому же закону, - так же^

симметричная система.

Все куполообразные оболочки,у которых во(р) определяются

соотношениями

(1 .8 ) и ( I .I D ) ,

являются симметричными

систе­

мами.

Конкретные примеры приведены в [ 2 6 ] .

§ 2 .8 .

Распространение теоремы

симметрии на

динамические

осесимметричные деформации

пологих геометрически нелинейных оболочек-

ют вид ( I . 6 . I ) и

( 1 .6 . 2 ) . Если ввести

определение

пары симмет­

ричных состояний

в данный момент

Г

по формуле-

W, ( p , i )

+ Wz (p,t)

W 0(ft),

(8.1)

IV, (р,0)+ Wz (р, 0) = ~2W0 (р),

,

(8. 2)

9W1(р,0) .

dWz (p,0) „

~

н — +

— Tz---------

Тогда теорему

симметрии в

случае динамики можно интерпретиро­

вать следующим образом. Если

б о (р )

имеет

вид

(1 ,8 )

при гра­

ничных условиях (I ..I0 )

и начальные

условия подчиняются со­

отношениям ( 8 .2 ) , а граничные условия

не противоречат

( 8 .1 ) ,

граничные условия для с*7,

и

ojz

одинаковы,

то решения

IV, и

W2

в любой момент времени

связаны

равенством (8 .1 )

со

всеми

вытекающими из него следствиями. При этом параметры

нагрузок,

порождающие эти состояния, зависящие

в общем случае

от

време­

ни,

связаны соотношением

( I . I 2 ) . Очевидно,

что

все

следствия,

доказанные

выше для

статики,

не относящиеся непосредствен­

но к свойствам характеристик,

остаются в силе' и зд есь .

Для рас­

смотрения

свойств

характеристик надо решить вопрос о

том, что

Зак .188

Уравнения равновеоия для элемента деформированной оболоч­

ки (р и о .8) могут быть записаны в форме

( I . I )

и (1 .2 ) [4 2 ] . Отме^

тим,

что эти

уравнения имеютоя и в [4 3 ]

хотя

там рассматрива­

ются

только

линейные задачи.

этих сечениях^

. Мд -

нормальное

усилие и изгибающий

момент в меридианальных сечениях.

pv ,

Рн - составляющие внеш­

них распределенных

нагрузок;

<Р-

угол между элемент см оболочки и