книги из ГПНТБ / Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек

за

исключением случая

наличия

у р (р )

слагаемого

с

(см .

(2 .Г 4 )

) .

Докажем это свойство. Из (2 .2 )

имеем

Ч(Р)

_

„VoN

,

1

^

( 1 - J ^ ) f ( * ) d n

(2 .3 9 )

Р

~

Ч'(0) + \

j

г

№ '- Ф

j f i

= - J f J

/ /

Met.t .

(2 .4 0 )

Сравнение

(2 .4 0 )

с (2 .2 5 )

доказывает

первое утверждение

на­

стоящего свойства, из которого'

уже непосредственно

следуют

(2 .3 7 )'

и

( 2 .3 8 ) ,

если

учесть,

что

в случае

a )

sign

tj'(&)

=

= sign

f

j

=

-

sign f

,

а

во

втором

случае

sign у1 (0) =

=

sign

.Д анное

свойство

доказано,

если решение

представимо

в

форме

( 2 .2 ) .

Бели же взять

решение

типа ( 2 .1 5 ),

то

так

как

для слагаемого,содержащего

Р ; свойство

5

место

не

имеет,

не

имеет место для него и пункт б) данного свойства.

Что же касается

члена

из

Jf-

,

содержащего

Р,

(

см.

(2 .1 5 )

) ,

Tq для него,

как

легко

установить,

справедливы

все

утверждения

доказываемого

свойства.

р

p f

С в о й с т в о

7 .

На первом участке

0

знако-

постоянства

ц н(р)

(

р 1

-

первый не равный нулю

нуль

функ-

ции ч"(р)

) , функции

у"(р)

и f ( p )

имеют одинаковые

знаки.

Действительно, для ц(р)

имеет место

тождество:

n(p) = 4(o )j> + J?(t)(p -t)i{t.

(2 .4 1 )

Подставляя

у

в

виде

(2 .4 1 )

в ( 2 .1 ) , получим следующее

ра­

венство, откуда

сразу

следует

сделанное

утверждение:

п"(?)+ у

)

J> »*(j>) f y - t y )

•

(2*42)

р

о

знакопостоянстваf(p)

Обратное утверждение,

что

на первом участке

функция у" (р )

также будет всюду знакопостоянна , неверно.Пер­

вый интервал знакопостоянства

р

(р)

шире, чем ?акой же

интер­

вал для у" (р) ,

т .е .

первый не равный нулю

нуль

p t

функции

f

(р)

всегда

больше

p f

. В самом деле,

в

точке

pf

по-

следнее

равенство

запишется

в

виде

J

rfty)dp = p *

/ / > ,) .

0

j( p t) ФО и имеет

знак ц'(р) при

0< р

Откуда видно,

что

Таким образом

,

рр>р1 •

Если р>-

С л е д

с

т в

и

е

и з

с

в о

й с т в а

7 .

^ I , то этого

достаточно,

чтобы

р ( р )

бил всюду

знакопосто­

янным и тогда

г( (р)

будет также

постоянной, когда

выполня­

ются для нее условия справедливости свойства 4 .

Таким образом, знакопостоянство у"(р)

достаточно

для

знакопостоянства f ( p )

и ц(р)

(последнее при условиях свойст­

ва 4 ) .

8. На первом участке

О ^ р « р 1

С в о й с т в о

зна­

копостоянства

/

(р) ( р

- наименьший не равный нулю

нуль

функции f ( p )

)

функция

У](р)

обладает следующими свойе 1'яами:

а ) функция р ц'{р)- Ц(р)

также

знакопостоянна

на указанном уча­

равный

нулю

нуль функции

р ц '(р) -

у(р)

больше

р

;

б)

на том

же

интервале

монотонна и

знак

( -р~)'

совпадает

со

зна­

ком

f

; в )

если

Ч (О)

имеет тот же

знак,

что и

if(p]) ‘Иаш

равна нулю,

то на указанном участке

iу(р)

и

v'(p)

знакопо­

стоянны

и их знаки совпадают со знаком

f ( p ) .

Тогда

у(р) моно­

тонна

на том же участке;

г ) если в

какой-то

точке

р г

£,

р

функция

tf(p)

равна нулю или имеет

знак, противоположный

знаку

f ( p ) ,

то

1\(р)- знакопостоянная

на интервале

О ^ р ^ р г > и

ее

знак

противоположен знаку f( p )

на рассматриваемом

участке.

Первое

утверждение

сразу

вытекает

из ( 2 .2 5 ) ,

а

второе

из

( 2 .4 0 ) .

Третье

доказывается

точно так

же,

как и свойство 5 , и

на рассматриваемом участке ее знакопостоянства.

Так как <f(pt )£t

4 0

(условия

этого

утверждения),

то исходя из

( 2. 2 ) получим

7(ft)-

*

i

«

) / M**o.

J V £

о

откуда

следует,

что

р

Ч.

/ ( о ) ^

- - f

,

р

?

Л О a ^

j>

°

="y-[

+(p* ~-Щ**/(*м*1*0■

To же самое имеет место

и

для выражений

типа

( 2 .1 5 ) .

Таким

образом, данное свойство полностью доказано.

Отметим

еще

,

что утверждение

г )

справедливо)

и

когда

^'(ре) ^ 0 ,

так

как

при

этом

signy(pj = -

sign f

Ср)

,

что

следует

из

(2 .2 5 ) .

slop f(p}=

С в о й с т в о

9. На .любом подынтервале,

где

= al^n rj (p)

,

функция

PP(p) •*l(p) монотонно возр астает,

a

у(р)~ монотонная функция.

рщ'(р)

Приведенное свойство функции

вытекает из

( 2 .1 7 ) ,

так как

правая

часть

(2 .1 7 )

положительна,

если

sig n j

=

sign 7 .

Доказательство

монотонности

7

будем вести

от

против­

ного. Предположим, что в

какой-гТо точке

р

из данного

подын­

тервала-

функция

7

имеет

экстремум,

тогда в

правой

окре­

стности

точки

р

должно быть

0

,

но

этого быть на

мо­

жет. В точке

р

= р

имеем

р^Р!/>-р ~ 0

и

ВВИДУ

возра­

стания последней в правой окрестности точки

получается,

что

Цу* >0

.

Возникшее

противоречие

и доказывает

монотонность

С в о й с т в о

1 0 . На любом подынтервала, на

концах

которого ^ принимает

нулевые значения, имеют места

неравен­

ства

^

^

0 ;

/у

1}'(р)

ъ

0 ■

J ? ( f ) f ( p ) dp

f ? (р)

р ~ f ( f ) dP

(2.4-3)

?о

Л

тождества(2 .27),

Первое доказываемое неравенство следует из

второе -

из

( 2 .2 9 ) .

Из

(2 .4 3 )

вытекает, в

частности,

что

если

f (р )

и

Ч(Р^

знакопостоянны на данном подынтервале,

то

-Signf(fl)=-stnу ? ( р ),

С в о й с т в о

I I . В

точке

0

-с р

^ 1,

где

7 (р)

имеет

положительный максимум

(отрицательный минимум) р ( р ) ^ 0

(>

0)

В самом

д ел е,в

точке

3

должно быть

; / ( р )= О ;

Р ‘(Ъ)

4

О

и

Ч(р) =-

0

.

Поэтому

L(/?(p)) = } ( р )^ Ь .

Г

С в о й с т в о

13

(сравнения). Сравним решения

Ц( {р )

и Цг (р)

уравнений

типа

( 2. 1) ,

правые

части которых

обозна­

чены

соответственно

через

f f (р)

я

/ 2 (р) .

Если : а ) /, (р)

> f z (р)

(&ft {p))\

б)

yf(p)

и ^ ftp) удов­

летворяют

одинаковым

граничным

условиям;

в )

х > - 1 ,

то

% (р)

~~ ?2

0

следовательно,

п,(0) ^

пг (О)

,

если |

только

п (1) = О .

Д

о

к а

з

а т е

л ь

с

т в о .

Рассматривая уравнение

(2 .4 7 )

’

(2 .4 7 )

можно для

разности

^,(р)~92(Р^ пРименить

свойство

4 ,

когда

ft= 0

(так

как

^

и

уг

удовлетворяют

одинаковым условиям).

Тогда

получим,

что

^ (р)

■£ tfz (p),Qcm

f f (р) > / 2 (р) ■Отсюда

и

вытекает

неравенство

n t(0)^ пг (0 ) (см .

( 2 .4 4 ) ) .

То же

самое

доказательство

применимо,

и когда

(p ) ^ fz (р ) .

С в о й с т в о

14 . Все доказанные выше свойства для ц(р)

без изменений

переносятся

на разность ц^(р)-

i^z(p)tecm

всюду

заменить f ( p )

на fr

(р ) - f 2(p)- Справедливость сказанного

сле­

дует

из

того ,

что

<7

-

q

удовлетворяет

уравнению

(2 .4 7 )

типа

(2. 1 ).

§ 1 .3 .

Некоторые свойства

решений уравнений

осесимметричных

статических деформаций пологих оболочек

Используя свойства решений уравнения ( 2 .1 ) ,

полученные

в

предыдущем параграфа,

можно установить

ряд

полезных

свойств

решений уравнений ( I . I ) и

( 1 .2 ) , не решая их,

Указанные свойства выявляют многие качественные

стороны

деформации, пологих оболочек, что весьма важно как для

про­

верки достоверности

получаемых на ЭВМ численных

результатов,

так и для формирования

понимания характерных

черт

поведения

йибких оболочек под нагрузкой.

С в о й с т в о

I. wo(p)

к

w (о ) являются

четными функ­

циями

р

.

Тогда б ( р ),ы ( р )

и

Q(f)

-

нечетные

функции,

а

&г . б? .

,

Л/г , Л/у

, и

„

£ л и

еу

-

четные функции р .

Действительно.

В

виду осесимметричности

оболочки

до

и

йбсле

деформации

w0(p) и

\ы(р)

являются

четными функциями р .

Тогда в0(р) и 9(р)

уже нечетные,

так как дифференцирование или

интегрирование

нечетное

число

раз

четных

функций дает

нечетные

функции, и наоборот. Тогда правая часть

уравнения

( I . I ) -

не­

четная функция. Поэтому,

как вытекает из свойства 3 ( § 1 .2 )

для 7(р ),

со (р)

также

нечетная.

Отсюда

следуют

все

осталь­

ные утверждения

этого свойства, если учесть, что

внешние

на­

грузки должны быть

четными функциями

р .

С в о й с т в о

2 .

а ) Если бп (р)=^уР

знакопостоянна и

со(р)

удовлетворяет

граничному условию

t o d ) - 0

(край

сво­

бодный)

или если

там

знакопеременна,

то

бу (р) = со '(ph

знакопеременная функция,

б) Если

-

знакопостоянна,то

также всюду

знакопостоянна и sign

=

signtfy.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

6Г знакопостоянна,то

и

со

знакопостоянна с тем же

знаком.

Но

co(Q) = Of

и

когда

(0(1)= 0,

со-

немонотонная функция.

Следовательно, существует

точка р - р

,

где

со'(р)=о

л

бу

тогда

знакопеременная ;

Если

же бЛ - знакопеременная функция,

то в

какой-то точке р = ~р

будет

to (р) = О, тогда внутри интервала^ 0 £ р

^ р )

а/примет

где-то нулевое значение.

Таким образом,

пункт

а )

рассматрива­

емого свойства доказан. При этом

следует

иметь в

виду,

что

знаки

бг

и

rf'j,

в окрестности точки

р

= 0

совпадают,

так

как

б'Л (0) = бу(0) = (О1(0).

что если to

(р)

Вторая часть свойства 2 вытекает из того ,

знакопостоянна, то со (р)

монотонна и знакопостоянна,

так

как

со (0)-0

•

Следовательно,

<$/*

также

знакопостоянна

и

имеет

тот

же знак,

что

и

ы'(р)

и <о(р) .

Совершенно ясно из

вышесказанного, что во всех

случаях,

когда

<о(р)

немонотонна,

6у

-

знакопеременная

функция*

но больше,

чем

указанных

в первом пункте

рассматриваёмого

свойства.

Значение

знакопеременности

бу

для

понимания по­

ведения рассматриваемых,

оболочек

под нагрузкой

показывает

еле™

дугощее_следствие.

С л е д с т в и е

и з

с в

о

й

с т в

а

2 .

Если

бу (р) > О

в случае свободного края

( со(1) = 0 )

, то

у края

обо­

лочки образуется сжатая зона в широтном направлении,

т .е . здесь

бу, ^ о , так

как со(р)

у

края

должна

быть

убывающей функцией.

6t

Наличие

сжатой в

широтном направлении краевой

зоны, когда

всюду растягивающее,

представляет

значительный

интерес,так

как

тогда

имеются

предпосылки потери устойчивости в

этой

зоне

с образованием

складок

(потеря

устойчивости

при

раотяжении).

Возможность

подобного типа

потери

устойчивости

была

строго

обоснована для пластинок в

[ 9 ] .

Эта же задача

для

пластины

решена в первом приближении в [ ю

]

.

Для оболочек

указанное

явление в

первом приближении рассмотрено в

[ I I ] .

Более точ­

ные,,

чем в

[ 1Г],численные решенш?

этой

задачи

для оболочек име­

ются

в Г12 -

16] и др.

изойдет. Этого можно

. добиться, в

частности,

за счет

прило­

жения соответствующих растягивающих краевых нормальных

усилий

Np (1). Тогда краевое условие будет

и(1) = Nr (I)>0

и при

до­

статочно большом Nh(i) функция

(р)

будет

монотонно

воз­

растающей и положительной.

Поэтому

<*$>

будет

также всюду

по­

ложительным. Ниже будет показано,

что

это действительно

осу­

ществимо (см . свойство

З .з

в случае

пластин

и

свойство

5

для оболочек).

С в о й с т в о

3 .

Основные

черты деформаций

гибких

пластин:

а ) В любом случае

деформации пластин под действием

про­

ловиях

при р = I

напряжение

б"Л (уз) = ^jp

- монотонно

убы­

вающая

функция и

69(р)^

(р)

(d?(p) = <о'(р)) .

Действительно.

Уравнение

( I . I )

принимает

для пластин

вид

L(u)) = -

гр

(3 .1 )

в 2

Тогда указанное свойство сразу получится, если применить

свой­

ства 8 а,, б

(§

I ,

2) к

( 3 .1 ) ,

учитывая

при

этом,

что

в

данном

случае

f(p)^ 0

и у?(

= 1 .

Отсюда

вытекает

важное для

при­

ложений неравенство

6„(р) * d r (0)- o ' (0)

;

(3 .2 )

б)

если

х = с(+р

7

и

(см*

( 2 .3 ) ) ,

то <о(р)>0

независимо от характера внешних нагрузок

и

граничных

условий

для в(р). Это утверждение

- следствие

свойства 4

(§

1 .2 ) при­

менительно. к

( 3 .1 ) .

Указанное свойство справедливо, в частности, дня случая не­

подвижной опоры ( и (l) - (Цсо(1,

= 0

) , а

также

для

подвижной

(ы (1) -

N)

,

где контурное

усилие N г- 0 .

в )

Если в

случав подвижной опоры

N * O^rocj(p) 4 0 ,

буду­

чи монотонно убывающей функцией7или oj(p) -

знакопеременная.В

последнем

случае cj(p)

может

иметь

только

два

интервала

эна-

копостоянства.

На первом из них, примыкающим к

точке

р =

О

,

будет

u)(p)>,0

, а на втором, примыкающем

к

р=

/

,

ы (р ) бу­

дет монотонно убывающей отрицательной функцией.

В самом деле, так как

(J (1) =

0 , w ы (р)

может

быть

или всюду отрицательной или знакопеременной.

На участке,

где

со(р) 4 0 ,

она должна быть монотонно убывающей функцией

сог­

ласно

свойству

9 (§ 1 . 2 ) .

При этом

надо иметь

в

виду,

что

в

левой граничной точке интервала, где cj(p)

4 0,

эта

функция

принимает нулевое значение. Отсюда, следует

указанное

в

дан­

ном пункте

свойство.

(jfpko

Совершенно

очевидно,

с

физической

точки

зрения,

что

будет

при достаточно больших /N /

, так как

при

N = 0

имеем

со(р)>,0

-

г )

Каждому решению уравнений ( I . I )

и

( 1 .2 )

для пластин при

данных граничных условиях,

которое

порождается

системой

попе­

речных нагрузок

f a

у Рf

, P/t J

и обозначено

&)f(p)

a

S f /p)

,

соответствует другое решение этих же уравнений

а г ( р)

и вг (р) ,

связанное с первым следующим образом:

(Ог (р)= <Pf(p)

;

вг (р) = - 9 г (р)

;

(3 .3 )

При этом граничные условия для обеих

cj1

(р)

совпадают,

а

для

вг ( р )

получаются

из

условий для

в 1

(р )

о учетом

со­

отношения ( 3 .3 ) . Второе решение порождается

совокупностью

по­

перечных

сил

( у £ , Pz,

PfgJ

> удовлетворяющих

’

Ps - 'P f! P * = - Pu

*

( 3* 4 )

Здесь

под

Pi

поя

йются

сосредоточенные

силы,

приложенные

в

полюсе

оболочки,

P,i

-

это силы, приложенные в

какой-то

точ­

ке

р -

с

О,

и для

обеих таких, сил

их

точки

приложения

со в ­

падают.

Доказательство этого положения вытекает из уравнения

(1 ,2 )

для пластины, принимающего вид

L(Qh~m ар

P 4 (p )dp * j > +- f l ( p

- ^

~

y

G }

*

(3 .5 )

о

Данное свойство, совершенно прозрачное с

физической точки

зрения, позволяет ограничиться исследованием деформаций

пла­

стинок под действием поперечных нагрузок только одного

знака.

д) В случае, когда

со(р)>о

, контур

пластины

защемлен

или шарнирно оперт,

контурный момент

М>0

и все

поперечные

нагрузки положительны или равны нулю,

Q(p)>,0

и

прогибы

w (р)ъО. При этом

в ( р )4

9пл(р ) > где

9г* (Р)

~ Решение

той

жеграничной задачи для жесткой круглой пластины,

деформация

которой описывается уравнением С.Жермен при тех же

нагрузках,

что и для гибкой пластины.

что д ( р ) 4

0 ,

Действительно, если предположить,

правая

часть уравнения (3 .5 ) будет

отрицательная

и тогда

применение

свойства 4 (§ 1 .2 ) к этому уравнению дает д(р)>,0 •

Получено

противоречие.

Предположим,

что 9(р) -

знакопеременная.На

уча­

стке ,

где

в ( р ) ^ 0 ,

она

должна

быть

монотонной

убывающей

Функцией в

соответствие

со

свойством 9 (§ 1 , 2 ) . Следовательно,

участок,где б (р )й

q

может

примыкать только к

точке

, но

и это

приводит к противоречию,так как из граничного условия

e4i) + tt9(D = м

( з .б )

следует, что

в'(1)>0

.

Поэтому

9(р)

не

может

быть

моно­

тонной убывающей функцией на указанном

участке.

Получено

про­

тиворечие

и таким образом свойство

доказано.

Свойство функции W (р)

следует

непосредственно

из

( I .I 5 ) ,

если

положить

там

w0(p)^

0

и учесть,

что

w (1) = 0 •

Очевидно, что справедливо следующее уравнение, вытекающее

нэ< (3,5.) и уравнение С.Жермен.:

L(9-9p/t) = f t

и в .

Применяя к

нему свойство 4

(§ 1 . 2 ) , получим, что

& ^ ®пп '

Учитывая свойство З .г ,

можно утверждать, что

9^

0 ;

w iQ

и 9 ^ Qnfl

t

когда

все поперечные

нагрузки

и

М •

отрицательны.

е) В случае, когда oj(p)>0

,

если все поперечные нагруз­

ки положительны и

М< 0

,

могут

иметь

место

следующие варианты

для функции В (р ) :

р

I )

6(р)ё0

и она должна быть

монотонно

убывающей функци

согласно

свойству 9 (§ I

2 ) .

Поэтому

из

условия(З.б)

сле­

дует

неравенство

( 3 . 7 )

2) 6(p)z 0

и при этом

Q(p)

должна быть

знакопеременной

функцией

р

,

так как в

противном

случае О

была бы

моно­

тонной,

что

не

может быть, так как

из- (3 .6 )

следует,

чтов&М0У

а это противоречит монотонности

в .

такой же характер,

как и знакопеременная

из

свойства

Зв.

При этом

в

,

очевидно,

удовлетворяет неравенству

( 3 .7 ) .

Заменой

знака

у в

получим ее

свойства

для

случая,

когда

все поперечные силы отрицательны, а

М>0 .

когда со(р)ьО.

В последних двух свойствах изучались случаи,

Точно так

же

проводятся

исследования и для &>(р)^ О или

знако­

переменной.

ы(р)>,0 , то в случае действия любых

ж)

Если

поперечных

нагрузок

и контурного момента

М ,

имеющие все

один

и тот

же

знак или равные нулю , то краевая задача, описывающая

деформа­

цию пластин,имеет одно единственное решение, т . е . не существуют

две (и более)

формы равновесия

у пластины при

заданных нагруз­

ках. Потеря устойчивости в большом по осеоимметричным

формам

тогда невозможна.

Доказательство

будем

вести от

противного, предполагая,что

имеются по крайней

мере

два

решения

0 ,, cj, и

вг ,о)г .

Рассмот­

рим при этом все возможные варианты,

используя

еле,дующие

урав­

нения,очевидно, вытекающие из ( 3 .1 ) и ( 3 .5 ) :

L(oir

o>t) - ± [ e * - e l ] .

(3 .8 )

L(8r

ez) = Z-[u>,e, - и г 92] .

(3 .9 )

Граничные

условия:

Ч 0 )-<ы г Г/)= 0

или ы}(1) ~ Ч П ) - { 1[ ч ( 1)-Ч(О]=ОЛЗЛ0 )

в,({) ~02(1) = 0

или

e/fj-etO j+fufiJl) ~ 9г (1)]-0 .

( 3 .I I )

I) Пусть

6t(p) 1 вг (р)*0 и

в7(р)-вгр » 0 .

Тогда

правая

часть ( о .8)

.будет отрицательна

и в соответствии со

свойством

4