книги из ГПНТБ / Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек

ловиям £?t = ~ # 2 и

a/f s o / 2 . При этом параметры

поперечных

нагрузок

для

обоих решений отличаются

только знаком.

С в

о й

с т в о

3 . О симметрии

многообразия

( 4 *-R ).

щенную силу

R

из параметров

внешних поперечных

сил

по фор­

муле

R =d 0 q, +fio Р +to Рт+Sotf,

(2 .7 )

где

константы

оС0

р 0 ,

R

и

80

те

же, что

и

в

( (

Т2).

Введем плоскость

4

,

и тогда

каждая форма

р авн о;- -

сия

отмечается на

этой

плоскости

точкой

с

координатами

4

R ,

соответствующими данной форме. (Здесь в качестве

про­

странственной

координаты

был взят

прогиб в

центре

4

.однако

можно было бы взять

и прогиб в

любой

незакрешвпной точна).Так наг; дан­

ная

система симметрична,

то

для любой пары

симметричных

форм,

которым соответствуют

на данной

плоскости точки A1(^ 1 jR1) и

Аг

)»

имеют место

равенства

4, + £ 2=-240;

R,+ Rz = - 2 £ 0-

( 2. 8)

Последнее

вытекает

из

(1 ,1 2 )

и

( 2 .7 ) .

Отсюда

следует,что

точ­

ки

Aj

и

Аг

симметрично расположены

относительно

точки

С0 с

координатами

4

= ~ 4 о »

4 0,

Поэтому многообразие

точек

( 4

.

R

) ,

отмечающее все

множество

возможных форм

равно­

весия

данной

системы,

состоит

из пар,

симметричных

относитель­

но

Со

точек, т .е . оно

симметрично

относительно

точки

Со

,

которую назовем

центром симметрии.

С л е д с т в и е

Г

и з

с в

о

й с т в а

3 . О сим­

метричности характеристики „оболочки.

Если все

параметры

на­

грузок, входящие в

R

(см .

( 2 .6 ) ) ,

меняются в

зависимости

от одного какого-то параметра

р

,

то

многообразие

( 4

/?

)

будет представлять собой некоторую кривую на плоскости

4

> /?,

так

как каждому

значению

р

соответствует одно

единственное

значение

R

.

Назовем

эту

кривую характеристикой

оболочки,

(она

обычно

приводится

во

всех

исследованиях по

теории

не­

линейных оболочек). Ясно, что характеристика - это

симметрич­

ная

кривая относительно

центра

С0

(см . рис. 4 ) .

Она может

содержать

и отдельные

ветви ,

несвязанные

между

собой.

С л е д с т в и е

2

и з

с

в о й

с

т в

а

3.

Харак­

теристика

оболочки

имеет

в

центре симметрии

точку

перегиба.Иэ-

за ее симметричности вы- щр)

пуклость

должна

сменить­

ся

в

точке

Ср

вогнуто­

стью и наоборот.

След­

ствие

справедливо,

если

С0

не

есть

оообая

точ­

ка характеристики.

С л е д с т в и

е

3 и з

с в о й с т в а

3.

Пластина

имеет

в с е г - _____________

~t0

да

кососимметричную

х а -

О

7

рактеристику

о центром

Р .и

с .

4

симметрии в

точке С0(0,0),

если только

R = 0

при р = 0 .В

про­

тивном случае

С0

не

совпадает с началом координат.

С в о й с т в о

4.

(Свойства

центра

симметрии).

Форма

равновесия,

соответствующая центру

симметрии,

есть случай

вы­

прямления оболочки вследствие деформации ( т .е .

превращения ев

в

плоскость).

В центре

симметрии обе

симметричные формы долж­

ны совпадать,

т . е . ,

как

следует из

( I . I ) и

( I . I 2 ) ,

91(р )-в г (р )--В 0(р);

£ r = S fi= - 4 0 ;

R ^ R ^ - t a

(2 .9 )

ные два показывают,

что изображающая точка

есть С0 .

Функ-

ция со(р)

для этой

формы найдется из

( 2 .1 0 ) , которое

полу-

чается из

( I . I . I ) при Q(p)=-60(p)

Ц ш ) =

ef_

•(2.10,

2р

Докажем,

что если у какой-то оболочки и

существует решение' ти­

па Q ( p ) s - e 0(p), то

это будет

обязательно

симметричная систе­

параметрах

нагрузки

Р -Р ,

P f-P i,

/ -

то

подставив

его в ( I . I . 2 ) , получим уравнение

(1 .6 ) для

В0 (р)

и

гранич­

ные условия

( 1 .1 0 ) ,

обеспечивающие справе,дливость

теоремы

весьма важен для проверки

и откладки численных

алгоритмов

и программ решения задач о

деформациях нелинейных

оболочек

на ЭВМ.

З а к .188

Рассмотрим,

как

изменяется

положение центра

симметрии на

плоскости

В, R

,

если,

не меняя начальной формы,

изменять

.величину

стрелы начальной

погиби В0 ,

т . е .

рассматривать

се ­

рию

подобных по начальной форме оболочек, имеющих

различные<

по величине

В0 .

Начальная геометрия

оболочки,

_

являющейся

оимметричной оистемой,определяется параметрами

ь

р, р .

Один из

этих параметров,

например

Ц

,

можно

заменить

через

посредством

соотношения

( 2 . I I ) ,

вытекающего из

(1 ,1 2 )

Я

^ Р о Ц + /о ц + 6о £

( 2 . I I )

Отсюда ясно,

что

исследуемая _серия

оболочек

характеризуется

тем,

что

п а р а м е т р ы _ £ l , J L

должны оставаться

инварианта­

ми, меняться может только

.

Поэтому, учитывая

определение

центра оимметрии, можно утверждать,

что

вое

центры

симмет­

рии для этой серии лежат

на

биссектрисе

угла

между ос'ями ^ и

R

,

Приведем пример подобной серии оболочек.

Пуоть на

оболоч-

, ку действуют только нагрузки с

параметрами

и

у

,

а па­

раметры

из

граничных условий

(1 ,1 0 )

будут

d = 1)

Р~№

(шар­

нирное закрепление).

Тогда

ц -

т д . ( 3 + д )

60(р)= а а е ? .

16

Р

и

16

1 +<U

g

F

тд,(5+<и)

0=1 2 + Ц

64C1+/U)

Отсюда,

исключая

^

,

получим

искомую серию в виде

т ( 5 + Д )

+ £ _

е 0 (р) 58

—

32

Я -

(

ч

т ( 3 + д У

— 2 £ а (1 +д )

m p d

Г к

(2 .1 2 )

16

16

[ ц

С в о й с т в о

5 .

Рассмотрим

на

плоскости

В, R

точку

В

с координатами В~~2В 0 ,

R -~ 2 £ Q. Эта

точка

изображает

состояние

оболочки,

когда она полностью

вывернулась,

которое

9(р) = - 2 6 0(р); ш (р)~ 0; £ = -2 £ ,0 ; R=-2£;0.

(2 .1 3 )

в (р )* с о (р )^ 0 ;

£ = Я =

(2 .1 4 )

Тогда

существует

ее

симметричная форма,

определенная

по (2ДЗ)

(ом.. (2 .Х ) и ( 2 . 8 ) - ) .

Совершенно очевидно,

что

форма из

(2 .1 3 ) может

появиться,

если только

граничные условия

для

и)

будут

однородными (к

краю не прикладываются никакие

мембранные усилия),

так

как

в

противном случае

U )(p)s0

быть не

может.

Точно так же, как и в

случае

выпрямления

оболочки

(

ом.'

свойство 4 ) ,

доказывается, что

и полный выворот

оболочки воз­

можен только для симметричной системы.

В

заключение отметим, что функции из

( 2 .1 3 ) , так

же,

как

и в предыдущем свойстве,

являются точным решением системы урав­

нений

( I . I . I )

и ( 1 ,1 . 2 ) .

С в о й с т в о

6 .

(О границах

значений критических на­

гр узок ). Обычная картина возникновения на характеристике

обо­

лочки

экстремумов

и,

следовательно, появления возможности поте­

ри устойчивости в

большом

(хлопков) такова. Возьмем для

про­

стоты

случай,

когда

оболочка

обладает тривиальным

состоянием^

т .е .. когда

R -0

при р = 0

. В

случае

пластины

характери­

стика

монотонна,

кососимметрична

о центром

симметрии в

точ - :

ке С0 (0,0)

и имеет

там

единственную точку

перегиба,.

По мере !

роста

j k,QI

точка

С0

все

удаляется

от

начала

координат

и угол

наклона

касательной к

характеристике

в точке

С0,

где

кривая

имеет точку перегиба (см . следствие 2

иа-

свойства

3 ) , бу­

дучи положительным,

уменьшается.

При

определенном

значении

I £,01

(зависящим от формы, оболочки, ее закрепления и

харак­

тера нагружения),

которое

обозначим через

£ до„

угол

наклона

касательной

в

точке

00

становится нулем. При этом,

если

| £ 0 1 <

<к00

,

на характеристиках нет экстремумов.Лри_|^а,|>^00

уже появляются

экстремумы

(явление

хлопка),

число которых чет­

но и з -за симметричности

характеристик.

Каждому

максимуму с о - .

С в о й с т в о 7 .

( Аналитичная

связь между

значения­

ми критических нагрузок).

Мевду верхней

R + и нижней

R~ кри­

простая

аналитическая связь

в

томслучае, когда

R -

функ­

ция единственного' параметра

р

R+ + R~= ~2£,0 .

(2 .1 4 )

Это

соотношение непооредственно

вытекает из

второго

равенства

(2 .8 )

с

учетом симметричности характеристики.

Насколько

нам

тическая

связь

между

критическими

нагрузками

оболочек.

§ 2 .3 . Методика

определения

параметра

ё,о0

симметричной

системы

При рассмотрении свойотва 6 предыдущего параграфа было по­

казано,

что существует, точное: значение

величины стрелы

началь­

ной погиби | £ 0 |= £ ,0 0 ;

превышение

которого

приводит к

появ­

лению хлопков.

Найдем эту

величину в случае

симметричных систем,

которая

представляет

для

них наименьшее

значение

|<*0 |,

когда

характеристика имеет в центре симметрии точку

перегиба

с

гори­

зонтальной касательной,

т .е »

соблюдается

соотношение

dR

( = 0 .

(3 .1 )

dt,

Со

dR

в точке

С0

С этой целью рассмотрим методику определения

где известно точное решение,

характеризуемое

<%иными

в ( р ) = - в 0(р);

к = ~ ь 0 ->

a = - v

(3 - 2 >

При этом

и (р)~ решение

уравнения

(3 .3 ) при

соответствующих

граничных условиях,

обозначенное через

cJ0 (p).

L(bJ)

= J>o_

(3 .3 )

2р

9 = - д д и

u )-W 0 , дадим

Примем за

основное

состояние

малое

приращение сГр )

параметру р

.

в

результате

этого

в и

^

получат

приращения (/б

и

(fit) .

Составим уравнение

для

сСб .

С

этой

целью

используем

уравнение

( I . I . 2 )

■L(ei + L (d e) = - m

^ ^ f p A ( p ) d p + ^ :y ^ +

+ ~ fy ~P* I (p~C)~

( в + (?в + в а ) } .

(3 .4 )

Отсюда, учитывая, что

в

- решение ( I . I . 2 ) при

отсутствии

приращений, получим искомое уравнение7

р

В (3.5) отброшен член второго порядке,

малости <5(0 ■(5вр~. Гра­

ничные условия для (5в

даны в (3 .6 )

(см . (1 .9 )

) .

cf9(o) = 0;

01<?9'(1)+р<5в(1)~0.

(3 -6 )

где

Д и в

-

произвольные константы, входящие в

общее реше­

ние

соответствующего однородного

уравнения,

представляемое-

первыми двумя

слагаемыми из ( 3 .7 ) . Остальные

слагаемые являются

частным решением. Ввиду

того , что

все

внешние

силы меняются., в

зависимости

от

одного

параметра

р ,

можно записать

для 8~<£i и

аналогично

для остальных приращений нагрузок

соотношения типа

d % - ~ S p = Cl,(p)3p.

'

(3 .8 )

<fe(p)=Ap%(p)+[о, (р)q!+ аг(р)р'+а3 (р) Pj] dp

(3 .9 )

SP= bdp.

(ЗД О )

b = [cMai <j!+a'ep'+ a'3 Р !)+ р (а ^ + a2P‘+ a3Pl)]/p=1

(З.П )

S = [(d + fi)? ,+ <£¥*,]/p=1

(3 .1 2 )

Отсюда

•

1

=J<fe(p)dp =AK+ (Af(i'+A2P'+A3P l) dp

(3 .1 3 )

1

о

1

K -fp% (p)dp',

A = fa L(p )d p ,

i = 1,2,3.

(3 .1 4 )

о

о

С другой

отороны имеем (см .

(2 .7 ) )

(fR = (d0q!+fl0 P'+fa P i+ So0 dp.

(3 .1 5 )

Подставляя

dp

из

(3 .1 0 )

в (3 .1 3 )

и

( 3 .1 5 ) , в

итоге

полу-

чим для искомой величины

соотношение

<Л ? /

u a<t+PaP>+/,Pl+Bt j ‘)a

(3-16)

(file,

(fl,lf:*A t P'+A3P,')S-bK

При 9С =» 0

получаем,

что

9 =(d + fi)y , (1) + dL<fj(t) = 0 t

(3 .1 7 )

В (3 .1 7 )

входит

параметр

£ 0

через

член из ( 3 .5 ) ,

содержащий

Ы0 ( р ) .

Уравнение

(3 .1 7 )

будучи трансцендентным

обладает

бесчисленным множеством корней.

Это очевидно из того ,

что

рас­

смотренная задача является задачей о

нахождении

собственных чи^

сел однородного уравнения (3 .5 ) при

однородных граничных усло­

виях ( 3 .6 ) . Можно показать, что существует бесконечный

спектр

этих собственных чисел и что они все положительны (в

(3 . ^ в х о ­

дят только

четные степени

£ 0 ) [ 3 б ]

.

Обозначим

через

Q- =

= S 0

т(

i = 1,2,...)

указанные

собственные числа в

порядке

во з­

растания

их величины.. Очевидно,

что

с ,

определяет величину

искомого

параметра

£ 00 .

Высшие собственные

числа

также

име­

ют ясный

физический

смысл.

Они определяют те

значения |^ 0 } ^ для

которых Э€=0

(см .

(3 .1 6 )

) . Таким образом, каждое

новое

С±.

определяет значение

| £ 0 |,

превышение которого увеличивает

чи­

сло возможных форм равновесия при одном и том же R(p) на

две

единицы, т .е .

при 1£01 <

4

00

для

каждого

R(p)

имеется

только одна форма равновесия.

Если

4 00 < 1 £ 0 1<

(где

<*0J

соответствует

числу

С2 ) ,

при каждом

R(p)

могут

существовать

уже три решения'. И т .д .

Примеры такого

типа

характеристик,где

ведены в [ 3 ] .

Т а б л и ц а

I

—---1---

№

Вид нагрузки

Тип опоры

с,

се

^00

^01

I .

q. = c@nst

Шарнирная непод­

вижная

6

38

0 ,7 4

1 ,8 6

2 .

<j,=const

Шарнирная под-

вижная

38

193

1 ,8 6

4 ,2

3.

const

Защемление

неподвижное

20

67

1 ,3 5

2 ,4 7

4 .

у - conet

Защемление

:подвижное

55

192

2 ,2 4

4 ,1 9

5 .

Распределен-

Шарнирная не-

ные моменты

Подвижная

6

34

0 ,6 9

1 ,7 7

по контуру

(чистый изгиб)

6 .

"

Шарнирная под-

‘

.вижная

40

210

1 ,9 2

4 ,4

В табл.. I приводится сводка некоторых конкретных

данных

по первым двум указанным собственным

числам, полученных

на

о с ­

новании

численного

решения уравнения

типа ( 3 .1 7 ) , гд е было в зя ­

то

~

Т000

членов.

/Ц = 0 , 3 ,

Алгоритм решения и эти резуль­

таты

впервые

были опубликованы

в [ 2 б ] .

Первые

две строки данной

таблицы

получены .для