книги из ГПНТБ / Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек

ное

опирание, то поскольку при этом

6(1)=-р9(1), ' &(/>) не

есть

монотонная функция на указанном

участке

и ее

нуль

будет,

лежать правее р - 1

, в то время как

со (1) -

О

.

Получаем

противоречие и такие формы существовать не могут в

рассматри­

ваемых условиях.

До сих пор"мы предполагали,что 9(р) на первом участке сво -"'

его

знакопостоянства

положительна

и

со'(о)> 0 . Пусть

сейчас

<о '(0 )£ О .

В какой-то точке

Оср

£-р функция

9 (р ) имеет

положительный

максимум и тогда

L(Q(p))cO

и

со(р)>0. Поэто­

му на участке р ^ р й

р 1 функция со(р) будет

положительной

мо­

нотонно возрастающей

и все дальнейшие

рассуждения в

точности

если

на интервале

О ^ р ^ р будет

9 (р )^ 0 .Таким образом,ес­

ли 9(1)= О

или

в'(1)+рв(1)=0

и

со( 1) =0, то подобные состо­

яния

нежесткости

существовать

не

могут. Если же опора

н е-

’ подвижная ~-

(co'O h ^ ^ O h o) 7

то

поскольку со(1)ФО, то

ни­

чае рассматриваемые

формы нежесткости

не исключаются.

Остаются

также

неисключенными следующие формы

нежестко­

сти. в (р ) > , 0

, но на каком-то участке

9(р)>,2./в0(р)1 и

д(р)~

знакопеременная,

будучи на

каком-то участке

6 (р) > I в0 (р ) / .

Подводя итоги, можно сформулировать данное свойство

сле­

дующим образом.

Еоли у

сферической оболочки существуют состояния нежест­

кости, когда

со(1)=0

или

(o'(l)-p (o(lp О и

в ( 1 ) = 0

или

в '(/)+

+ р 9 (1 ) = 0

» то

они, возможно, могут

быть

только

следующих

типов.

а ) со(р) ^ 0

и 9 ( р ) ^ 0 , когда на

каком-то участке

в(р)>

участке

9 (р)

>, /9 0(р ) /.

в ) со(р) ^ 0

и /в0 (р )р

Q(p)^2leo(p)j

только

в

случае

шарнирного

закрепления,

г )

(о (р)

-

знакопеременная

и 9(р)>/0

, когда

на

каком-

то участке

в ( р )

» 2. 1 в0 (р ) /.

л )со (р )-

знакопеременная

и

9(р) - знакопеременная буду­

чи на каком-то

участке 9 (р )

> j 9 0 ( р ) / ,

е)б)(р)~

знакопеременная

и 9(р) знакопеременная,

когда

0 [ р ) Ф о (р) 1

только в случае

граничного условия

со'(/) -

- р со ( 1 ) ~

о .

Все приведенные

неисклгоченные

состояния нежесткости

должны,

удовлетворять

следующим неравенствам, вытекающим из

(2 .2 7 ) и'

из уравнений

(3 .6 2 )

и ( I .Г )

соответственно для 6 (р)

и ы(р).

На любом

интервале р о £ р

4 р

, на концах которого

в рав­

на нулю,

имеем

Р<

/

> г

J

9 ( p ) ^ jf- [d(p)+9„(p)]ctp 6 о -

(3 .6 3 )

S M

[e(pbie.(f )]dj. > O' .

(3 .6 4 )

Известно,

Л

контурных нормальных

усилий)

что при подвижном (без

и неподвижном

защемлении края пологой оболочки в

виде сегмен­

та сферической поверхности до сих пор

при

численном

решении

на ЭВМ никем не была обнаружена

ее нежесткость

(с м .,

например,

[ 21] ,

где

рассматривались случаи до

довольно

больших / $0

/).

Однако, насколько нам известно,

никто

еще

строго

не

доказал,

что в рассматриваемом случае не

существуют

состояния

нежест-

кости. Мы пытались сделать это

показом того ,

что все

перечис­

ленные выше неисклгоченные состояния нежесткости

в

действи­

тельности существовать не могут.

Однако эти

попытки

не

уда­

лись. Поэтому возникает мысль, что не

исключена

возможность

существования состояний нежесткости, которые

появляются

или

при сравнительных больших

140 /

, или не

укладываются на в е т -,

вях характеристик

(диаграмм параметр нагрузки -

прогиб),

най-'

денных

на ЭВМ.

Наличие отделённых ветвей

характеристик вполне

возможно

для

жестко защемленного

сферического

купола

(с м .,

например,

[3 ]

) .

Следовательно,

поиск

форм нежесткооти у дан­

ного типа

оболочек следует,

по

нашему"" мнению^, продолжать,

так как это имеет, как уже отмечалось выше, немалое

теорети­

ческое и прикладное значение.

Совершенно

очевидно,

что

если имеются формы

нежесткости,

то они могут появиться только при не очень маленьких

/ 4 0/

»

потому ■ что при

40 = О

(пластина)

их

н ет,"

так

как

там

(О(р) ^ 0

и тогда формы

нежесткости

отсутствуют

(свойство

3 ),

Покажем на

примере, как

в

ряде случаев

можно

подучить....оценку1

величины

j40 j , ниже которой

не

существует

форм

нежесткости

данного типа..

Рассмотрим формы типа

а )

и

б) , перечисленные

выше в случае

жесткого защемления. Применим к

в(/>)

тождество

(2 .2 7 ) на

интервале рд 4 р 4

р

t где

она

положительна

и

на концах которого равна нулю.

Тогда

получим

Или после

замены ео(р) г - )ы (р ) /

(так

как о ( / > ) ^ 0

)и

пе~

регруппировки некоторых членов последнего уравнения,

оно

при-

нимает

вид

/

9ola)l~ Q'1] } ty “

0 •

(3 ' 65)

Л

квадратная скобка и з (3 .6 5 )

отрицательна.

Первая

квад­

Вторая

ратная скобка и з (3 .6 5 )

может

иметь любой

знак.

Оценим ее

ве­

личину.

Для

этого воспользуемся

неравенством ( 3 .2 6 ) , где

tD'(p)

удовлетворяет

уравнению (3 .2 7 )

для

сферы.

Тогда

имеем в

слу­

чае подвижного

защемления

со(р)=-^ (р-ра)&0\

(3.66)

а для

неподвижного

<•>(?)*-%

р - р ‘ ) i

п

■

(3.67)

Из (3 .2 6 )

получаем

1(о(р)1& / & ( р ) 1 .

(3.68)

Учитывая (3.68),

можно

записать для первой квадратной

скобки

из (3.65) неравенство

(3.69)

в

случае

подвижного

защем.ченич

(^

*

mpltol- y «

тр/со/- ~

рА- р г)~ 'jr

■

( 8.<:У)

опары. Пусть C=1-t-p , тогда

условие

(3 .7 2 )

таково, что <*=

/,

уЗ = -

7 , / =

О (см . ( 2 .3 ) ) и,

следовательно, имеет место осо-.

бый случай.

Таким образом,

если С= i+fi ,то

решения

задачи'

фактически нет, хотя

приведенный пример вполне реален.

Тот

же

оамый эффект получится и в случае

граничных условий

(3 .7 3 )

для

со

(см . ( I . I 2 ) )

при

К =

•

ы(1)=Ы(1)=ки(1) или

(1 + Ш !-)со(1)=0 .

(3 .7

3 )

Выпадение

из

решений уравнений

( I . I )

и (1 .2 )

этих и

подобным

им реальных

случаев указывает

на

некоторую

неустранимую

в

допущениями,

принятыми в теории пологих оболочек.

С в о й с т в о

12 . Соотношения ( 1 . 17)

и (1 .1 8 )

для

по­

тенциальных

энергий

представимы

в

виде

1

Uc = * { ы ( 1 ) [ ы ( 1 ) - # а ( 1 ) ] - ,

(3 .7 4 )

О

1

Uu= §f {e(l)[e(l)+ < jQ (l)]-Jp Q L (e)df }

•

(3 .7 5 )

о

Действительно.

Подынтегральное выражение

( I . I 7 ) после

за ­

мены

с*Л

и

бг

через

<*>

(см -

(1 .5 )

) и

использования

тождества

(2 .1 7 )

записывается

в форме(3 .7 6 )

и его

интегриро­

вание

приводит к

( 3 .7 4 ) .

( р оно') '--p to L (to )- B p cooj\

(3 .7 6 )

Точно-таким же путем выводится ( 3 .7 5 ) .

Как следствие из полученных соотношений вытекают неравен­

ства

(3 .77)-,

справедливые

для

подвижных

(без

контурного

уси­

лия)

и неподвижных

опор в

случае

защерддения

иди

шарнира при

отсутствии

внешнего

момента.

I

1

рсо L ((о)с/р

£ 0

;

jpQ L(Q )dp< ,0 .

(3 .7 7 )

О

l (u)) = -2у [ в г+ г е е 0} = - ^ Ы ~ в 0г ] ■

( 4 . d

р

~ ?f pMp)dp+<A(e+e0)=Oi

/).

(4.2)

б

В (4 .2 ) отброшены члены, содержащие

сосредоточенные"

силы,

не может

[ 2 2 -

24

и др .]

. Кроме того, в0 ( Д )

должна

быть

гладкой

функцией,

имеющей хотя

бы одну непрерывную и

конечную

производную.

В

противном

случае кривизна

недеформированной обо­

лочки будет

разрывной,, что

неизбежно

приведет

к

нарушению без-

мбментности

состояния

оболочки

[ 22 -

24

и д р .]

. Также

со­

вершенно очевидно,

что

края

оболочки не

могут

быть

защемлены

и з-за

ее

безмоментности.

Покажем сначала,

что

мембранная

оболочка

является

всегда

нежесткой, в цлучае граничных условий

(3 .2 0 )

независимо

от

ве­

личины 1Ц0 1^0. Этим она отличается от моментной оболочки,

где

нежесткость может появиться только начиная с

некоторого

зна­

чения

l^ o l

. Рассмотрим

для

примера

случай,

когда в(р ) опи­

сывается выражением (4 .3 )

и

удовлетворяет

х'раничным условиям

(4 .4 ) для шарнирного закрепления без

контурных моментов.

=

При

(4 .3 )

9о(1)+< и& о(П =0.

(4 .4 )

При Q —О

система уравнений ( 4 .1 ) и

( 4 .2 ) имеет

следующие

два решения,

два состояния

нежесткости. 6 (p ) = - 0o(fi),b ri(p )

удовлетворяет уравнению 2pL(CO')=

и

доугое

решение

в(р) = ~2 &0 (р )

и

сО(р') = О.

в существовании

указанных

реше­

Предположим,

что у данной оболочки имеются два

различных1

состояния при одних и тех же внешних

нагрузках “ и

одинаковых

граничных

условиях.

Эти два

состояния определяются

соответ­

ственно функциями а)] ,

в ,

и и)2

,

вг .

Пусть

об9 о01(р)^О

воюду. Из уравнений (4 .1 )

и

(4 .2 ) можно

записать

L (a>f -u )z) = -gp

- вд2 ]

,

(4 .6 )

^Г@й1

■

( 4 .6 )

Исключая из

этих

уравнений функцию &a2 i

получим

L(U)r

------------Щ ---------- Г"~

‘

(4 .7 )

Так как по предположению обе: и>1 >

О,

то

знак'

правой

части

(4 .7 ) совпадает со

знаком функции сО/~а)г

, но тогда она долл!

на

быть хотя бы на каком-то

участке

между ее

двумя

нулями

монотонной функцией

соответственно

свойству

9

(§

1 . 2 ) , од­

нако

она

не

может

быть монотонной ни в

этом случае,

ни

на

всем

интервале O ^ p ^ f , так

как

сОг~а)г /^..рО

,

Полученное

противоречие

и доказывает

данное утверждение.

Дадим оценку

величины усилия

N > 0

,

которое

необходимо

приложить к краю мембранной оболочки,

чтобы обеспечить

усло­

вие о)(р)~^0 всюду.

Для этого

из

уравнений ( 4 .1 )

и

( 4 .2 )j

ис­

ключим

1

тогда

получим

4

2

Р

Ц М ) = - А

[ £ у г ( / p M fi) d p ? - 6 02].

(4 ,8 )

о

Граничное

условие

будет

U )(f)~N

.

Учитывая

это

условие

и

взяв для примера случай постоянной

нагрузки (Л (р~) = /)

и сфе­

рическую оболочку,

можно представить

од(р~) в

следующем виде,

если

для

решения (4 .8 ) воспользоваться

соотношением

( 2 .2 ) .

a ) l p )

+,j

/ О - S г ) & - 4 S *

Р

Зак.188

f i -

16p iJ

u)2

2

■/>

i O ^ p ^ f.

(4 .9 )

Легко увидеть

отсюда,

что

если

2 N > £ ,0 ,

то tdlp^ ^ O

Все остальные свойства, доказанные в предыдущем

парагра­

фе для моментных

оболочек, легко переносятся

и на саучай б е з -

моментных. Все свойства, основанные на изучении одного

только

уравнения ( 4 .1 ) ,

вообще

не изменяются

при переходе к

мембран­

ным оболочкам, так как

уравнения (4 .1 )

и ( I . I )

совпадают.

Уравнение осесимметричных деформаций

рассматриваемых обо­

лочек с учетом температурных напряжений могут быть

представле­

ны через безразмерные величины в следующем

виде [ 2

6 ,2 8 ,2 9 и

+ (! -.и ) ( j p r - A ' r ) ; ( о ^ р ^ 1 )

(5 .1 )

(/ V ) Bhi+,Si(/0 =f

E (p ,z,T )(z -z„)Lcfz;

_ hM

г

(L ^ 0 , 1, 2 ) ,

(5 .3 )

г

h(JE)

2

s

Здесь берется общий случай,

когда

Л

и

£

могут изменяться

вдоль меридиана оболочки, а

Е

может ^_еще

зависеть

от

z и

приращения температуры

T(P,z) . Е и

h

-к а к и е -т о

усред­

ненные

значения

модуля

Е

и толщины

h

,

вводимые для

обес­

печения

безразмерноста

используемых величин. Оточат

Z

ве­

которой

определяется из условия

Л, ~ 0 ,

т .е .

h

h

2

г

(5 .6 )

2

В

случае Е ~ const

или

Е

-

функция

только

ии~

лучаем,

что Z,p О,

т .е , срединная

и нейтральная

поверхности

совпадают.и (p,z) ~ температурный коэффициент

линейного

рас­

ширения

материале

оболочки.

Соотношения (5 .1 )

и (5 .2 )

явля­

ется уравнениями

несвязанной

термоупругой

задачи, когда учи­

тывается влияние

приращения температуры

Т

на процесс

де­

формирования, но нет обратной

связи , т . е .

пренебрегается

вли­

янием

деформаций на тепловые

процессы.

В такой

постановке воп­

роса задача об

определении температурного

поля

решается

неза­

висимо

от действия

механических

сил

как

чистая

задача теории

теплопроводности.