книги из ГПНТБ / Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек

1' 1\нв1+Мв2 \ - 0.

(З .П )

Это -

второе

искомое

необходимое

условие.

Когда

тлеют

место

соотношения упругости

( I .1 2 )

и

( I . I 3 ) ,

последнее

условие

принимает вид

(3 .1 2 ),

если

принять

во

внима­

ние ( 3 .3 ) .

г~ /

ф 0

.

S ln 0o

,\SLnCDo

.

Фо 1

„

«.к)

г ( ^ + < " - 7 г \ г г

Ь

—

+<“ т;1 = 0'

Для удовлетворения последнему уравнению при любом

f'(^)

необ­

ходимо,

чтобы

! - £ _

=

t Ln®P s

const -

у .

( 3 .1 3 1

<*о

га

Rо

Это означает, что начальная форма

оболочки должна

быть

очер­

чена

по

сферичеокой

поверхности

радиуса

R0 .

Т

2D ,

(З Л 4 )

М$1 + М%2 = Ме 1 +Мв2 =

Легко

доказать

обратным ходом

доказательства

необходимости

условий (3 .9 ) и

( 3 .1 3 ) ,

что последние являются также и

доста­

точными для существования пар симметричных форм равновесия*

,

удовлетворяющих соотношениям (3 .1 )

и вытекающим из

них равенств

( 3 . 2 ) , ( 3 . 3 ) , ( 3 . 4 ) , ( 3 . 5 ) , ( 3 .7 ) , (3 .1 0 ) и ( 3 .1 4 ) .

Это

и есть

теорема

симметрии

для рассматриваемого

случал.

Очевидно из хода доказательства, что теорема симметрии

о с т а ­

ется в силе для любой нагрузки, не

нарушающей условие

( 3 .9 ) ,

Например, в олучае действия вертикальных

сосредоточенных

сил,

удовлетворяющих

условию Pf + P2 ~ 0

, или в

случае

поперечных

следящих

сил

£

,

еоли фу+фр-О. В

последнем

случае Ру

~

= QCOS Ф

и

pH~~gsin Ф. И

т .д .

Доказательство

теоремы

сим­

метрии можно было осуществить и на базе разрешающих

уравнений

из §

3 . 1 . Для этого достаточно

подставить

туда

и 2

,

Фг

ъ

р нг , удовлетворяющих

соотношениям ( 3 . 1 ) ,

( 3 .9 )

и

(З .Т З )

и

убедиться, что при этом

и 2

и

Фг

также

удовлетворяют раз

решающим уравнениям для

оболочки.

теоремы; аналогичные доказанным во второй

главе

для

пологих

оболочек.

Из (3 ,4 ) и (3 .1 3 )

следует, что

W t(4 )+ W 2 ( $ ) = 2 / ? 0 c o s 4 .

(3 .1 5 )

Здесь

уже

учтено, что

для сферической

оболочки

( <*о~%о

(см . §

3 . 1 ) .

Будем

называть стрелой

прогиба f -

) , т .е . W

в ка­

кой-то

незакрепленной

точке,

координата

з£

которой обозначе­

на через

. Теперь

зафиксируем значение

рн

(не

уменьшая

общнооти раооуждения,

примем Рц~ О

)

и будем изучать

состоя­

при разных значениях

параметров

нагрузок p v

и

М

(внешний

контурный момент). Каждое такое оостояние будем отмечать

точ­

ной на плоскости ( f ,

М

) . Тогда изображающие

точки

для

двух

взаимно

симметричных

состояний

и

будут оимметрично расположены относительно точки

Tq

с коор­

динатами

f c = R0 COS 4 }

Mc ~ rT0 (1

так как

следстви­

ем из (3 .1 4 )

и (3 .1 5 )

являются равенства

t i + t 2 = Z t c > М 1 +М2 ~ 2 М С .

(3 .1 6 )

При

этом

Tf

соответствует значению параметра

р У1 ,

а

Т2

параметру

р У2 = - р У1.

Обратим

внимание на

то, что положение центра

симметрии

Тс

не

завиоит от граничных

условий

для функции

UГ О , т.е.

оно будет одним и тем же для подвижного, неподвижного

или

уп­

ругого (по отношению к перемещению

и

) шарнирного опирания.

Характеристика оболочки в

случае чистого изгиба

(ру =Ph=OJ^

т .е . геометрическое место

точек

Т

,

для которых

Ру-О явля­

ется кооосимметричной кривой о центром

симметрии

Tq

.

При

М - М с

и f - f c

будет

Ф = 0? т .е .

точка

Тс

изображает

состояние, когда оболочка вследствие

деформации

выпрямилаоь.

При

М= 2МС

и f ~ 2 f c

решение

будет и = 0

и

Ф = ~Ф0= ~ 4

(в чем легко убедиться непосредственно из разрешающих

уравне­

ний для сферичеокой оболочки). Имеет место выворот

оболочки.

Это и недеформированное

состояние взаимно симметричны.

Можно

доказать, что только у оболочек, изготовленных

из

линейно

уп­

ругого

материала, которые удовлетворяют

условиям

( 3 .1 0

) и

( 3 .1 2 ) ,

может произойти выпрямление

и полный

ее

выворот.

Критические

значения моментов

связаны

соотношением ( 3 .1 4 ) ,

это

позволяет ограничиться только

определением

верхней

на­

грузки, что весьма существенно, так

как

нижняя численно

нахо­

дится всегда, труднее' и с меньшей точностью,

чем верхний.

Рассмотрим

геометрические места точек

Т

,

соответствую ­

щих постоянному

значению параметра

p v

. Тогда

в

соответствие

с теоремой

симметрии кривая, соответствующая

какому-то

значе­

нию Ру

,

симметрична относительно

7^

с

характеристикой

при

-р'у .

При этом каждая из этих кривых не

есть

сама

по

се ­

бе кососимметрична (за исключением случая чистого

изгиба у0у~0).

Таким

образом, на плоскости ( f 9 М

) образуется пучок

по­

парно взаимно симметричных характеристик,

"Нанизанных"

на

одну

ный портрет,примеры которого для пологих, оболочек приведены

в

главе 2.Гестжарическоё

место точек пересечений

характеристик

это­

го деформационного портрета с осью

/

дает

решение

задачи

о

деформации шарнирно

закрепленного (при данных граничных

усло­

вий для

U )

сферического сегмента,

нагруженного только

на­

грузкой

ру

. Геометрическое

место

пересечений

характеристик

с какой-то прямой М -c o n s t

дает решение задачи

для

данной

оболочки

при

различных

значениях параметра Pv

и при

данном

фиксированном значении момента М . Геометрическое место

то­

чек Т

этой плоскости, отмечающих состояния

оболочки,

где

вследствие деформации угол поворота на ее крае

равен нулю.да­

ет решение задачи в случае жесткого защемления и действия

на­

грузки ру

(при данных граничных

условиях для

и

) .

Геомет­

рическое

место точек

Т

, для которых

угол

поворота

на

крае

оболочки

пропорционален

приложенному там

И

,

дает

решение

в

ных условий для

и ( 2?) . При этом,, зная

свойства

решений при

Р у

одного знака, можно сразу

определить

свойства

решений при

Ру

противоположного

знака.

Так

например,если-при

каком-то

Ру

.хлопков нет, то

их не

будет

и при ~ ру^Если при даннсм

ру

характеристика

будет

пересекать

прямую М-М-con st в несколь-

ких

точках, то

кривая, соответствующая ру~~ р у ,

пересекает

прямую

М-М(ГМ в стольких

же

точках, И т .д .

( f,P y )

Рассмотрим теперь характеристики в плоскости

при

Р н ~ 0

и фиксированных граничных условиях для U(<$).Ea

этой

плоскости пары точек

Sf ( f T,p Y1)

и Ss (f2}~pvt')

, отмечающие

тельно

центра

симметрии S c

с

координатами /с = ^COS^ я

Pvc~° • Характеристики будем строить при фиксированном зна­

чении

М .

Тогда

характеристика

при

М - Мс =

будет

кососимметрична относительно

Sq

• Остальные

не будут

сами по

себе кососимметричными, однако каждая

пара характеристик,па­

раметры

которых связаны

соотношением

М}+ М2 - 2 Мс ,

будет

взаимно

симметрична относительно:

Sc

.

С учетом

этих

особен­

ностей все свойства деформационного портрета в

плоскости ( f t М)

переносятся

и на

этот случай.

Отметим одну особенность.Йели при

м ~ м с

имеются хлопки, то оболочка

будет при этом обязатель­

но и нежесткой, так как критические нагрузки связаны

соотно­

шением ( 3 .9 ) .

Мы рассмотрели свойства деформационных портретов,

когда на

оболочку

действуют М и p v .

Очевидно, что

то

же самое

бу­

дет иметь

место

и для

нагрузок

М и

£

(следящая

поперечная

н агрузка).

М

и

сосредоточенная

сила

Р .

Одним словом для

всех нагрузок,

допускающих применение теоремы

симметрии.

Теорема симметрии имеет место и для плоских

деформаций

непологих арок. Только в этом случае уравнение

(3 .1 4 )

записы­

ваемся

в

следующем виде.'.

MJS) *-Мг ($ )=

Z E J

■

(3 .1 7 )

- z -

к о

В случае бесконечно длинной •оболочки,

очерченной по

круговой

цилиндрической

поверхности, E J

надо

заменить

на

-D

.Поэто­

му и в этом случае имеют место все

вышеописанные

свойства ре­

шений и деформационных

портретов.

Из хода доказательства ясна,,

что теорема симметрии остается в

силе

как

для целой

сферы,

так

и для

замкнутого

кругового кольца

при деформации в

его

плос-

Зак ,188

кости: и бесконечно длинного кругового цилиндра,

нагруженного

поперечными нагрузками,. В заключение еще раз отметим,

что если

пренебрегать £ по сравнению с единицей, то теорема

симметрии

вовского типа в общем виде.

Теорема симметрии

становится

спрат

ведливой, если дополнительно

к допущениям

£ ^

1

принять,что

малы и производные от £

и оболочка

вместе

со своими формами

равновесия - пологая.

Таким образом,, можно утверждать,

что

симметрия

является

свойством определенного класса оболочек,

а не

свойством

урав­

В заключение отметим, что в

работе [ 5 2 ]

приводятся

час­

тично уточненные уравнения типа Э.Рейсснера,

где

учитываются

некоторые

добавочные

члены, которые

имеются

здесь.

£

Можно идти еще дальше по этому пути и учесть также

в

упругих соотношениях,

связывающих внутренние

интегральные си­

ловые факторы о перемещениями,

что

частично

сделано

в

[ 5 1 ] . ,

Для арок

это сделано

в работах автора [ 5 5 ] .

Эта

теорема,весьма

полезная

для

изучения деформации

арок,

названа в

[ 5 3 ]

теоремой

Альфана, а

в

[ 5 4 ] утверждается,

что

она принадлежит

Марбеку!

Поэтому

будем

ее

называть так , как ука­

зано в

заглавии.

Содержание этой

теоремы

следующее. Рассматри­

вается

плоокая арка произвольной формы,

испытывающая деформа­

следящего давления

ф .

Рассмотрим

произвольный

деформиро­

ванный участок

ЙВ

оси

арки,

показанный

на ри с.

9 .

Система

внутренних сил,

действующих

в

сечении

й

,

сведена

к

глав­

ному вектору Рд

и главному

моменту

Мд

. Проведем через точ­

ку $

вектор

Гд

, перпендикулярный к

Рд

, длина • которого

равна

_ ря

(4 .1 )

Я •

Полученную таким

образом

точку

назовем "центром си л ".

Тог­

да в

соответствие

с

теоремой Альфана -

Шрбена

имеют место

за ­

висимости

где /д -

в? - лИ

рв -*• гв

( 4 . 2 )

вектор,соединяющий центр сил с

произвольной тонной 8

Мв = Мд +

2 Сгв

г я ) -

( 4 . 3 )

Если

взамен точки Й

выбрать

точку

О

где

Мп=0, то

М.в

" г

( 4 . 4 )

Назовем, следуя Марбеку, ”окружно-т

стыо узлов" онружнооть с центром в

точке

С

и радиусом

/^.Очевидно,

в точках пересечения оси арки

о

этой окружностью изгибающие момен­

ты равны нулю и в сечениях

арки,

участки оси которой находятся внут­

ри и вне окружнооти узлов, изгиба­

ющие моменты имеют

противополож­

ные знаки. Если на концах арки нет

изгибающих моментов,

то

центр

ок­

ружности

узлов лежит

на

перпенди­

2

и с .

9

куляре к

прямой, соединяющей

кон­

оечениях

перпендикулярны к последней.

Приведем ряд

полезных

следствий из данной теоремы.

Как

следует

из (4 .2 )

и ( 4 .3 ) , в точках, где. Га

принима­

ет максимальные

(минимальные) значения,

величины \Р$\

и ^ *

ч мд -мя )

также

принимают

максимальные

(минимальные)

значения ■

экстремальное

значение, лежит внутри интервала изменения

Гв

,

то там же

4=0. Это и з-за

того , что

в

местах,

где

М(Г)шввч

экстремальное

значение 4 = 0 .

Если спроектировать все силы, действующие на участок ЙВ ,

оси арки (см .

рис. 9 ') на

ее

хорду

и на направление,

пер­

пендикулярное к ней, а также составить

уравнение моментов,

то

имеют место соотношения

я * 2

(4 .5 )

Тд ~Тв i Sfit'Se

где

Тй

и 5д -проекции Рд

соответственно на хорду и на нор­

маль

к ней ;

t - длина хорды.

Все

эти

замечательные

свойства,

вытекающие из

данной

тео­

ремы, которые

здесь приведены не в с е ,

получены

на

основании

чисто статико-геометрйческих

соотношений и поэтому они

спра­

ведливы для любых материалов

независимо

от их. реологичеоких

свойств. Указанные свойства

справедливы

и для любого

участка

деленное следящее давление, независимо

от

того, какие нагрузки

действуют на остальную часть арки,

§: 3 ,5 . Решения

некоторых простейших задач

теории

непологих оболочек и арок

а) Цельная

сферическая оболочка

радиуса Rq под

дейст­

вием следящего

давления С^-const .

В случае сферической оболочки удобно брать % -Фо

Далее, в атом случае p v = ^ c o s 0 ; р н = - ^SinФ. При этом

у > 0 ,

если давление действует снаружи.

задачи в форме Ф-Ф>о~^,

Будем рассматривать решение этой

посредственной подстановкой в уравнения ( I . I ) ,

( 1 .2 )

и

(1 .9 )

легко.убедиться, что они допускают следующее решение

для

рас­

сматриваемого случая:

=

= ^

=

const.

М^ = Мв = const ;е^ =еа =const

Ы= Rн c o n s t

•

г -

R sin %; V - - 7r ;

И

- - ~

c o s ^

; Q = 0 ;

= ]fg - j - c o n s t i

w =(R 0~ R )co s£

■

(5 ,i) _

R RoO^S-^} —радиус деформированной

оболочки.

Его

величина,

а также значения моментов могут быть

определены,

если

заданы

реологические (физические) соотношения. В случае линейно

уп­

ругого

тела и когда упругие

соотношения представлены в

виде

( I . I 2 ) ,

(1 ,1 3 ), значения

не найденных

выше величин даются фор­

мулами

i+& '

Mz,

R0(i+ e $ y

’

п _

г# о (1 -& )

(5 .2 )

W

Я -

2 E h

'

Wn

~ радиальное

перемещение

точек срединной поверхности,4Tq-

бы раскрыть качественную карти­

ну деформации,

приведем на рио,

10

характеристику

оболочки,

т .е , зависимость

безразмерного

параметра

нагрузки

от

,

построенную на

база

соотноше­

ния ( 5 .2 ) . Характеристика

со­

стоит из

двух

непересекающихся

ветвей , изображенных на рис. 10

сплошными линиями,, й

взаш&о

симметричных относительно

точ­

ки С(-1,~1) .

Р

и с .

10

Рассмотрим наиболее интересную ветвь I .

При

> ~ / (спра-

в а )< ? -> ч‘- 0 0 , т . е .

для

того , чтобы

сфера

сжалась в

точку,необхо­

димо бесконечно большое давление.

П р и ^ -> ~ /

(сверху)

-> +о°у

т . е . при действии

давления изнутри может произойти потеря устой­

чивости

при растяжении,заключающаяся в

том,

что

при

внутрен-

— .

о р и

нем

давлении'’ 0=

—— \ >

радиальное перемещение

VV/? =

Я с-

но,

Ко(<~Ю

п

уже

нельзя

считать

.

что при этом толщину

постоянной,

му учтем

это

изменение

так, как

это делается в

[ 27 J .

В [2 7 ]

дается следующая

зависимость для

переменного h =

= ~2ha e^

при <и=0,5 .

Тогда

характеристика

$ = / ( £ * « )

описы­

вается соотношением (5 .3 )

и имеет

вид,

изображенный

штрихпунк-

тирной линией на рис.

10.

е в~г£^

(5 ,3 )

8 - ------ при

<11-0,5.

При этом

У кр (соответствующая

экстремальной

точке

на

первой

ветви штрихпунктирной

кривой

на

рис.1 0 )

находится по Формуле

9 * р ~

. £ h 0

при

= 0,5 .

( 5 .4 )

Это очень близко к значению,

полученному в

[2 7 ]

, и

примерно

в восемь раз меньше,

чем без

учета

изменяемости

h

в

процесг

се деформации. Все эти явления не могут быть выявлены в

гео ­

метрически

линейной постановке,

где

характеристика

-

это

пря- „

мая линия,,

уравнение

которой

0 = - 6 ^ . При этом

следует

обра­

тить

особое

внимание

на

то ,

что

та

же линейная

характеристика

получается и по приближенным уравнениям рассмотренных в

[ 4 2 ] ,

когда

в ( Г Л ) и ( I .2 >

of

и

А*

заменяются

на

оСа

и Г'д ,

т .

е ,

когда

отбрасываются

В

по

сравнению с единицей. Ясно, напри­

мер,

что для резин и полимерных

материалов

£

является доволь­

но большой величиной

в области

пропорциональности

[ 5 6 ]

.

По­

ное значение.,

так как

найденная

выше

величина критической

на­

грузки

может

оказаться

меньше предела

пропорциональности.Ес­

ли же

(}кр по формуле ( 5 .4 ) дает

напряжения выше предела:

про­

порциональности, то изученные явления

будут качественного

ха­

рактера и для

их количественной

оценки

необходимо вводить

фи­

перь вопрос

о потере устойчивости по

осесимметричным

формам

состояния,

определяемого соотношением

( 5 .2 ) . Применяя

для

этого

мой в [& 7 ]

г

и взяв за основное состояние

нелинейные

соотноше­

ния ( 5 . 2 ) , выведенные

без упрощенийдопускаемых в [ 5 7 ]

,

полу­

чим следующие уравнения,

для определения

критического

пара­

метра устойчивости

Y

:

+(з<"-0 6 г] + /[1 + б р С1+#) +

+3 (2^ V

~ О Ь'*+ ~ ^

i > 4} +

[2

)+

+ (4<и 2+<и - 3 ) £ 2] + (f +<и 2') [ м г~С1~<“ 2')6 г] ~Of

(5 .5 )

где

^ =(1+^1 В ;

t=12fz

Величины наименьшего положительного корня этого уравнения

при­

ведены в табл..

2 при

£т=о,3 • Значения критической нагрузки

по уравнению (5 .5 )

практически совпадают

с числовыми данными,

полученными

по

классической

'формуле

Цолли-.Чейбензона

^21Е ^

Т а б л и ц а

2

_6i

i

5.

10

20

30

40

50

iooo

X 0.064I6I 0JD2772I 0.019447 0.013673 0.0П136 0.0096308 0^00860491

(при £ 1 -0 ,5

) .

Однако наши значения немного

превышают

клас­

сические,

что

также

обнаружено в

[ э з ]

. Так

например,

при

Ь -

= 10000

имеем классическое

■—= 0£Ю1452,апо нашим даншм 0Д)1479 ;

при Ь2

=

40000 классическое.

= 0,000^ 63,

а

у

нас 0 .0 0 0 3 6 6 .

Эта разница монотонно убывает о ростом

.

Таким

образом,

можно считать

доказанным,

что учет геометрической

нелинейности

практически

не меняет классическое критическое напряжение1.

Как

показано

в [57^

и

[ б г ] ,

исследование

потери

устойчивости

ос­

сравнению

с осесимметричным случаем не дает.

В заключение отметим, что наряду

с

решением ( 5 .1 ) ,

когда

Ф ~ Ф 0 ,

уравнения

( 1 ,1 ) ,

(1 .2 ) и

(1 .9 )

допускают и решение,ос­

нованное

на равенстве

Ф = —Ф0 -

Характеристика для этого случая приведена

на рис.

10

в ви­

де

двух ветвей , проведенных штриховыми линиями.

Это

означает,

что

оболочка вывернута

наподобие рукава,

. наизнанку, и при

этом

£ >

О действует изнутри вывернутой таким образом оболочки.

По­

добное решение в упрощенном виде, когда принимается £

< < :/

(при

этом характеристика

есть прямая линия) получено

также

в

[58J .

б) Задача о вывороте круговой цилиндрической оболочки

под

действием распределенной по периметру торцов

равномерной

мо-

ментной нагрузки.

Если ось цилиндра совпадает с осью Z-TO&, то для

данной

задачи можно применить

уравнения ( I . I ) ,

(1 .2 )

и ( 1 .9 ) .

Тогда.

<P0 = J

>

§ = z o 7

=

(5*6)

Легко убедиться непосредственной подстановкой,

что при

соблю­

дении (5 .6 ) уравнения

( I . I ) , (1 .2 )

и

(1 .9 ) обладают

следующим

решением:

ft

d = w ^ o j

-

£ ffs O;

<*

= /;

;