книги из ГПНТБ / Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек

(§ 1 .2 ) получаем,что ы, (р) -ыф) > О, И з-за

этого

правая ч асть(3 .9,

будет положительна и согласно свойству 9

(§ 1 .2 )

функция В) (р)~

граничных условий

f 3 . I I )

(учитывая,что 9,(0) -

61(0) =0) ,

ука­

занная

Функция монотонной

быть

не может.

Итак,

единственно

возможно,

что

6фр)=вг(р).

^

2) Случай 91(р)+9г(р)&0 и

9,(р)-в, (р)ё 0

сводится

факти­

чески к предыдущему, если

принять во

внимание

пункт

г )

рас­

сматриваемого

свойства,

3)

9,(р) + ег(р)>0

и

в,(р)~ вг(р)4 0 .

Противоречивость

этого

случая

доказывается

точно так же, как и в

случае

I ) .

4)

Случай

Q1(p) + ez(phQ и

Q,(p)-9z(p)>P сводится

к

пре­

дыдущему вследствие пункта г ) данного свойства.

5)

Предположим,

что

9, (р)+9z(p)>0, а

9фр)~в1^ - з н а к о -

переменна.

04р -<pf

Пусть для определенности на первом интервале

зна

копостоянства 9,(р)-9г (р)

она

отрицательна

(на

концах

ин­

тервала ее значения нулевые). Тогда на этом интервале

правая

часть (3 .8 )

будет

положительна

и равна

нулю только

в

точках

р = О

и Р = Р ,

-

в какой-то

точке

0<р <р ;

,

функция

в,

- вг

должна

иметь

отрицательный минимум и,

следовательно,

правая

часть (3 .9 )

при

р ~ р

должна быть 1голожителъной.

Поэтому,

как легко

установить, должно быть

(о,(р)-ь)г (р)

> 0 .

Учитывая

это обстоятельство и что правая

часть

( 3 ,8 )

положительна,

мож­

но утверждать, что

на

полуоткрытом

интервале

0 < р ^ p t

функ­

ции oj, (р) -

ojz(р )

нуля

иметь

не

может,

так

как

это

проти­

воречило бы свойству

8, г

(§ I - 2 ) .

Поэтому

ю,-(Ог

может иметь

следующий нуль

только

в какой-то

точке

р

>р{ -На

следующем

интервале р 4 р 4

р &

знакопостоянства

в1 -

6г

она будет

иметь

положительный максиьум в какой-то точке р

<р

р г

и поэтому

cj1 (р )-cj2 (р)^0•Тогда р р р с р .

Второго

нуля

функция СО,-(Ог

иметь на данном интервале ' не может потому,

что

это

противо­

речило бы первому

неравенству ( 2 .4 3 ) ,

Таким образом,,

начиная с

точки

уэ

,

после

каждого

нуля

в, ~ вг

следует

(строга

правее)

один нуль

(J,

ыа

При этом

на каждом участке

знакопостоян-

ства

в ,

-

д 2

функция

-

со,

иметь

только

один нуль.

Расгютрим последний

интервал

р

4 р 4

/

знакопостоянен

ва 0г~вг

,

Если

и),-(Ог

удовлетворяет

первому

условию

( 3 .1 0 ) ,

то получаем противоречие,

так как ее нуль

в точке

р

=

7

будет

совпадать или находиться левее соответствующего нуля

функции

О - 0 2

, что невозможно.

Остается

поэтому рассмотреть

только

случай второго

условия

( 3 .1 0 ) .

0, - 9г

На рассматриваемом

интервале.

монотонной

быть не

может и з-за граничных условий ( 3 . I I )

и пусть

для

определенно­

сти она

имеет

в точке

р

с р *^

1

отрицательный

минимум.

Тогда

(о, - (Ог

будет

иметь нуль

в

какой-то

точке

рп с р \ р

и на участке

р * ^ р а 1

она будет положительной,

'

Применим

для уравнения

(3 .8 ) соотношение

(2 .2 7 )

на

интервале

р

с р &1.

Имеем тогда,

если

учесть

( 3 .8 ) :

-

I M z * b m - e i l d e . = f W,-< u a) ( V -

) j ^ h

r

(cO,-(Qt)‘

\

+

I

I

-

[(а ,

со'г )\ ~ р (ы,-й)в)] dp

. (3 .1 2 )

2

"

P

Р-I

* *

Интеграл

из

левой

части

(3 .1 2 )

больше

нуля.

Посчитаем

правую

часть

( 3 .1 2 ) ,

которую обозначим

через

а

.

В

силу

второго, у с­

ловия

( 3

.1 0 ) ,

получаем

Y ^ r ^ z f d f

± ( > f -L)(a>1-

« , / /

~

гГ j

p i

fy

-

((0, ~ Ог) / c O .

(3 .1 3 )

p,

P

P*i

Последнее неравенство

получено

посредством неравенства

Шварца

[ ? ]

Г

в

I *

*

*

Jcf(p)F(p)dp

4 j? * (f)J p

J

(3 .1 4 )

О

- 1

cf

Q

При этом браяось

Неравенство (3 .1 3 ) показывает, что (3 .1 2 ) может

иметь

место,

если только

вг(р) = вя(р) и

в a>gQo)rт . е .

в данном

случае

имеет место

единственность решения.

6) Случай df(p)*e2(p)^ 0

и 9}(р)-9г(р) знакопеременная функ­

при принятых условиях относительно нагрузок функция

в

долж­

на быть знакопостоянной. Таким образом, все возможные

вариан­

ты

исчерпаны и данное совйство

ж)

полностью

доказано.

Приведенное доказательство охватывает большее число

слу­

чаев,

чем это указано в

условиях данного

свойства.

Оно

спра­

ведливо для любых нагрузок,

если

только

9, + в 2 и

Of

вг

одно

временно

знакопостоянны

или

когда

9, + дг

-

знакопостоянна,а

91 -

в 2 -

знакопеременна.

Физический смысл доказанного

свойства заключается

в

том

(как

уже

отмечалось выше), что при

заданных

условиях

у

пла­

стины не может произойти потеря устойчивости в большом

(хло­

пок), как , впрочем, и в малом. Это справедливо, ели опора

не­

подвижная

или подвижная,

когда контурное

усилие

Л/ >

0

и по­

перечные

нагрузки

- все

одного

знака

или равны

нулю и их

знак

совпадает со

знаком

контурного момента

М

или

М = 0 .

В

частности,

здесь

доказано, что пластина не

может

быть

нежесткой

по терминологии

И.ШЗоровича

[ 1 7 ]

, т .е .

при

ну­

только одно единственное,

тривиальное ( 0 = 0

,

(0 = 0 )

состо­

яние равновесия. Однако из

изложенного вовсе

не

следует,

что у

пластины не может быть потери устойчивости в большом.

Наоборот,

нам представляется,

что

такое можете

произойти

(хотя

на

первый

взгляд

это кажется парадоксальным), исходя из следующих

физи­

ческих

соображений.

Если

поперечные

нагрузки

например,

поло­

значениях указанных

нагрузрк хлопок вероятен, так

как

дейст­

вие поперечных сил превращает фактически пластину в

оболочку,

а дополнительное воздействие

моментов может вызвать

хлоно'к,

з ) Как указывалось при обсуждении свойства 2

за счет

при­

ложения к краю пластины положительного нормального усилия

N

можно добиться того ,

чтобы

со(р) была монотонно

во зр аста ­

ющей положительной функцией и тем самым избежать потери

устой •

чивости цо неосесимметричным форам.

Найдем величину N> О, обес­

печивающего

данное условие. Покажем,

как

это

сделать

на

при­

мере, когда край пластины защемлен

( в ( 1) = 0 )

я

действует

равномерно распределенная поперечная

нагрузка

9 >

О .

Тогда

согласно пункту

д ) данного

свойства

в(р)>уО

и она

будет до­

стигать своего максимального, значения

в какой-то

точке

Q*~j> <

< 1 , где правая

часть (3 .5 ) будет принимать

отрицательное зна­

чение (свойство

ПГ §> 1 - 2 ) .

Отсюда,

если еще учесть, что

ц(р)>

0

, Р = Р ,=

0

и

u (j})^ o,

получим неравенство

п , Ы р )в (р )

ЧР

или

0

< в (р )<

ЧР*

(3 .1 5 )

р

2

г щ р )

Последнее неравенство может быть усилено

следующим

образом.

Из-за монотонного убывания функции

j j f

(ом .

пункт а )

данно­

го

свойства)

и грничного условия (ои)= Ы> 0

,

можно

записать,

что

~-j!p

N .

Отсюда, усиливая

(3 .1 5 ).,

можно записать

а

o * e ( p ) < Y N

'

(з.хв)

С другой стороны,

применяя

( 2 .4 )

и

(2 .5 )

к

и (р )

,

получим

1

(3.17)

ы'(р) =

dA

9*с/л J >

f

о

о

Отсюда со (p) > 0

, если только

16

(3 ,1 3 )

Зак.188

Разум еется, что (З .Г 9 ) -

только достаточное условие и действи­

тельная нижняя граница

значений

N , при которых нет

потери

устойчивости

по

неосесимметричным

(тан

и по

осесимметричным)

формам,может

быть

ниже,

чем по

( 3

.1 9 ) г

но во

всяком

случае

N > 0 .

Соотношение

(3 .1 9 )

остается

в

силе

и в

случае

шарнирного'

закрепления,

когда М =0

, так как

в этом

случае

ничего

в вы­

мального значения внутри интервала

( 0 ,1 ) ) . Таким же путем, как

было

выведено ( 3 .1 9 ) ,

могут

быть

получены аналогичные

соотно­

шения при других нагрузках

и граничных условий для

в ( р ) .

С в о й с т в о

4 .

Для каждой

оболочки существует

нижняя

граница возможных значений

а) (р)

, еоли пооледняя

удовлетво­

ряет

одному из условий

СО(1)= N

или

(о '(1) - £1й) (1) = 0 .

(3 .2 0 )

Эта граница определяется соотношением (3 .2 6 )

и не

зависит

ни от граничных условий для

9(р )

(если последние независимы от

со

) , ни о< поперечных

нагрузок

и значений контурных

момен­

тов

М .

9

(р) и со(р)

Для доказательства

этого свойства представим

Для 9

в виде

в(р) = в(р ) + вА(р ); ы (р)= й (р) <ыа (р) .

(3 .2 1 )

в(р)

- известная функция, вид которой будет определен

ниже.

ы(р)

есть решение уравнения (3 .2 2 ) при тех

же граничных усло­

виях,

чт.о и для

со(р) ;

L (w )— j p [ e * + 2 e e 0] .

(3 .2 2 )

Тогда

подставляя

в и со

в форма (3 ,2 1 ) в

уравнение

( I . I ) и

учитывая ( 3 .2 2 ) ,

получим

уравнение для ьол (р ) '■

(3 .2 3 )

Граничные

условия

для

соА

имеют,

исходя

из (3 .2 0 )

и ( 3 .2 1 ) ,

ый(1)=0

или

о'й

(1) = 0 .

(3 .2 4 )

Пусть

Q(p)=-Q0 (p), тогда уравнение

(3 .2 2 )

примет,

вид

г

L ( " J = - | r

;

вй = е + в0 .

( з .2 5 )

Применяя к.

ы&(р)

, удовлетворяющее уравнению ( 3 .2 5 ) ,

свойот^

во

4

(§ 1 . 2 ) ,

придем к выводу,

что

Ыл(р)Ъ-0 .

Поэтому

<о(р) > (J (р)

,

(3.2& )

где

oj(p)

-

решение уравнения

( 3 .2 7 ) , полученное

из (3 .2 2 )

за­

меной

в

на

- в 0

,

при граничных условиях ( 3 .2 0 ) .

= ^

.

(3 .2 7 )

Свойство

доказано*

Оно представляет

существенный интерео

для

снизу величине напряжений, а также

определить их знак*

что не­

маловажно, например, для

оболочек

из железобетона

или

других

армированных материалов.

Из доказанного свойства вытекают мно­

гие полезные

следствия,

позволяющиекачественно описать

пове­

дение оболочек. Рассмотрим некоторые из них. Разумеется,

при

этом предполагается,

что

соблюдаются условия ( 3 .2 0 ) , часто

встре­

чающиеся на

практике.

С л е д с т в и е

I

и з

с

в о й с т в а

4 . Имеет мес­

то неравенство (3 .2 8 )

при любых поперечных нагрузках,

контур­

ных моментов и произвольных граничных условий для

Q .

({,, (р )Ъ

и,

в

частности

6^(0) = d?(0)^> Ь)'(0) .

(3 .2 8 )

Из (3 .2 1 ) имеем

_

4

=

=

“L

+

.

Л

Р

Р

Р

К

PL + cj' ( 0 ) - 6>'(0 ) .

(3 .2 9 )

<*ь(Р) _

-

to'(o)~ oi'(0) > 0 .

Р

"

Р

Р~°

Объединяя (3 .2 8 )

и

( 3 .3 0 ) ,

получим

+€У(о)-и'(о).

(З.зо)

со'(f)

°г

Р

+г[и(о)-й'[о)] . (3.31)

Оно вытекает

из следующего

соотношения,

полученного посред­

ством тождества

(2 .2 3 ) с учетом

(3 .1 )

и (3 .

2 1 ),

Р

Р

2.

—-- J - |

-yj- dp +• й}' + ^

- 2 со'(0 )+ 2 й)'(0 ) .

о

Неравенства

типа

(3 .2 9 ) -

(3 .3 1 ) весьма

существенны

также

при использовании алгоритмов типа метода начальных

параметров

для. численного

решения на

ЭВМ

краевых задач

рассматриваемой

теории.

Такого

рода методы широко применялись, в

частности,

в [ 3 ] .

Посредством

этих неравенств можно также оценить

вели­

чину контурного

N

по известному

значения

со1(0) .

С л е д с т

в и е

2

и з

с в о й с т

в

а

4, Если

к

краю оболочки приложить контурное

усилие

N

, удовлетворяющее

неравенству

;

- с/л

,

(3 .3 2 )

то (О(р)^0

Hi

следовательно, d^(p)^0

. Действительно,

если

выполняется (,3,.3з), то с5'(0)>0 , так как

со (р)

удовлетворяет

уравнению' ( ,

27)

и поэтому

u>'(0 )~N

|

J ( t

Л£)~ ^ ~

d * .

(3 .3 3 )

Тогда сЗ(р) будет

о

монотонно возрастающей функцией

(см .свойство

8, пункт в ) §

1. 2)

и так

как

ъ)л(р )> 0 ,

то

получаем,

что

ед(р) » 0.

С в о й с т в о

5 .

Пусть удовлетворяются

неравенства

( 3 .3 2 ) . Выведем для

оболочек

неравенство

типа

( 3 .1 9 ) ,

которое

одновременно

обеспечит

и знакопостоянство

(о (р )

.

Первым де­

лом покажем,

что

при выполнении неравенства

(3 .3 2 )

будет иметь

место

г

а г

Ы(р)&[ы-^

(3. 34)

Ы л]р^й'(0 )р .

о

В самом деле,

используя

(2 .2 )

и ( 2 .4 )

для

(1.1),

имеем

* 2

Р

г

-1

Я

u(f)=p[N‘ I J (1-л2) ~ х ~

J (р рЛ) \ Ва-во

(3 .3 5 )

о

о

Отсюда пооле проотых преобразований:

ю(рУ~ р[ы~ \

(1

|(7-Л*)

f

+

Р

«

в

гР

\{р - р - ) т Ыя+Т р } ^ Л^

(3 .3 6 )

Из последнего

и

( 3 .3 4 ) ,

и

( 3 .3 3 ) .

следует

если учесть

Рассмотрим

некоторые

свойства

функции

вл

,

уравнение

для

которой имеет

вид (3 .3 7 )

при

= const .

L( f 'J ■=V ,

П1е

V - L (в„)~

+

J™. дл .

(3.37)

Предположив,

но

/ t()J > 0 ; 0o ll)4 0 ;y & 0

и

d ( f ) = 0

(жесткое #

защ е:пение).

8 случае пологой

с)ерической

поверхности

шлеем

@о&)"2*оР

Р (В о ) ~ 0

. Поли

В0 (р) = 4 t0 (р -/>*), то

L.(Q0) =.

= -

32

4gj3 &Q

,

так

как

$д < о .

у 4 0

означает, что

рас­

пределенная нагрузка действует изнутри оболочки. .Далее

имеем,

что

^ ( D - e c n + QoCO^eJi)

4 о

(3 .3 8 )

Ясно

поэтому,

что

0 Л

не

может

быть всюду

положительной

функцией.

Qa

не

может

также

быть

знакопеременной,

так

как

на

участке,

где

она положительная и

V^O

согласно

свойству

8

(§ 1. 2)

0л

должна быть монотонной, что

невозможно,так как

на

концах

указанного

интервала

в а

обращается

в

нуль.

Итак,

всюду

9Л L 0 .

Рассмотрим возможные

здесь случаи.

I )

Пусть V(p)>s 0 .

Тогда

jOa j^

бГ

ил?|’

учитывая

(3 .3 4 )

К

Ц-

2 тохШо)-< т/ч!

'

(3 ,3 9 )

’

гда

2 т

Цри этом

предположим,

что

6)(0)ф 0

. .Далее, если

использовать

( 3 .3 5 ) :

6 л

(I У ) £ d*

N " 4 j 0 - * )-чг d n ~

0

р

]_

а * - Ы',0 ) -

~4

1

> й '(О У

1

2

2

1

О а,'г(0)

*

0