книги из ГПНТБ / Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек

того, рассматривается ли линейная или нелинейная пластины, либо

нелинейные или линейные пологие оболочки.

Наличие в уравнениях ( I . I )

и (1 .2 ) линейного

оператора

L ( ) ( с м ,( 1 . 4 ) ) , (входящего

в

уравнение С.Жермен

указанного

выше типа, и в

уравнение для функции напряжений в

случае

осе­

симметричной плоской задачи теории упругости) есть

следствие

частичной линеаризации

(1* 1)

и (1. 2),

связанной с понятием

по­

логости,когда

з(п0 « 8

и cos

в s: 1 .

Метрика

поверхности

принимается близкой к метрике на плоскости, Необходимо

подчерк­

нуть,

что

при выводе указанных уравнений

принимается

допущение

о

пологости как

начальной, так

и деформированных

форм

обо­

лочки.

9(р)

из(р).

Запишем краевые-условия для

и

Их

должно

быть четыре, так как система ( I . I ) и ( 1. 2) имеет

четвертый по­

рядок. Ввиду осесимметричности задачи при р -- о

имеют

место

условия

Q(q)=0 ;

(J(o) = О .

( 1 . 2 0 )

Соотношение

(1 .2 0 )

означает также,

в

частности,

что

напряжения

и

afy,

должны быть

конечными при

р = 0

(даже

когда

Р *

0

).

Два других граничных условия при

/>=1

записываются,

исходя

из

условия закрепления края оболочки. Степень подвижности

края

в

плоскости

плана

оболочки

обуславливает

г;. -.шинные

условия

для

функции ю ,

а

условия,

накладываемые

на

Q

,

определяют

ог­

раничения

в

отношении

поворотов

нормалей к краевому .

контуру

срединной поверхности. В подавляющем большинстве

случаев

гра­

ничные условия для

0

и

w

независимы

друг

от

друга

и

могут

быть представлены в

виде

линейных комбинаций:

Ы1в'(1)+о/г в(1)

= &3

;

А *>'(1)

- А

,

(T .2 I)

где все числа из каждой тройки

сх(

или

p L

не

могут

одно­

временно

равняться

нулю.

При

Ы1= Ы3 =0 и

<*(

= /

имеем

слу­

чай жесткого защемления. Когда край

оболочки

шарнирно

оперт

и

там приложен активный изгибающий момент

Мг (1 ), то

с(=\,о(г =

<и

и

Ы3 = М^(1)

и

Когда край оболочки может беспрепятственно

передвигаться

в горизонтальном направлении, то

д

= р3 —О и

д

^

7 .

Коля

же при этом

приложено активное

усилие

/\/Л(7

),

то уЗ --?0

, д . - /

,

уЗ = Nr ( l ). В

случае линейного упругого опирания по

отношент

к указанному

перемещению (и (1) =п Nr(1)), то уз = /,yas

= -(^ / + ~ T -j

рании

/»,=

/, / 2 Г I й »

/л = 0

•

При наличии

сосредоточенной

силы

Pf

уравнение

(1 .2 )

распадается

на два.

На участке

О & р

с

член

с

Рг

отсут­

ствует,

а

на

интервале

с < р <

1

он имеется.

Тогда

необходи­

мо произвести стыковку двух решений на различных

интервалах.

Ее условием

является

непрерывность

функций в(р) и и) Гр) и

их

первых

производных

в

точке р = с

.

Что

касается

условий(1 .2 0 }

и ( I . 2 I ) ,

то

они остаются в силе.

§ 1 ,2 .

Некоторые

свойства уравнения L ( ip) - J

Конструкция уравнений

системы

( I . I )

и

(1 .2 )

имеет

вид

(2. 1 ) :

L ( t ( f ) )

= f(p)'>

( 0 4 р ^1)

,

(2,1.

где

L

-

оператор

( 1 .4 ) , Поэтому

изучение

уравнения (2 .1 )

позволит получить ряд интересных качественных свойств

решения

системы

(1 ,1 ) и

( 1 .2 ) .

Соотношение

(2 .1 )

есть

линейное

уравне­

ние типа С.Жермен, изучение решений

которого

значительно

проще

нежели

нелинейных.

'^щее решение уравнения ( 2. 1) представимо в следующем ви­

де:

Р

а

(2.2)

rl (p )= flp + j r

+ 1

J(p-- j>

А и

В

о

где произвольные

константы

находятся на граничных ус­

ловиях.

Если

функция

f

интегрируема

на интервале

[О,

I.J

*

,

из условия

конечности

р(р)

при р -

о

получим,

что

Я=0 .

По­

этому примем во всех исследованиях,

что В*О . Естественно,что

при этом A -

t( (0)

.

Пусть

граничные

условия

при

р

=/

заданы

в форма

,

(2 .3 )

где

и

у

не

могут одновременно равняться

нулю.

Тогда.

к

Впредь все функции рассматриваются

на

интервале

0 ^

Г

+

;

< х + р Ф о .

(2 .5 )

Соотношения (2 .4 ) и (2 .5 ) могут

быть также получены посредст-

вом функции Грина К (уэ,я) для

i

самосоггряженного

уравнения

P L ( r i =2 j > W ) - - p - =0

( 2. 6 )

при однородных условиях

(2 .7 )

[ 5 ]

>?(о) = о

и

(1)= 0 -

(2 .7 )

Тогда

1

?(/>) = J

— j) + JK {j> . *)a f(*)d * ,

( 2. 8)

'

0

где в данном случав функция Грина при о( +JZ ФО

имеет

вид

К |>, Л ) = <

(2 .9 )

- » ? )

np" / » Л'

d.+ J 3 ф 0

цию Грина и в форме

( 2 .1 0 ), так

как интеграл из (2 .8 ) - одно

из частных решений неоднородного

уравнения (2. 1),

удовлетво­

ряющее условиям ( 2 .7 ) .

1

«

7 ( f ) = cf +j r +J

(2 Л 0 )

0

ством. Неинтегрируемость

j ( p )

имеет

место,когда

на оболочку

действуют сосредоточенные силы

Р

или

Pt

. В

этом

случае

справедливо решение (2 .8 )

через функцию Грина. Пусть

U p )

_

р

' Р 1 ( р - с )

(2РГ4

f

Тогда решение ( 2. 8 ) принимает

следующий вил

при

сУ <р /

о

О

_г JL

Р (

Ы.

(о7 > ) ] д

2 \о(*р

~ 1 ~ с* — 1/1с

ПРИ Р С

ф ч г у * "

при гГ*

' • Г

ОС-Р

•

гле

*

= « 7 J

Приведем некоторые основные свойства Функции Грина Л(/'. т)

необходимые в дальнейшем.

К

-

непрерывная Функция.

гимчот .

ричная относительно своих аргументов

(к (р

л) -

к <я .р))

и

имеет

разрыв первой

и последующих производных

в тпчде

/■ - Я

Например

дК

Lim

ЭЛ

lim

J

р »я*о 9/

р~я-о др

Я

К

-

решение уравнения

( 2. 6 ) всюду, кроме

точки

р

я

при

граничных условиях ( 2 .7 ) ,

Легко видим, что

К ( р , а ) * о

при

ЯР

> - »

■

(У /Ь:

Физический

смысл

Л

следующий. Она является

фуикпаш'*

влияния от единичного сосредоточенного воздействия,

р-г.споло-

генного в точке

р *

Я

. Это явно показывает интеграл

из(.2,В )

Перед тем как переходить к изучению

свойств

решений

уравнения (2. 1 ) приведем

ряд

соотношений и

тождеств,

являющих­

ся

хорошими средствами

исследования

указанных

решений.

( Л / Ь / ' А

( г А 'п

Интегрируя

( 2 .1 7 ) ,

подучим

Р

2

г

+

.

(2 .1 8 .

В ряду случаев удобно ввести

Z

х

по

формуле

новый аргумент

р = е ~*

т

(2 .1 9 )

Тогда уравнение ( 2 .1 ) преобразуется в

SL±

= e "zxf

; (о «

x £

»

) .

(2. 20)

dx

*

Рассмотрим ряд тождеств. Интегрирование по

частям

позволяет

записать соотношение ( 2. 21),

откуда

следует

тождество

( 2, 22) .

J / Y

fp )o ^

=f""1[fl'~(n-l)i[]+n(n-

■ (2 ‘ 2 1 )

P

P

<( / '//У ("

\р

f /’7‘У-"О гЯ /

'hi] I

<2,22)

1

{

-5

Из

(2 ,2 2 ) как частные случаи

вытекают

следующие

необходимые

дня

исследований

тождества,

полученные

с

учетом

того , что

Г( (0) ■=0 :

0

о

j / / t

- / ( ? ' - - f - . )

(при / j= 2 ) .

(2 .2 8 )

0

/

Справедливость этого утверждения вытекает из общих теорем

существования и единственности решения задачи Коши

для

обык­

новенных дифференциальных

уравнений

(с м .,

например,

L 34 ]

) ,

С в о й с т в о

2

(положительной

определенности

опе­

ратора

L

) .

При

q'(0)2

0

и

f ( j } ) ^ 0

решение

задачи Коша

у ( р ) ъ

О ♦

Правильность

этого утверждения

сразу

следует

из

(2 .2 )

при

8 = 0

,

если

учесть

что

Д=у'(0).

Тоже

самое

можно получить, если воспользоваться

решением

задачи Коши в

форме ( 2 .1 0 ) .

Таким образом

оператор L ~ само­

сопряженный и положительно определенный, что

существенна облег­

чает исследования

свойств решений уравнения

( 2. 1) .

р

,

С в о й с т в о

3 .

Если

/

-

нечетная функция

то

и

р

нечетна,

т . е . tj(~p)=-tf(p)u

наоборот.

Из

нечетности

ip

следует

также

нечетность

f

.

Справедливость первого утверждения непосредственно выте­

кает

из

(2 .5 ) или

( 2 .8 ) ,

если

учесть,'

что

неопределенный ин­

теграл от нечетной функции есть четный и что

К(р,Я)

-

нечет­

ная функция от

р

.

Второа утверждение сразу

следует

из

(2 .1 ),

так как производная от нечетной (четной) функции -

.четная

(не-?

четная) .

у ( р )

Все

рассмотренные

ниже свойства

относятся

к

решению

краевой

задачи

(2 .3 )

для

уравнения

( 2 .1 ) .

С в о й с т в о

4 .

Еоли

&)f(p)

знакопостоянна?

6 )6 i? " ы р ~ ~ * г ! (Р)

или

У =

0

(sign х

означает

знак

se = - - г - н -

-

/

то

y ( f )

также

зна­

а

)

;

в )

константа

<*+/>

знаку j( p )

у(0) Ф- 0 .

копостоянна,

ее

знак

противоположен

и

Знакопостоянство у (р)

и

ее знак

следуют

непосредственно

иэ

(2 .8 )

и свойства

(2 .1 6 ). функции Грина.

Можно-доказать это

свой-

ство

и путем небольшой

перестройки

решения в

форме ( 2. 5 ) . Тан

как

и

/

имеют противоположные

знаки,

при

аг

=s

~ 1

константа

y'CojfQ

и имеет

тот же

знакг что и f ( p )

,

как

это

видно

из

( 2 .3 1 ) ,

полуденного

из

( 2 . 8 ) .

1

(+р +

дк$У~

■

(2 .3 1 )

При этом

надо

иметь

и

следует

из

(2 .9 )

в виду,

что, как

ЭК fo,Я)

при

зг >-

1

др

Зак.188

ГОС. ПУБЛИЧНАЯ

17

Н А У Ч Н О -Т Е Х Н И Ч Е С К А Я

Б И БЛ И О Т ЕК А С С С Р

Условия,

накладываемые в данном свойстве на f ( p )

и константы

d , p

и

у

для

обеспечения

знакопостоянства

ij(f) ,

являют­

ся достаточными, но совсем

не необходимыми. Например,

пусть

= ~

- Тогда

4 (J > )± J^ J > - £ r (® + x - 2Sf

l+ 16^ -

Приведенная f(j>)

знакопеременна

( 1(0ГЦ - °,s

I f ( 0 =-Q $), одна-

,

ко легко

установить,

что при этом

О, если ^-+*

« О

и

[X > -

1

. Такой же пример можно привести,

когда

f

(J3) - нечет­

ная функция

(когда

f(j>)=~3j).+ 2,Sj))

. Следовательно,

и

для

более узкого класса

функций

/

может наблюдаться

случай,

когда

f

знакопеременш,

а ^

-

знакопостоянна.

Таким образом,

об­

ратное, по отношению к свойству

4, положение не верно.

Из

зна­

копостоянства

£

не следует

знакопостоянство

f

.

С в о й с т в о

5 .

Если

&)f(p) знакопостоянна ; б ){»(0)=

* 0

или

sign q '(О) =

sly n

/

,

то

i?(f)

и

Ц(р) тоже

знако­

постоянны и их знаки совпадают

с

/

• При этом,

естест ­

венно, jp -

монотонная функция.

В= 0

•Если взять решение ( 2 .1 )

в виде (2 .2 )

при

,

то

зна­

копостоянство

у

и

Tf'

и

совпадение их

знаков

с sign

f

непосредственно вытекает из (2 .2 ) и

( 2 .3 2 ) .

Последнее

получено

дифференцированием

(2. 2) .

р

(2 .3 2 )

о

Когда f (р) имеет особенности типа

( 2 .1 4 ),

положение

следую­

щее. Член, пропорциональный

Р

в

выражении

( 2 .1 5 ),

для

р

не имеет

производной при

о = О

Пт у'(р) = -

о о sign

Р

(2.33)

и поэтому

д'(£)

при любом сколь

угодно

малом

Е

> 0

всегда

имеет

знак,

противоположный

Р

и

условие

б)

настоящего

свой­

ства

не может иметь места.

Р,

,

Рассмотрим решение,

соответствующее

действию

силы

представленное

в

форме ( 2 .1 5 ),

если

положить там

Р = 0

.В

этом

случае

•

J -

Inc);

( o * c < t ) ,

(2 .3 4 )

где

Г = ф р

'

Пусть

Г^

0

и у'(0) &0

при

Р, > О,

что_соответ--

ствует

условиям данного свойства. Тогда,

как это

следует

из ( 2 Л 5 ) , У((р)

и ч'(р)

будут

положительными на

интервале

р г. с .

Рассмотрим второй интервал, т . е .

р

»

Для

этого

найдем

у'(уо)

на

этом интервале:.

( £ - 1 - 2 Ь р ) ] ; р > 0 .

(2.35)

Так как

Г > 0

и

^ ( о )^ 0

, то из

(2 .3 4 )

имеем

r>ijr Р,(1-с2--£ - Inc) .

(2. 36)

Отсюда,

если

учесть ( 2 .3 5 ) ,

получим

Таким образом свойство полностью доказано.

Сравнивая последние два свойства, можно

заключить,

что

поведение

у

,

когда f ( p )

знакопостоянна, во

многом оп­

ределяется

sign tf'(0)

. Когда

sign у1(0)

= — signf(p)

или

знакопостоянна и

sign у = -

sign f

(имеет место свой­

ство

4 ) или

у (р ) - знакопеременная (не соблюдаются

условия

свойства

4 ) .

Например,

пусть

f

= д р 3; (у >0)

и

y Y o ) = —

т|^Тбг-

да из (2 . 2)

получим у (Р)--^Ср-Чр1), которая

знакопеременна.

Если

же

sign

у'(0) = sign f( p )

,

то имеет

мест® свойство 5.

Роль g f(0)

в

поведении

д(р)

видная также из

следующе­

го

свойства.

6. Если f ( p )

С в о й с т в о

знакопоетоянна, т®

-

монотонная функция

и

sign (j£-)=

sign f •

Цри этом,

если

а )

соблюдаются

условия

свойотва 4 ,

то

maxj^jPI =I?'(°)1 ’

(2 .3 7 )

б)

имеет

место

свойство 5, то

(2 .3 8 )