книги из ГПНТБ / Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек

функции ю (р) > , 0

И (л)'(р)ъО

, Т .е .

всюду

(р )

з-О

и

<5у (р)

> 0

и опасность потери устойчивости как

по

симметрич­

ным, так

и

по несимметричным формам

маловероятна.

Аналогичные

неравенстша

могут

быть установлены и в случае

шарнирного

зак­

репления ( в ( 0 *■р

9

( 1) ~ 0 )

и для любых отрицательных

попе­

речных

нагрузок.

Рассмотрим случай положительной нагрузки, т .е . когда

она

действует со стороны выпуклости оболочки. Для

упрощения будем

изучать сферическую оболочку, у которой

90 (р) =

0р

и

£ 0 .

По-прежнему, пусть

край защемлен

(9(i)~ 0)

.В

рас­

сматриваемом

случае

L (в0) s о ;

L (вЛ)~ V ;

.

0 . 4 6 )

Граничные

условия

Ba (l) = 2ta c O ;

вА( 0 ) * 0 ,

(3 .4 7 )

тогда

ясно,

что

9Л

О

всюду

быть

не

может.

Следовательно,

или вй ( р)

4

0

или она знакопеременна. В первом

случае

всю­

ду

V (р) й Q,u)(phO

и з -за неравенства (3 .3 4 )

и поэтому,

как

следует из

свойства

В

(§

1 . 2 ),96 (р)

-

монотонная функция.

Во

втором

случае

0 а

может

быть отрицательной

только

на

одном ин­

тервале,

правый

конец

которого

есть р = 1 .

Это

снова

есть след­

ствие

свойства

Я

(§ 1 .2 ) , так

как на участке,

гда

&0

име-

ем

О и,

следовательно,

9Л там монотонна.На других учаот-.

кат,концы которых находятся внутри интервала

( 0, 1) ,

6 А будучи

отрицательной,

не может быть одновременно монотонной,

так

как

на

концах этих

участков

Вь

обращается в нуль. Таким образом,

наибольшее

значение

Ва (р)

может принимать или в

точке

р = J5 i 1,

где

она

имеет

положительный максимум

или при

1 .

В первом

случае

V fp)^0

(свойство

I I ,

§ 1 . 2 ) ,

Тогда

получим:

0 * 9 л (р )х

а Б1

г

'

Или Учитывая

(3 .3 4 )

2 соф )

9а (р) 4

] Г § щ

*

где

ь > '(0 )*0 .

(3 .4 0 )

Повторяя выкладки,

приводящие к

( 3 .4 1 ) , получим в итоге

искомое

неравенство

в

виде

SI

или

й'(0 ) >\J 4-

\о

Во втором случае, когда

/пах |0Л |= 2 1

$ 0 1 , получим,

ис­

пользуя тот же

подход, что

и в ( 3 .4 1 ) :

Таким образом,

если

I

(3 .5 1 )

о

где

всюду

<5Л = 6 у

ъ

и .

Следует подчеркнуть, как и в случае пластины,

что

получен­

ные неравенства являются лишь достаточными условиями и они

не­

сомненно могут быть в ряде случаев улучшены, т .е .

минимальное

значение N , при котором

и

6 у >

0

будет

меньше,

чем по

приведенным оценкам.

6.

С в о й с т в о

Известно,

что

ларактериой чертой дефор

мации нелинейных оболочек является возможность

существования

нескольких различных форм равновесия при одних и тех же

значе­

ниях параметров внешних нагрузок.

Число таких форм может

быть

весьма большим и оно растет

с увеличением стрелы

W0(0 )

началь­

ного подъема

оболочек

(с м .,

например,

[ з ]

) .

Таким образом,

ре­

шения краевых задач

рассматриваемой

теории оболочек могут

быть

многозначными в

существенной степени.

Докажем в

овязи

с

этим

следующее свойство, из которого вытекает ряд полезных

следст­

вий.

Если cd(j3)^Q

, т о ’.все

различные решения,

за исключением мо­

жет быть одного, которые

могут существовать

при данных

значе­

ниях параметров внешних нагрузок,

удовлетворяющие

одним и

тем

же граничным условиям

таковы, что

любая

пара

из

них

не может

иметь

обе

знакопостоянными с

одинаковыми знаками.

Это

оз­

начает, в частности, что

все

эти решения,

за

исключением

может

быть одного,

имеют

в£ ^

0

,хотя

бы на какой-то части

интервала

[ 0 , 1]

и что

все

9 д 1 ,

за

исключением может быть двух из

них,зна­

Зак.188

41

Для рассмотрения этого утверждения возьмем любую пару

та­

ких решений, которые,

очевидно, удовлетворяют

уравнениям

(3 ,8 )

и

( 3 ,9 ) ,

граничным условиям

(3 .1 0 ) и

( 3 . I I ) ,

где

0 £ заменены

на

в Л1

. Доказательство будем вести

от

противного.Тогда

оно ?

совпадает с доказательством первых шести

случаев

свойства

3,

пункт ж ) . г

6,

С л е д с т в и е .

Г

и з

с в

о й

с

т

в а

Если

од(р)

0 , то при любых отрицательных или равных нулю

попе­

речных нагрузках

и контурном" моменте

М ^ О

имеется

только

одно единственное

решение, когда

д'о (D + V

^ О '

(3 .5 2 )

Последнее условие соблюдается, в частности, в случае

сфери­

ческой оболочки.

В 0 (р )

£ О и

При этом предполагается,

как

и ранее,

что

L(Q o ) > 0 .

Длядоказательства

этого

следствия

рассмотрим

сперва

случай

защемленного края. Тогда

i

ел ( 1) = е 0 (г) * о .

(3 .5 3 )

участке- - ': изменения

р

должно быть

вл (р)> О. Поэтому

ука-

: занный участок находится

или внутри

интервала

0 ^ Р

^ /,

или

примыкает к точке

р =

1

, если

во (1)=0. При этом в обоих

слу­

чаях на концах этого участка

ва

обращается в

ноль,

т .е .

она

не может быть там

монотонной.

Это обстоятельство

противоре-

|чит свойству 9 (§ 1 .2 ) ,

так

как вл(р)

удовлетворяет

уравне­

нию

(3 _ 5 4 ), если,

например,

у ~ const.

Ш л) = Ш 0 ) ~ ^ р + ^ 9 л .

0 . 5 4 )

Если

L (60)t- 0 ,у £ 0 , г о » 0

и 9Л> 0 , то правая

часть

(3 .5 4 )

положительна и согласно

указанному свойству 9 на данном

уча­

стке 6д(р)должна быть монотонной. Противоречие,

доказывает

рассматриваемое свойство

в

случае

жесткого защемления,

спра­

ведливое и когда

(3 .5 2 )

не соблюдается, так как последнее ни­

где

не использовалось

до сих пор.

Рассмотрим слузай шарнирного опирания, когда

граничное

условие

для

вй

имеет вид

вл (1) + /( вй( 1) =

e0(l)+^9o (t) 4

0 .

(3 .5 5 )

Боли

9d(l) & О

,

то фактически имеем предыдущий

случай.

Бо­

ли же

вй(})> 0

,

то из ( В .55)

следует,

что тогда

в * ( 7 )< О

и на

участке,

примыкающем к j j

= 1

, где Вл (р) > 0

, она ока­

жется

немонотонной.

Получено

снова

противоречие,

и

следотвие

доказано.

Из

этого

следствия вытекает ряд полезных выводов,

а)

Из доказательства

этого следствия ясно, что оно спра­

ведливо

и в

более

широкой облаоти:

если

поперечная

нагрузка

Ц (р)

=

<}Л(р)

такова,

что

(см .

уравнение

( 1. 2 ))

Р

тН1

L

(

9

0) > 0

;

(04 f

4 t)

,

(3 .5 6 )

а также,

О

к

шарнирно закрепленному контуру приложен контура

когда

ный момент

удовлетворяющий неравенству

в'0 (1) + р в 0 (1) +Мг (1)4 О .

(3 .5 7 )

Это

означает,

что

нижнее критическое

значение Параметра

наг­

рузки

ц

не

может

быть

в рассмотренном

случае меньше

значе­

ний

Ц

,

удовлетворяющих неравенству ( 3 .5 6 ) .

б)

Если приложить к краю оболочки растягивающее

уош ие,

удовлетворяющее условию

( 3 .3 2 ) ,

то

такая

оболочка

не может бнтА

нежесткой независимо от. вида поперечной

нагрузки как в

олучае

защемленного

закрепления края,

так

и при его

шарнирном

опира­

вши,

если

соблюдается ограничение

( 3 .5 2 ) .

Следуя

И.И.Воровичу

[ 1

7

,

будем называть

оболочку нежесткой цри данном N ,

воли

при

нулевых значениях

всех

остальных параметров внешних ак­

тивных нагрузок имеется одно единственное решение (состояние

равновесия).

Справедливость

доказываемого

вывода

следует

из

того,что

при удовлетворении

N

условию (3 .3 2 ) всщду cj(/>) > 0 .

Тогда

оболочка

не

будет

нежесткой в соответствие со следствием I

из

свойства

6 в

случае

жесткого защемления края и для

шарнирного

4-N > £

.

(3 .5 8 )

При

N =0

нежестокость

сферического

сегмента обнаружена,

на­

чиная

с

соответствующего

,

при шарнирном

закреплении

в

ряде

работ

[18,

1 9 ,

3 , 20

и

д р .]

.

Приложение# в

соответ­

ствии

с

(3 .5 8 )

снимает

эту

нежесткость, что

весьма важно,

так как

нежесткость

оболочек

не позволяет

вести

расчет

по

нижней критической

нагрузке,

являющейся тогда

отрицательной.

в )

В

случае

чистого

изгиба

оферичёекой

оболочки

при

1

2

(см .

3 .5 8 )

имеется

только

одна форма

равновесия

N >-jjr

$0

для любого

М ,

удовлетворяющего условию

М + 2 $0 ( 1 +<и) 4 о ;

а о £ о ) •

(3 .5 9 )

Чистым изгибом

условимся

называть деформацию,

происходящую

под действием краевых моментов

М

при отсутствии

каких-либо

поперечных нагрузок.

Правильность

данного

утверждения

вытекает

из

неравенст­

ва ( 3 .5 7 ),

которое

переходит

в

(3 .5 9 )

в

случае

сферической

оболочки.

Это обстоятельство интересно тем,

что

приложение

к

краю

сферической

оболочки усилия

N

в

соответствие

с

неравен­

ством

(3 .5 8 ) ликвидирует

опасность потери устойчивости

в боль­

шом в

случае

чистого

изгиба.

В

самом

деле, как

показано

в

§ 2.2 (свойство 6) нижнее критическое значение

М

в

случае

чистого

изгиба

сферической

оболочки""не'

может

быть

больше

2/40 / (!* - {{)

.

Таким образом,

если

соблюдается

( 3 .5 9 ),

то

нижняя критическая нагрузка

отсутствует, следовательно, нет

и

верхней.

Вывод о существовании единственной формы

равновесия

для

всех

М

,

удовлетворяющих условию

( 3 .5 9 ) ,

остается

в силе,

отрицательная поперечная

нагрузка.

С в о й с т в о

7

,

В случае гибкой пластины для

под­

вижных и неподвижных

опор,

когда удовлетворяются граничные у с-

С в о й с т в о

8.

Если; а )

В (р )~ 0

или 6

(/>)> 2fd0 (p)j

(в0 (рМО) всюду, то

6}(р ) > /

0

,

когда

о>

удовлетворяет

гра­

ничным условиям для

Ц(р),

обеспечивающим справедливость

CBOftt

ства 4 ( § %.2). При атом бу (р)

4

(р)^ б )

О^ в (р)^ 2 /80 (р)}

всюду,

то

функция

о ( р ) £ 0

при

тех

же

граничных

условиях

для нее,

что

я р первом

случае.

Тогда

6 f (p)> df.(p) .

Действительно.

В случае

а ) правая часть уравнения ( I . I )

отрицательна.

Применяя поэтому свойство 4 (§ 1 ,2 ) к

( I . I ) полу­

чаем, что всюду 4\(р)>0

. Для доказательства утверждения,

что

при данных усдрриях

б £ <*Л

достаточно воспользоваться

со­

отношением (2 .4 3 )

применительно к

уравнению ( I . I )

для

ь>(р) .

откуда

следует, что

о ' ( р ) - ^ р ^

^ ^ f(p)~ ^ b(p) ^ 0 .

Вторая

чаоть

рассматриваемого

свойства

доказывается точно

так.

же.

Это

свойство

и м ^ т

место,

в

частности,

для

неподвижных

(несмещающихся) опор, а

также

для подвижных,

когда

Л/Л (/) > Q

в случае

а ) и

Nh ( f ) $ 0

для

случая

б ).

В

случае

б)

формы равновесия

оболочки лежат

внутри про­

цией

W0 (р) , я зеркальным отражением последней

о плоскости,

перпендикулярной к

оси вращения, а в первом случае

формы рав­

новесия находятся вне указанного пространства.

В самом д ел е .

Если 0^Q^2j6^l, то пользуясь ( 1 . 14) и ( I . I 5 ) ,

имеем

0 ^ w(p) & - 2 \ы0 (р) или для уравнения деформированного

меридиана у (р)

получаем

Эти неравенства

и

доказывает

последнее

утверждение в

случае

б ).

Аналогично и для случая а ) .

Состояния

в(р)~< О (в(р) > 2/в0 (p)j)

в “ случае’

жесткого

защемления или

шарнирного опирания (без

контурных

моментов)

не

могут

осуществиться, если у (р ) >/ О

(ц(р)й О),

так

как если

это

имело

бы место,

получилось

Ш ' ’противоречие-’

со

свойством

4 (§ 1 .2 )

применительно~к’" уравнению

(1 .2 )

для функции

в

(р )

То

же самое можно утверждать для состояний

О - 6 в б / 0 о /

и

во £ в -

2 / в0 /

соответственно при

у(р)& О

и

<J (р) > О ■

С в о й с т в о

9 . Если со (р) удовлетворяет

граничным

условиям,

обеспечивающим

справедливость свойства 4

(§ 1 . 2 ) ,

то

в случае,

когда

а )

в(р) ^ 0

имеет

место неравенство в(р ) >,Qnn (/>) ,

где

вп/1 (р )

- решение

той же граничной задачи при тех

же нагруз­

и при этом

'*'(р)>,

wn„ ( о ) .

б)

О £

в(р )£ 1в0 (р)1

справедливы неравенства в(р)

6

4 9 п /р )

>

" (р )^ *пл(р) ■

> в пп (р )

;

в )

/00 (р)\£ в (р)

± г 1% (р) 1 * будет

в (р )

” (/>)

0 »>.

г )

В (р) > 2 / 6 0 (р )I

имеем

в ( р ) £

в л/1 (р )

;

w (p )±

vv/w \р) .

Для доказательства этих утверждений запишем уравнение

( 3 .6 1 ) ,

которое

вытекает из

уравнений Софи

Жермен и

( 1 .2 ) .

L ( e - e „ , ) ^

f a ( e +e0) .

(3 .6 1 )

Так как

в

случае

а ) в£= О

, то

вследствие свойства В

ео > О

и поэтому

правая

часть

последнего ""уравнения

неположительна,

тогда

применяя

свойство

4

(§ 1 .2 ) к

(3 .6 1 )

получим,

что

в - Вт >

О .

Отсюда,

если

использовать

( I . I 4 ) ,

W -v/m

>у О .

Первое утверждение

данного

свойства

доказажГ.

Точно

так же

доказываются и остальные положения этого свойотва.

Неудивительно,

что

в

ряде

случаев

у

гибкой

оболочки или

плаотины прогибы меньше, чем у жесткой при тех же

нагрузках и

опорах.

Это обстоятельство

легко

объясняется

тем,

что

у жест-^

кой (линейной)

пластины отсутствуют мембранные

напряжения, а |

у гибких оболочек или пластин они имеются, которые, как

видно '

из данного свойства, могут

существенно

влиять

на

величину

про-

!

гибов

гибких объьктов.

С в о й с т в о

10.

(О возможных

формах равновесия

сфе-

1

рической

оболочки

в состояниях

нежесткости).

Условимся

н аэы -,

вать

состояниями

нежесткости нетривиальные

(деформированные)

состояния оболочки при нулевых значениях всех параметров внеш­

них нагрузок,

если

таковые,

естественно, существуют. Как

от­

мечалось

выше,

вопрос

о

нежесткости

оболочки

имеет

сущест­

венное значение, так

как если она не будет нежесткой

(нижняя

критическая

нагрузка

больше нуля),

то расчет можно вести

по

нижней критической нагрузке, что; очевидно, значительно

безо­

паснее, чем по верхней. Поэтому выяснение вопроса о

возможных

формах равновесия в состояниях нежесткости представляет

боль­

шой интерес,

тек как

зная эти формы, можно установлением спе­

циальных подкрепляющихся элементов

затруднить или даже

ликви­

дировать возможность образования указанных форм, тогда

следу­

ет ожидать,

что такая

подкрепленная

оболочка уже не

будет не­

жесткой.

В качестве модели для рассмотрения данного вопроса

возь­

мем оболочку сферического очертания.

Рассмотрим различные варианты знаков функции ы (р) в слу­

чае подвижного (без опорных нормальных усилий) и

неподвижно­

ев

берется или в

виде

жесткости защемления

или шарнирного

закрепления без контурных изгибающих моментов.

1)

Если (о(р)^-О

,

то как

было

показано

в

следствии

I

из свойства 6, оболочка

не

может

иметь

состояний

нежесткости.

2)

Пусть оо(р)4

0 . В

этом

случае

не могут

существовать ни­

какие

состояния

(в

частности,яеж есткости)у

которых

0(р)4.О

или

8 (р) > 2 1в0 (р) I, так

как при этом

будет о ( р ) > , 0

(см.

свойство 8) . Состояния

нежесткости, для которых

0.4= В (р)

4

^jQ0(p)j, также не

могут

существовать,

когда

о (р)4 О,

по сле­

в

виде

L (9 )= ~ оо(в + ва); (е0 {р>-г% р 4, 0) .

(3 ,6 2 )

В

силу

принятых условий правея

часть

(3 ,6 2 ) положительна

или

равна

нулю и поэтому

и з -за

свойства 4

(§

L .2)

получается,

что

9 (р )4

0

.

Противоречие

доказывает

невозможность

сущест­

вования

подобных

состояний

нежесткости.

Формы равновесия

типа

(в 0 1 4

в

4

2 /во !

исключаются

в случае

жесткого

защемления

и не

исключаются при шарнирном опирании-

В последнем

случае

9 (р )

- немонотонная функция. В

самом деле. При

защемленном

опирании

9 (0 = О

и поэтому

в ( 1) '/ /во1~2/$о1>0 и

подобные

формы невозможны.

Шарнирное опирание

позволяет

существова­

ние подобных форм и тогда

граничное

условие

при

р

1

дае'1

в‘(П = ~ р в ( 1)± о ,

что указывает

на

немонотонность

в(р),

так

как

в '(О) > 0

•

у которых в(р)~

Перейдем к исследованию форм нежесткости,

знакопеременная функция, но такая, что

в(р) й /ва (/>) /.

Их быть

также не может. Действительно. Правая часть

(3 .6 2 )

всюду поло­

жительна. Следовательно, на участке, где

6(р )> ,0, она

должна

быть монотонной, что не может быть,, так

как

на концах

этого

участка

в

принимает нулевое

значение

или

в'

на

его

кон­

цах принимает значения с противоположными

знаками

(в

случае

шарнирного

закрепления

ВО )).

Итак,

остались

неис-

ключенными состояния,

когда Q(p) > ,0

или

знакопеременна,но

при

этом на каком-то участке

должно быть

6 (р)>,1в0(р}/.Одним оло­

вом,

вй (р)

при этом знакопеременна.

3)

и (р)

~ знакопеременная функция.

В этом

олучае

сразу

исключаются все состояния, приводящие к

знакопостоянной

функ-f

ции напряжений <о(р)

. К

таким формам

относятся

в ( р ) & 0

;

О ± & (р )- ? / 90(/)h 9(ph2fOJ(p)l (см .

свойство 8) .

Докажем

не­

возможность существования состояний нежесткости, если 6 (р) бу­

дучи

знакопеременной

удовлетворяет

неравенству 0 (рМ f90 (p)j

и опирание

подвижное (ь)(1) = О) .

Пусть для

определенности на

первом участке

своего

знакопостоянства

0 £

р

& р %

функция

Q(p)>/Q.

Если

при

этом

со'(0)>0 ,

то

<^ур) будет на указан­

ном участке

монотонно

возрастающей

функцией

(свойство

8 ,

пункт

в)

§

Г . 2) , так

как

правая

часть

уравнения для

со (р )

( I . I ) неотрицательна на рассматриваемом

интервале

изменения

аргумента.

Следовательно,

первый нуль p g }I-

О

функции

со

бу­

дет

находиться

строго

правее

точки р

.

На

следующем

участке

р

&р

^

знакопостоянства

в (р )г где

она

есть

неположи­

тельная функция, в(р }

должна в какой-то

точке р - р

иметь

от­

рицательный минимум и поэтому

L (в (р )

> О

тогда, как

сле­

дует

из

( 3 .6 2 ) ,

когда

имеем

со (р ) £ О .

Поэтому p g £р

■Сле­

довательно,

на участке

р

р

^ р 3

функцияь>(р) будет

мо­

нотонной и поэтому

ее

следующий нуль р

у р 3 .

И т .д .

на

всех

участках

знакопостоянства

в ( р ) .

Каждый

нуль со(р) кроме

р = О должен находиться

строго

правее

соответствующего

ну­

ля б ( р ) . Рассмотрим

последний интервал

знакопоотоянства

G(р) ,

правый конец

которого

есть

р -

1

,

Если на краю

имеет­

ся жесткое

защемление,

то р -

1

-

одновременно нуль

как

для

в

,

так

и

для

со

,

что невозможно.

Еоли

жеимеется шарнир-

о 8к♦188