книги из ГПНТБ / Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов

3. Промежуточная опора

Наличие в трубопроводных системах обвязки промежуточ­ ных опор, имеющих конечную жесткость, определяет необходи­ мость электрического моделирования трубопровода с сосредото­ ченной жесткостью (или обратной ей величине — упругой подат­ ливостью) .

Необходимо различать два вида податливости в трубопро­ водных системах: угловую податливость и податливость на пе­ ремещение. Первая связана с изгибом трубопровода, вторая — с его перемещением.

Примером упруго-податливой опоры может служить крепле­ ние трубопровода хомутом (рис. 42).

Трубопровод 1 при помощи хомута 2 и стержня 3 крепится

Для нахождения электрической схемы, моделирующей упруго-податливую опору, представим механическую схему про­ межуточной опоры в наиболее общем виде (рис. 43) .

Если угловая податливость в сечении А равна в\, а податли­ вость на перемещение е2 (см. рис. 43), то для сечения А трубо­ провода справедливы следующие соотношения:

У А ~ еЛ л ' ®.4 = ег^д>

где величины с индексом «Л» относятся к сечению А трубопро­ вода, или

80

Для величин QA и МА можно записать из условия равновесия для сечения А

М А — М( + )— -М(-> и Qa= Q(+) — Q(_).

Тогда уравнения (207) примут вид

а индуктивность Ь2 моделирует податливость на перемещение е2. Найдем условие тождественности уравнений, описывающих

Таким образом, мы получили условия (212), при которых электрическая модель (см. рис. 44) моделирует колебания трубо­

81

провода с упруго-податлпвой опорой или сосредоточенной жест­ костью.

При выбранных параметрах электрической модели колеба­ ний трубопровода индуктивности, моделирующие податливости промежуточной опоры, определяются из соотношений (2 1 1 )

и (212):

Таким образом, рассмотрены все. основные случаи моделиро­ вания встречающихся в трубопроводных системах промежуточ­ ных включений, неоднородностей и опор.

§ 8 . ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ ДВУХ ПОРЯДКОВ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Выше отмечалось, что колебания трубопроводной системы описываются с принятыми допущениями уравнениями вида (23) и (24). Следовательно, для получения полной картины колеба­ ний трубопроводных систем необходимо моделировать не только их изгнбные, но и крутильные колебания.

Для нахождения пассивной электрической цепи, моделирую­ щей крутильные колебания прямой однородной трубы, восполь­ зуемся методом прямых Слободянского, рассмотренным в начале главы II.

Разложим функции ср(х+ Дх) и ср(х—Ах) в ряд Тейлора в окрестности точки х для момента времени t с точностью до чет­ вертого порядка малости относительно Ах. При этом введем пе­ ред пятыми членами рядов разложения некоторый коэффициент

82

Т о г д а , п о д с т а в и м з н а ч е н и е D4 в у р а в н е н и е ( 2 1 5 ) и п о с л е н е к о т о ­

?т = £°?(ХУ<?т±1= ^ ±1?(-х)-

Анализ уравнения (217) показывает, что электрическая цепь, ■описываемая уравнением, аналогичным уравнению (217), вы­ глядит так, как показано на рис. 45.

Действительно электрическая цепь, изображенная на рис. 45,

Действительно, уравнение (219) может быть получено из уравнения (215), если в правой его части опустить слагаемое, со­ держащее D4. Оба уравнения (218) и (219), соответствующие

83

второму ii первому приближению уравнения (24), моделируют его с некоторой погрешностью, вызываемой дискретизацией. Очевидно, что погрешность второго приближения меньше, чем погрешность первого приближения, так как второе приближение учитывает большее число членов ряда разложения (213) и (214).

Дискретизация прежде всего выразится в амплитудной и ча­ стотной погрешностях моделирования. Амплитудная погреш­ ность зависит от погрешности в воспроизведении волновой по­

Пусть характеристическое сопротивление П-образных звеньев цепей первого приближения будет Z щ, второго приближения — Дго-

Из теории четырехполюсников [18] известно, что характери­ стическое сопротивление П-образного четырехполюсника (рис. 46) имеет вид

Частоты среза звеньев обоих типов найдем из условия резо­ нанса Z n-*-оо. Из уравнения (220) получим2

2 + ^ _ = 0 .

84

Тогда для звена (см. рис. 10) частота среза

2

ис1 '

У L k C k

Из уравнения (222) видно, что при р— >-оо или L'— И) выра­ жение для Zni вырождается в уравнение (221) для Zm. Анализ выражения (2 2 2 ) показывает, что, изменяя величину р, можно в значительной степени изменить вид функции Zm (yi)- Очевидно, амплитудная погрешность моделирования будет тем меньше, чем

меньше Zm будет отличаться от значения ]/ L/C. Это следует из того, что волновое сопротивление линии с распределенными

85

/М -4

Таким образом, при любой заданной погрешности (223) мы можем определить параметры и рабочую часть полосы пропуска­ ния звена второго приближения из выражений (225) и (227).

Анализ выражения (225) показывает, что при р=1,58 полоса пропускания звена цепи (см. рис. 45) составит г/2р = 0,94 при вы­ полнении условия flz< 0 ,l, в то время как полоса пропускания звена модели первого приближения при том же условии соста­ вит всего лишь 0,42 (см. рис. 47).

Анализ показывает, что при одинаковой амплитудной погреш­ ности моделирования звеньев в модели второго приближения

«6

Из выражения (229) найдем фазу коэффициента передачи

2 а — а2

<Р= -a rc tg | ^ (-

(1 - е ) 2

или, после некоторых преобразований

Следовательно, учитывая выражение (230), получим модуль

| ср, |п = 2п arcsin у\.

На s-той собственной частоте сои цепи, состоящей из /г звеньев первого приближения, полная фаза цепи, разомкнутой на конце, составит ns. Тогда

Из выражения (232) найдем значения собственных частот цепи, состоящей из п звеньев (см. рис. 1 0 ).

87

ns

~ъГ

соli

V LkC);

2

Известно [13], что спектр собственных частот крутильных колебаний трубы длиной 1 со свободным концом

Тогда, учитывая, что элементу момента инерции массы AxJ у. со- ■ответствует емкость Ск, а податливости ЛxlGJQ соответствует индуктивность Lh, перепишем выражение (233)

(234)

2 п г LkCк

Погрешность по спектру собственных частот моделирующей цепи, состоящей из п звеньев (см. рис. 1 0 ), можно получить, под­ ставив выражение (234) в выражение для определения частот­ ной погрешности

ns

Для нахождения частотной погрешности цепи (см. рис. 45) воспользуемся методом, предложенным в главе II § 4, т. е. пред­ положим, что s-тая форма колебаний системы, описываемой уравнением (217), совпадает с s-той известной формой системы, описываемой уравнением (24).

В соответствии с этим предположением получим

88

Из теории дифференциальных уравнений известно, что спектр собственных частот системы, описываемой уравнением (239),. имеет вид

1

(240)

+ ■cos

ns

п

Сравнивая уравнения (217) и (218), мы получаем выраже­ ние, связывающее параметры р и |3:

после некоторых преобразований найдем погрешность по спек­ тру собственных частот моделирующей цепи (см. рис. 45), со­ стоящей из п звеньев

89