книги из ГПНТБ / Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов

u0dx\

о

( 1 3 8 )

т

Легко показать, что электрический эквивалент граничных условий, описываемый уравнениями (138), может быть получен путем включения сопротивлений R/ls и R/1l параллельно с ин­ дуктивностями Lei и LCl в схеме, указанной в четвертой строке табл. 2. При этом величины Ал. и А?/,, находятся из соотношений

(139)

т /И

Таким образом, если коэффициенты h\ и /гг, определяющие трение в опоре, известны, то величины, моделирующие трение Rn1 и Rhi, находятся из соотношений (139) и включаются в мо­ дель по указанной выше схеме.

Однако при расчете колебаний действующих трубопроводных систем диссипативные характеристики опор (h\ и /г2) не всегда могут быть известны, так как это связано со сложностью их экс­ периментального определения.

В этом случае можно воспользоваться некоторой общей дис­ сипативной характеристикой трубопровода, а именно его доброт­ ностью, которая определяется экспериментально по кривой зату­ хания свободных колебаний трубопровода. Тогда сопротивление, моделирующее неизвестное трение в опорах, наиболее целесо­ образно равномерно распределить по звеньям электрической мо­ дели. При этом величины сопротивлений, включаемых в каждое звено модели, подбираются исходя из равенства добротности объекта и модели на первых резонансных частотах.

Выясним правомерность такой замены и получим зависимо­ сти между коэффициентами сосредоточенного в опорах и распре­ деленного по длине трубопровода трения, сравнивая для того и другого случая одни и те же динамические характеристики для одних и тех же точек трубопровода. Выберем в качестве таких характеристик механические импедансы трубопровода (отноше­ ние силы или момента силы к скорости или, соответственно, к угловой скорости).

Выражение импедансов в любой точке трубопровода через импедансы его концов, а также частотные уравнения легко полу­ чить из соотношения, связывающего импедансы начала и конца трубопровода. Подобное соотношение для динамических жест­ костей было получено в работе [14].

Запишем его в импедансной форме:

60

Сначала рассмотрим задачу о изгибных колебаниях трубо­ провода с одной шероховатой опорой. Будем считать, что трение подчинено линейному закону — момент трения пропорционален первой-степени угловой скорости. Вторую опору для простоты анализа возьмем шарнирной. Граничные условия в этом случае будут

1/(0) =0; у{1) =0;

где h — коэффициент сопротивления.

Л

61

Решая совместно уравнения (140) и (141), получим частотноерешение задачи

шарнирно, а другой — жестко. Из этого следует, что при приня­ тых нами граничных условиях возможны свободные колебания с двумя группами частот:

—■первая группа частот определяется уравнением

Этим группам частот соответствуют две группы собственных форм. В дальнейшем нам понадобится форма, соответствующая, частотному уравнению (144). Она может быть записана как

Получим выражения собственных частот и форм трубопрово­ да в случае, когда трение распределено по его длине. Запишем, силу трения в виде, наиболее удобном для моделирования

сшарнирными опорами.

Вимпедансной форме граничные условия имеют вид

62

Подставляя граничные условия (149) в (140), получим частот­ ное уравнение

V2{kpl)—T2(kpl)=Q. (150)

Форма колебаний может быть записана как

Можно показать, что если сопротивление имеет принятый нами вид, то

ил НОым(£ / — 72К .) .

р(£/)2 +

При Ь —0 получим

Н-0мм

£7

Вдальнейшем будем считать, что

«ч

(£7)2 « 1 .

т. е. влиянием сопротивления на собственные частоты прене­ брегаем.

Сравнение формул (148) и (151) показывает, что отрезок трубопровода с одной шероховатой опорой при колебаниях на частотах из группы (146) имеет такую же собственную форму, как и отрезок трубопровода, в котором трение распределено.

Одинаковые формы выражений (148) и (151) позволяют сравнивать одни и те же точки трубопровода для определения связи между коэффициентами сосредоточенного и распределен­ ного трения, причем этой точкой может служить любая точка, принадлежащая интервалу (0, /). В качестве такой точки выбе­ рем точку с абсциссой Z/2.

Из выражения (140) найдем импедансы для сосредоточен­ ного и распределенного трения Zoy(i/2) и Zpy(;/2). Для этого необ­ ходимо в выражение (140) подставить Z0(i/2) и Zy^/2) вместо Z с„ и Zyu, а вместо Z„ и Zj —их значения из выражения (142) и, соот­ ветственно, из выражения (149). Тогда, считая b малой величи­

63

Приравнивая их, найдем связь между коэффициентами рас­ пределенного и сосредоточенного трения

дель, показанная на рис. 31,6. Пунктирная кривая на рис. 30 соответствует частотной характеристике трубопровода с учетом трения только внутри металла.

64

Частотная характеристика трубопровода с трением в опорах (обозначена кружками на рис. 30) позволила вычислить его добротность

при моделировании возможна замена трубопровода с сосредото­ ченным трением трубопроводом с распределенным трением. При этом амплитудная погрешность и погрешность моделирования по форме не превысит 10—15%. Исследование подобной замены на электрической модели трубопровода со смешанными и жест­ кими опорами на концах трубопровода и с промежуточными опорами с трением также показали, что погрешность моделиро­ вания по форме не превысит 10—15%.

Следует отметить, что заменой сосредоточенного трения рас­ пределенным следует пользоваться только в случае, если не мо­ гут быть заданы характеристики трения опор, так как этот метод не исключает амплитудной погрешности и погрешности формы.

Выше мы предполагали, что трение, сосредоточенное в опоре, пропорционально первой степени угловой скорости. Это предпо­ ложение справедливо в тех случаях, когда ширина опоры доста­ точно велика. В том случае, когда ширина опоры незначительна, и в опоре наблюдается проскальзывание, определяющим будет трение, вызываемое продольными колебаниями трубопровода. Рассмотрим это трение, определим, как оно отражается на попе-

В)

Рис. 31. Схема модели трубопровода с трением:

а—трение сосредоточено; б—трение распределено

речных колебаниях трубопровода и сравним его с распределен­ ным трением.

Пусть трубопровод закреплен как показано на рис. 32. В опо­ рах возникает сила трения /чр, которая вызовет дополнитель­ ную нагрузку на трубопровод дтр. Уравнение свободных колеба­ ний можно записать в виде

d t °-

Найдем нагрузку <7 тр, предполагая силу трения в виде

где а — коэффициент трения, А — скорость относительного удли­ нения трубопровода.

' Тр

4 -

э-

щг,

Рис. 32. К расчету декремента колебаний

Величина А может быть вычислена как

то рыражеиие Ц55). можно переписать в виде

66

Тогда, учитывая соотношение (156), можно записать выражение для qтр:

Запишем граничные условия в следующей форме:

—А е_Е [—( е )2 -(- е]sin tр -f-а.А3 е~ЗЕср sin2 ср cos ср —

—аА3г е—3еsin3 со— А е—Е[—s2-)- s] sin ср -j- £2А е_Е sin ср = 0.

(166)

В уравнении (166), как и раньше,предполагая

т. е. пренебрегая высшими гармониками процесса, сгруппируем члены с одноименными тригонометрическими функциями

Приравнивая выражения в квадратных скобках в уравнении

(167)нулю, получим два уравнения для определения функций

Фи е

68

откуда Ле~Е

\ / ~ at + Л2

Следовательно,

Т = A sin («м0^ + 9 с

V a t + #

Подберем такую функцию Ле~6(, чтобы функция

V

отличалась от нее на небольшую величину для любого значения t. Для этого запишем

69