книги из ГПНТБ / Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов

Таким образом, применение современных, доступных исследо­ вателю структурных моделей для расчета колебаний трубопро­ водных систем оказывается нецелесообразным.

Применение структурных моделей для расчета колебаний трубопроводных систем целесообразно лишь в тех случаях, когда

трубопровод может быть сведен к системе с сосредоточенными; параметрами с относительно небольшим числом степеней сво­ боды (например, приведение трубопровода к одномассовой си­ стеме). В этих случаях, однако, исключена возможность опреде­ ления форм колебаний трубопровода, что необходимо для вы­ бора места установки виброгасителей и дополнительных опор.

Цифровая машина

Расчет на электронно-цифровой вычислительной машине (ЭЦВМ) заключается в численном решении уравнений, описы­ вающих исследуемый объект, по заранее составленной программе,, основанной на алгоритме решения. Применение подобного рода вычислительного устройства для расчета пространственных тру­ бопроводных систем представляет интерес в связи с тем, что объем внешней памяти ЭЦВМ позволяет вместить большое коли­ чество информации.

В 1959 г. в Ленинградском Политехническом институтеим. М. И. Калинина был разработан общий математический ме­ тод, при помощи которого удалось построить описание колебании пространственной трубопроводной системы в довольно простом виде. Однако объем внешней и оперативной памяти ЭЦВМ не позволил решить задачу исследования динамики пространствен­ ной трубопроводной системы требуемой сложности. В 1967 г. там же, путем применения более эффективного математическогоаппарата, удалось создать методику составления алгоритма ра­ счета колебаний регулярной стержневой конструкции на ЭЦВМ,, что является смежной, но более простой задачей. Ее простота объясняется наличием плоскостей симметрии, что существенно уменьшает количество элементов ЭЦВМ, необходимых для. решения.

20

Главным преимуществом ЭЦВМ перед другими вычисли­ тельными устройствами является высокая точность решения. Однако во многих технических задачах и, в частности, в данной не требуется столь высокая точность в связи с тем, что исход­ ные данные для расчета могут быть заданы лишь с ограничен­ ной точностью. В то же время создание математического описа­ ния и разработка алгоритма требуют большого труда математи­ ков специальной квалификации.

Для того чтобы информацией, полученной в результате вы­ числительного процесса, мог воспользоваться инженер-механик, нужна дальнейшая ее расшифровка. Все эти этапы работы ЭЦВМ, за исключением непосредственно этапа вычисления, тре­ буют больших затрат труда и времени. Если в процессе исследо­ вания конкретной трубопроводной системы выяснится, что в нее необходимо внести некоторые изменения, а затем проверить, как эти изменения отразятся на поведении системы, необходимо зна­ чительно перестроить программу для ЭЦВМ и расчет проделать заново. Это особенно существенно в случае неоднократного из­ менения схемы трубопровода для поиска оптимального режима его работы с точки зрения наименьшей вибрации. В то же время вычислительное устройство как средство расчета должно обла­ дать простотой в обращении, наглядностью проводимого реше­ ния, удобством сопоставления результатов расчета. Этим требо­ ваниям ЭЦВМ не отвечает.

Цепочечная модель

Работа электрической цепочечной модели основана на элек­ тромеханической аналогии, которая заключается в подобии диф­ ференциальных уравнений, описывающих электрическую и ме­ ханическую системы. Примером такой аналогии может служить аналогия между крутильными колебаниями стержня и колеба­ ниями тока в электрической линии с распределенными парамет­ рами.

Действительно, электрическая линия с распределенными па­ раметрами описывается уравнением, подобным уравнению (24).

При этом податливости при кручении -q j ' ^ может быть по­

ставлена в аналогию индуктивность единицы длины L0(x) линии, моменту инерции кручения /Д х:)— емкость С0(х), углу закру­ чивания cp(x, t) — потенциал в точке х линии и(х, t) и т. д.

Для облегчения работы с моделью электрическая линия дли­ ной / без потерь может быть заменена некоторым числом пас­ сивных Т, Г- или П-образных четырехполюсников (рис.7 ),пара­ метры которых Li, С( подбираются в зависимости от вида функ­ ций L0(x) и С0(х) и от числа звеньев — четырехполюсников.

Такая модель отличается большой наглядностью, так как изменение какого-либо физического фактора отражается на по­

21

ведении исследуемой системы, а следовательно, и на процессах в модели. Наглядность электрической модели и простота ее обслуживания объясняются еще и тем, что при работе на ней оперируют физическими представлениями, характерными для исследуемого объекта. Применяемые при этом электрические измерительные приборы просты в обращении и имеют достаточ­ ную точность. Такая модель позволяет легко рассчитывать коле­ бательные процессы трубопровода совместно с гасителями виб-

рации. Без существенной перестройки ее можно использовать для моделирования полностью измененного объекта исследования. Это позволяет в короткий срок исследовать работу большого числа самых разнообразных трубопроводных систем, что обес­ печивает быструю окупаемость модели.

Перечисленные выше качества электрической модели опреде­ ляют ее преимущество перед другими вычислительными сред­ ствами при исследовании динамических процессов в системах с распределенными параметрами и, в частности, явлений, свя­ занных с вибрацией трубопроводов. Электрическое моделирова­ ние как метод расчета колебательных процессов нашел широкое применение в различных областях науки и техники.

За последние 20—25 лет в области электрического моделиро­ вания стержневых систем был выполнен ряд интересных и ори­ гинальных работ. Рассмотрим кратко лишь те из них, которые посвящены электрическому моделированию динамики стержня и могут представлять интерес для моделирования колебаний пространственных трубопроводных систем.

§ 4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Одной из первых работ, проведенных советскими учеными в области моделирования поперечных колебаний стержня, яви­ лась работа И. М. Тетельбаума [14]. В основу электрической мо­ дели И. М. Тетельбаума были положены уравнения, описываю­ щие статический прогиб однородного стержня без учета распре­

22

yu\ 0ft; Мк\ Qk — соответственно перемещение, угол поворота се­ чения, изгибающий момент, поперечная сила в /г-том сечении.

Моделируемый стержень длиной I разбивался на некоторое число участков п, каждый из которых заменялся электрическим восьмиполюсником. И. М. Тетельбаумом были предложены две схемы, моделирующие систему уравнений (25) — (28).

Рис. 8. Схема звена электрической модели изгибных колебаний стержня И. М. Тетельбаума:

о—по первой системе аналогий; б—по второй системе аналогий

По первой системе электромеханических аналогий, где скоро­ сти соответствует ток, а силе — напряжение, система уравнений (25) —(28) моделируется электрической схемой, изображенной на рис. 8, а. Здесь было принято соответствие:

— скорости перемещения ук — току

— упругой податливости---------- емкости Ск.

QEJk

По второй системе аналогий система уравнений (25)—(28) моделируется схемой, изображенной на рис. 8,6. Здесь скорости

перемещения ук соответствует напряжение ик, угловой скорости

податливости--------- индуктивность Lh.

6EJk

23

Электрическая модель И. М. Тетельбаума (по первой и вто­ рой системам аналогии) позволяет исследовать полигармонпческие и переходные процессы. Ее основным достоинством является то, что она, в отличие от разностных схем, о которых бу­ дет сказано ниже, моделирует не приближенное, а точное урав­ нение, описывающее изгиб стержня.

мент массы. При этом электрическая модель И. М. Тетельбаума будет моделировать уже .не точные уравнения, а лишь прибли­ женные к уравнению (23), т. е. будет иметь тот же недостаток, что и конечно-разностные схемы.

Однако, как это будет видно в дальнейшем, звено разностной модели существенно проще звена электрической модели И. М. Тетельбаума.

Простотой схемы отличается электрическая модель, разрабо­ танная в Таганрогском Политехническом институте под руковод­ ством П. М. Чеголина [5]. Эта модель позволяет воспроизвести лишь одну форму колебаний плоской стержневой системы, что является ее недостатком, так как не позволяет провести анализ полигармонических процессов.

В основу модели положена система уравнений, являющихся частным решением уравнений (23) для одной формы колебаний. Модель колебаний прямого стержня представляет собой элек­ трический четырехполюсник, подбором параметров которого добиваются резонанса токов в его входной цепи. Матрица коэф­ фициентов четырехполюсника в этом случае совпадает с матри­ цей коэффициентов частного решения уравнения (23). Коэффи­

24

циенты решения уравнения (23) представляют собой известные функции Крылова. По найденным значениям функций опреде­ ляется собственная частота стержня.

В 1962 г. McNeal [16] в результате длительных исследований получил модель (рис. 9), которая позволяет произвести расчет полигармонических процессов одномерного изгиба с учетом рас­ пределенной массы.

Воснову модели было положено уравнение (23), записанное

впервом центрально-разностном приближении. При этом моде­

лируемый стержень разбивался на п участков длиной Дх = —,

п

где L— длина моделируемого стержня.

Автором была принята следующая система соответствий:

(все параметры отнесены к /г-тому участку разбиения).

При относительной простоте электрической схемы модель McNeal’a имеет невысокую точность решения.

В 1955 г. В. А. Лазаряном [7] была предложена электрическая модель крутильных колебаний стержня, описываемая уравне­

Ч

b.xJy.—* емкости Ch.

Электрическая модель крутильных колебаний, предложенная В. А. Лазаряном, обладает тем же недостатком, что и электриче­ ская модель изгибных колебаний McNeal’a.

Рассмотренные здесь электрические модели представляют не­ сомненный интерес для расчета поли- и моногармонических ко­ лебаний несложных плоских стержневых систем, крутильных и изгибных колебаний валов.

Непосредственное применение этих моделей для расчетов ко­ лебаний пространственных трубопроводных систем из-за ука­ занных выше недостатков не представляется возможным. Одна­ ко опыт исследований /в области динамики стержневых систем безусловно может быть учтен.

Использование электрической модели поперечных колебаний McNeal’a [16] и электрической’модели крутильных колебаний В. А. Лазаряна [7], которые представляют интерес для со­ здания электрической модели колебаний пространственных тру­ бопроводных конструкций, требует уточнения этих моделей.

25

Глава 2

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБНЫХ И КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОГО ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ТРУБОПРОВОДА

Выше отмечалось, что трубопроводные системы в общем слу­ чае совершают изгибные, крутильные и продольные колебания. Было показано, что изгибные и крутильные колебания трубопро­ вода с достаточной точностью описываются уравнениями (23)

и (24).

Как уже отмечалось, аналитический расчет колебаний трубо­ проводных систем превращается в чрезвычайно трудоемкую за­ дачу и поэтому требует применения вычислительных средств, наиболее приемлемым из которых оказывается электрическое моделирование.

Для нахождения электрических схем, моделирующих уравне­ ния (23) и (24), запишем их в более общем виде

ния трубопровода, являются частными случаями уравнения (29). Вполне очевидно, .что для электрического моделирования изгибных и крутильных колебаний трубопровода, необходимо синте­

дхг

приближением, а решение уравнения вида (29) на модели дол­ жно быть найдено в виде дискретных по х значений: ФДО.

27

Отметим лишь, что все они могут быть разделены на два класса по признаку шага интерполяции: интерполяции с иеравноотстоящими узлами и интерполяции с равноотстоящими узлами. Пос­ ледний метод более целесообразен для электрического модели­ рования колебаний трубопроводных систем, так как в этом слу­ чае значительно облегчается расчет элементов моделирующих цепей, упрощается набор задачи и работа оператора на электри­ ческой модели.

Если значения функции Фт для интерполяции вперед и назал известны лишь для целых значений т, то центральные разности можно вычислять для

т = ±0,5; ± 1,5;............... если г — нечетно,

-28

т = 0; ± 1; ± 2 ;............... , если г — четно.

Заметим, что для формирования разности порядка г необходимо знать r+ 1 значение функции Ф.

Очевидно, что выбор того или иного метода интерполяции в конечном счете отразится на методической погрешности моде­

жаются значением функций Ф и ее производных в точках (хь t);

(^2, t) , . . . (Х„, t) .

От способа отыскания высшей производной зависит разност­ ная схема решения или интерполяционная формула.

Рассмотрим несколько интерполяционных формул, аппрокси­ мирующих волновое уравнение (23), которое описывает изгибные колебания прямого однородного участка трубопровода.

§ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТРЕХ ПОРЯДКОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Для сокращения и удобства записи при дальнейшем анализе уравнений введем некоторые обозначения: оператор смещения Е для функции у(х) переменного х и приращения Дх:

где и — любое действительное число; разностные операторы

A*/ W = У0*■+ Д-Д— у (х),

Чу{х) = у(х) — у { х — ь х \

29