книги из ГПНТБ / Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов

( 9 1 ) . Т о г д а п о л у ч и м

Однако такая система соответствий вызвала бы ряд неудобств,, так как скорости вибраций — одному из основных критериев оценки вибрации трубопровода, соответствовал бы ток. Измере­

Таким образом, электрическое моделирование по I системеэлектромеханических аналогий вызывает дополнительные труд­ ности.

Следует также отметить, что в пределах II системы электро­ механических аналогий возможна несколько иная система соот­ ветствий, принятая рядом исследователей [5]:

Как видно из системы соответствий (92), «силовым» величи­ нам соответствуют не токи, а их производные.

Ниже будет показана целесообразность соединения электри­ ческой модели колебаний трубопроводной системы с электриче­ ской моделью пульсирующего потока в ней [1]. Для передачи воз­ мущающего воздействия с модели пульсирующего потока на модель колебаний трубопровода необходим ряд функциональных преобразователей, ток на выходе которых пропорционален воз­ мущающему воздействию (усилию).

Использование системы аналогий (92), в которой силе соот­ ветствует.производная тока, приводит к тому, что функциональ­ ный преобразователь должен включать в себя дифференцирую­ щий усилитель. Это, естественно, усложнит модель и внесет до­ полнительные погрешности.

В то же время предлагаемая система соответствий (80) — (82) и (91), как это будет видно в дальнейшем, не требует дифферен­ цирующих усилителей.

40

§ 2. МАСШТАБНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ, ИНДИКАТОРЫ И КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИИ

Из теории подобия [9] следует, что отношения соответствен­ ных величин (табл. 1) в моделируемой и моделирующей систе­ мах должны быть постоянными. Эти отношения являются мас­ штабными коэффициентами, позволяющими количественно свя­ зать величины, определяющие колебательный процесс в модели, с аналогичными им величинами в трубопроводной системе.

Для нахождения условий количественного соответствия между процессами в электрической модели трубопровода и ■в трубопроводе перепишем систему уравнений (55) —(58), под­ ставляя в нее масштабные коэффициенты и «механические» ве­ личины

Кроме того, необходимо, чтобы аргументы функций, входя­ щих в уравнения (93) —(96) и (55) — (58), были равны. Предпо­

41

лагая, что возмущение R(x, t), действующее на трубопровод, установившееся и периодическое, можно записать

п— число гармонических составляющих, существенных для исследуемого колебательного процесса;

г— номер гармонической составляющей;

Rr — амплитуда гармонической составляющей.

Аргументом функций, входящих в уравнения системы (55) — (58), послужит произведение /соэтг, где соэ—основная частота ко­

Соотношения (97) и (98) определяют подобие между процес­ сом изгиба трубопровода п процессом в его электрической мо­ дели н количественное соотношение между величинами, входя­ щими в уравнения (55) — (58) и (87) — (90).

Соотношения (97) и (99) могут быть также записаны в виде безразмерных комбинаций размерных величин, т. е. в виде кри­ териев подобия.

Согласно я-теореме число безразмерных критериев подобия равно числу существенных для процесса величии за вычетом самостоятельных размерностей и числа групп одноразмерных величин. В рассматриваемом случае число существенных для

процесса величин равно девяти: /, р0, EJ, у, 0, А1, со, t, Q;

— число самостоятельных размерностей равно трем: м, кг, с;

9—(3 + 1) =5.

Раскрывая значения масштабных коэффициентов в выраже­ ниях (97) и (99), получим критерии подобия для модели первого

42

В выражениях (100)—(104) верхний индекс «I» обозначает номер порядка приближения, г0 , 5 — ток в верхней обмотке транс­

форматора модели.

Аналогичным образом'критерии подобия могут быть полу­ чены для электрических моделей колебаний прямой трубы вто­ рого и третьего приближений:

— для модели второго приближения

n'l' = П{; n j ^ l l j ; ltf = I& ТТ\' = П\; 1 ^ = 1^;

— для модели третьего приближения

1Г;П=П !; ni" = nj; Tl'3" = Л31- п Г = П^; п£" = 1&

Таким образом, мы получили основные условия, которые по­ зволяют получить количественное соответствие между величи­ нами, определяющими колебательные процессы, происходящие при изгибе трубы, и процессы в ее модели.

§3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

ВМОДЕЛИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Уравнение (23), положенное в основу моделирования изгибиых колебаний трубопровода, записано без учета граничных условий. Однако подобие между колебательными процессами

в трубопроводной системе модели будет полным, если граничные условия в электрической модели будут соответствовать гранич­ ным условиям в трубопроводе.

В трубопроводных системах граничные условия могут быть различными на разных участках трубопровода: от свободного до защемленного конца. Ниже приведено несколько примеров осу­ ществления граничных условий в реальной трубопроводной

43

системе: свободный конец показан на рис. 16 прямоугольником^ угловая податливость (вход в тонкостенный аппарат) показана на рис. 17 прямоугольником; жесткое закрепление трубопровода (рис. 18); шарнирное крепление трубопровода (рис. 19) и т. д.

Электрическое моделирование граничных условий изгибных колебании можно производить по следующей схеме: граничное условие-*■его аналитическое описание в механике-»-аналитиче­ ское описание в электрической моделиэлектрическая схема модели.

У(о) 8(о,

Покажем иа примере осуществление соответствия граничных условий в трубопроводе и его модели.

Пусть моделируется труба, левый конец которой защемлен (рис. 20). Тогда для крайнего левого сечения трубы справед­ ливы следующие соотношения:

Для построения модели разобьем моделируемую трубу на равные участки длиной Дх. Очевидно, что это можно сделать двумя способами (рис. 21, а и рис. 22, а ). В первом случае (см. рис. 21, а) начало трубы совмещается с серединой первого уча­ стка разбиения. Тогда для левого конца трубы можно записать

0 (0) = 00.6.‘ Q(0) = Qo,5-

Учитывая принятую систему соответствий, перепишем одно из соотношений, входящих в соотношения (105)

что осуществляется заземлением нижнего полюса модели (см.

рис. 21,6).

Так как длина участка от места заземления до первой точки разбиения составляет Дх/2, то коэффициент трансформации крайнего звена модели трубы должен составить fei/2, что и обес­ печивается заземлением средней точки верхней обмотки транс­ форматора первого звена модели (см. рис. 21,6). При этом осу­ ществляются условия

^о,5= 0 1 :'о,5 6,

44

что по принятой системе соответствий означает

Выражение (106) совпадает с граничными условиями (105), следовательно, моделирование осуществляется верно.

Рис. 21. Схема моделирования жесткого гра­ ничного условия с совмещением границы за­ щемления с серединой участка разбиения:

й—схема разбиения; б—электрическая схема модели

Во втором случае (см. рис. 22, а) начало трубы совмещено с началом первого участка разбиения и граничные условия осу­ ществляются следующим образом: верхний полюс модели зазем-

Рис. 22. Схема моделирования жесткого гра­ ничного условия с совмещением границы за­ щемления с концом участка разбиения:

а—схема разбиения; б—электрическая схема модели

45

Т а б л и ц а 2

лен (см. рис. 22, б), чему соответствуют условия

uo = 0; iо,5=^0

или в механических величинах

Q (0) =7^=0; у (0) =0.

Заземление нижнего полюса модели определяет условия

?о=°; h

или в механических величинах

0(0) =0; М (0) =£0.

Моделирование правого конца трубы может быть также осу­ ществлено двумя способами. Однако при этом необходимо,

46

чтобы выполнялись следующие условия: если полная масса

трубы гсЛхро, полная изгибная податливость п - ^ - , полная длина

EJ

трубы пАх, то полная емкость модели должна составить пСи ее полная индуктивность должна составить nLt и отношение сум­ марного числа витков верхних обмоток трансформаторов к сум­ марному числу витков нижних обмоток трансформатора должно составить /г,.

Аналогичным образом можно получить электрические схемы других граничных условий. Схемы наиболее часто встречаю­ щихся граничных условий, их аналитические описания и элект­ рические схемы моделей приведены в табл. 2.

§ 4. ВЫБОР ЧИСЛА МОДЕЛИРУЮЩИХ ЗВЕНЬЕВ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Выше были получены условия, которые определяют количест­ венное соответствие между приближениями уравнения (23), опи­ сывающими изгибные колебания трубопровода, и электрической моделью этих приближений. Были также сформулированы пра­ вила осуществления граничных условий в электрической модели. Для построения электрической модели нзгнбных колебаний тру­ бопровода необходимо еще определить число моделирующих звеньев или, что то же самое, число разбиений. Для определения необходимого числа разбиений зададимся методической погреш­

где coMS — собственная s-тая частота системы, описываемой при­

где Xs — s-тая собственная форма. Тогда общее решение урав­ нения (23) найдем в виде

у = % у*

.i=i

Подставив решение (108) в уравнение (23), после разделе­ ния переменных получим

47

E l d*X

Ho dx‘l

полагая, что E J ( x ) = E / =const, |а0(д:)= ч0—const, т. e., что тру­ бопровод однороден.

Уравнение (ПО) распадается на два самостоятельных урав­ нения

(111)

( 112)

Для определения собственных частот трубопровода, описы­ ваемого уравнением (23), из уравнений (111) и (112) нас будет интересовать лишь уравнение (112) для одной s-той собственной формы.

Очевидно, что если уравнению (112) будет удовлетворять ре­ шение Xs, то ему будет удовлетворять и решение уравнения

EJ

:(п з)

Учитывая уравнения (65), (66) и (113), обозначим началь­ ные значения производных или значения производных в сечении

х=0:

Учитывая начальные значения производных, найдем реше­ ние уравнения (113) в виде системы линейных гиперболо-три­ гонометрических уравнений

48

где Тх, Vx, Ux — известные функции Крылова:

Л‘

Полученная система уравнений (114)—(117) и соотношения (118)—(122) позволяют определить значение s-той собственной частоты однородной трубы, которую необходимо знать, чтобы определить частотную погрешность моделирования.

Для нахождения спектра собственных частот трубы со5 необ­ ходимо знать граничные условия. Пусть закрепления будут шар­ нирными, т. е.

МД0)=Л45(/)=0; z/s(0 )= ys(Z)=0,

где Msl и ys(l)—момент и перемещение для s-той собственной формы на конце трубы длиной I. Подставляя выражения для граничных условий в соотношение (114) и (116), после некото­ рых преобразований получим выражение для спектра собствен­ ных частот

Раскрывая это выражение для Тх и Vx по формулам (119) и (121), получим выражение для спектра собственных частот участка трубопровода длиной I с шарнирным закреплением

еще найти значения s собственных частот a Ms системы, описы­

ваемой уравнением (52). Для этого потребуется определение s первых собственных частот системы, описываемой п—1 диффе­ ренциальными уравнениями вида

49