книги из ГПНТБ / Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов

будет невысокой в широком диапазоне значений у2. В то же время кривая, соответствующая частотной погрешности звена модели первого приближения, уже начиная с половины полосы пропускания резко уходит вверх, т. е. частотная погрешность ста­ новится высокой.

Следовательно, при одной и той же погрешности моделиро­ вания можно найти такое р, а следовательно, так подобрать па­ раметры звена модели второго приближения, что число звеньев модели второго приближения окажется в два раза меньше числа звеньев модели первого приближения.

§ 9. ВЫБОР ЧИСЛА МОДЕЛИРУЮЩИХ ЗВЕНЬЕВ МОДЕЛИ К|РУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Для выбора числа звеньев модели второго приближения за­ дадимся погрешностью моделирования по спектру собственных частот

Так как выбранное значение р не превышает 1,58, то амплитуд­ ная погрешность 6 z<-) не превысит 0 ,1 .

Найдем полосу пропускания одного звена модели второго приближения, подставляя условие (244) в выражение (227). После преобразований получим у2))= 0,8.

Таким образом мы видим, что при р = 2,75 частотная погреш­ ность и погрешность по характеристическому сопротивлению

Если высшая гармоническая составляющая возмущающего воздействия равна гсом, то по длине трубопровода уложится /"com/cojh полуволн, где coMi — первая собственная частота трубо-

90

провода при кручении, которую можно получить из выражения

(233)

откуда

Подставляя выражение (246) в соотношение (245), получим

________ 1 _______

« 1

(247)

/ i - у т ^ т ж ^

Количество звеньев модели второго приближения будет, как уже отмечалось, в два раза меньше числа звеньев модели пер­ вого приближения

щающего воздействия, то, задаваясь погрешностью моделирова­

Число разбиений так же, как и для модели изгибиых колеба­ ний, определяется по самому короткому прямому отрезку трубо­ проводной системы.

Таким образом, мы определили число звеньев модели исходя из заданной погрешности моделирования. Теперь найдем пара­ метры звеньев, моделирующих крутильные колебания трубопро­ вода, и найдем как они связаны с параметрами моделируемого трубопровода.

§ 10. МАСШТАБНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ, ИНДИКАТОРЫ И КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ

Для нахождения соответствия между постоянными величи­ нами, входящими в уравнения (217) и (218), сравним эти урав­ нения. Тогда, учитывая, что при р—2,75 погрешность модели­ рования не превысит 0 ,1 , запишем искомую систему соответствий

GJ. GJ.

91

Для нахождения соответствия между переменными величи­ нами, входящими в соотношения (217) —(218), проделаем над этими уравнениями ряд операции.

Уменьшим индексы переменных величин, входящих в эти

уравнения, на 0,5 для того, чтобы величины 0 и ср, М и W отно­ сились к одним и тем же сечениям разбиения.

Продифференцируем уравнение (217) по t и введем в урав­ нения (217) и (218) правые части, что соответствует приложе­ нию к системе, описываемой уравнением (217), момента W в се­ чении т — 0,5 и источника тока г* к модели в точке т — 0,5 (рис. 49).

Рис. 49. Схема модели крутильных колебаний с источником тока

Тогда уравнения (217) и (218) примут вид

Сравнивая уравнения (250) и (251) между собой, установим систему соответствия между входящими в них переменными ве­ личинами

Учитывая, что в аргументы величии ср, |, W, i* входят круго­ вые частоты сом и соэ, дополним соотношения (252)

Для нахождения количественного соответствия между вели­ чинами, входящими в уравнения (250) и (251), исходя из при­ нятой системы соответствий (249), (252) и (253), введем мас­ штабные коэффициенты (см. табл. 5) и подставим их в уравне­ ние (250):

92

Для тождественности уравнений (251) и (254), т. е. для тож­ дественности процесса крутильных колебаний трубопровода и процессов в электрической модели, необходимо, чтобы

nit m\V

Эти условия так же, как и в случае моделирования изгибных колебаний, дополняются условием гомохронности модели :и объекта

_(256)

Разделив соотношения (255) друг на друга, получим

mGJmJ^

Перемножив соотношения (255) между собой, получим

где пг2 — масштабный коэффициент сопротивлений.

Таким образом, мы получаем индикаторы подобия в не­ сколько ином виде— (257) и (258). В такой записи индикаторы подобия более наглядно отражают связь между масштабными коэффициентами и физическими процессами в модели и объекте.

Действительно, индикатор подобия (257) отражает подобие лишь частотных характеристик модели и объекта, так как в него не входят величины, определяющие амплитудное соответствие. Индикатор подобия (258) определяет подобие амплитудных ха­ рактеристик модели и объекта без учета активных потерь.

Выше отмечалось, что амплитудное подобие трубопровода и его модели с учетом активных потерь может быть достигнуто лишь в случае равенства их добротностей. Если известна доброт­ ность трубопровода Q, то величина активного сопротивления ка­ тушки индуктивности Lh электрической модели первого прибли­

93

Для модели второго приближения (см. рис. 45) необходимоучесть активные потери в катушке индуктивности L'. Соотноше­ ние между заданной добротностью Q и добротностями верти­ кальных и горизонтальных ветвей звена модели второго прибли­ жения найдем из условия равенства характеристических сопро­ тивлений звеньев (см. рис. 50 и рис. 51)

ника (см. рис. 51);

Qa= — ------ добротность вертикальной цепи четырехполюсника.

ыэЯ'С

Таким образом, мы получили выражения (259) и (261), кото­ рые позволяют учесть активные потери в моделируемом трубо­ проводе.

Выше были получены три индикаторы подобия, которые свя­ зывают шесть масштабных коэффициентов, следовательно, при

Индикаторы подобия можно записать в виде критериев подо­

94-

§П. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

ВМОДЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Подобие объекта и модели будет полным, если будут соответ­ ствовать их граничные условия.

Основные случаи граничных условий для крутильных коле­ баний трубопровода приведены на рис. 16—19:

1 ) свободный конец (см. рис. 16),

2)упруго-податливое защемление (см. рис. 19),

3)жесткое защемление (см. рис. 17).

Принципы получения электрических эквивалентов граничных условий закручиваемого трубопровода ничем не отличаются от приведенных выше принципов электрического моделирования изгибных колебаний трубопровода, поэтому электрические схемы наиболее часто встречающихся граничных условий (см. табл. 6 ) приведены без дополнительных обоснований.

Выше была показана возможность замены сосредоточенного в опорах трения на распределенное по длине трубопровода в тем случае, когда он совершает изгибные колебания.

В связи с тем, что трубопроводы могут испытывать а<роме из­ гибных крутильные колебания, необходимо оценить возмож­ ность замены сосредоточенного в опорах трения распределенным по длине трубопровода при его крутильных колебаниях.

Пусть левый конец трубопровода, совершающего крутиль­ ные колебания, укреплен на шероховатой опоре, момент трения

в которой равен М(0) =/icp(0). Тогда граничное условие в импедансной форме будет иметь вид

95

I z

Зависимость между импедансами левого и правого концов трубы можно записать в виде

Из уравнения (262) находим

96

При этом, значения импеданса составят

ражаются формулами (264) и (265), а резонансные частоты

В том случае, когда трение равномерно распределено по длине

(для левого защемленного конца), здесь

Д2 (268)

Когда левый конец, трубопровода защемлен, максимальному зна­ чению |ZP_1| соответствуют частоты, определяемые уравнением shyp/= 0 , когда левый конец трубопровода свободен chyp/ = 0 . Преобразовывая |Z - ’| для малого сопротивления (Ь<сом)

(для левого свободного конца)

и

частот, пренебрегая при этом влиянием трения на собственную

§ 12. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВКЛЮЧЕНИЙ И НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

В главе II § 7 были перечислены типичные включения и неод­ нородности, встречающиеся в трубопроводных системах:

—участок трубопровода с переменными параметрами;

—участок трубопровода с сосредоточенной массой;

—участок трубопровода с сосредоточенной жесткостью.

98

Электрическое моделирование крутильных колебаний кони­ ческого перехода с одного диаметра на другой осуществляется так же, как и в случае изгибных колебаний. Конический пере-

^Методика нахождения длин и усредненных параметров ступе­ ней разбиения не отличается от приведенной методики, исполь­

Уц-i — (1 -J- 8) рУц] — f v.1 (1 -j- 8),

GJqI = (1 + 8 ) 2О/, — GJqX ( 1 + 8 );

— для второй ступени

2 . Сосредоточенная масса

Примером сосредоточенной массы, включенной в однородный участок трубопровода, может служить вентиль, задвижка, фла­ нец и др. Расчетная схема трубопровода с включением, имеющим сосредоточенный момент инерции Jm, приведена на рис.55.