книги из ГПНТБ / Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов

Глава 1

СРЕДСТВА РАСЧЕТА ДИНАМИКИ ТРУБОПРОВОДНЫХ СИСТЕМ

Расчет динамики трубопроводных систем может быть выпол­ нен при помощи различных средств и методов. Прежде чем оце­ нивать их сравнительную эффективность проанализируем основ­ ные уравнения колебаний трубопроводных систем, причем пос­ ледние будем рассматривать как стержневые системы.

§ I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Как указывалось выше, трубопроводные системы совершают изгибные, крутильные и продольные колебания. Рассмотрим основные уравнения, описывающие их.

Изгибные колебания

Пусть трубопровод длиной I (рис. 1), С ПОСТОЯННОЙ ПОГОННОЙ

массой р0 и с постоянной жесткостью EJ находится под давле­ нием р. Если при этом скорость протекающего по трубопроводу

потока v, а погонная масса про­ текающего по трубопроводу про­ дукта р, то кинетическая энергия системы составит

У

10

а потенциальная энергия скоростного напора

Нагрузку от сил внутреннего давления можно вычислить как

■Знак (—) в выражении (4) означает направление равнодейст­ вующих сил внутреннего давления в сторону выпуклости. Тогда потенциальная энергия от сил внутреннего давления составит

FT— площадь поперечного сечения тела трубы. Из рис. 1 следует

S — 1

— длина средней линии изогнутого трубопровода при условии

(<Р~) ^ Решая совместно выражения (6) и (7), получим

21 JО1дх

Учитывая выражения (1), (5), (8) и обозначая статический момент инерции трубопровода J, запишем * действие по Остро­ градскому — Гамильтону:

Уравнение Эйлера—Лагранжа, минимизирующее функционал (9), получает вид

Полагая последний член в уравнении (10)

2[vo - ^ - = 0,

дх dt

т. е. пренебрегая кориолисовыми силами из-за их очевидной ма­ лости, запишем уравнение (10) в виде

Для оценки членов уравнения (11), стоящих в квадратных скобках, решим его. Решение будем искать в виде суммы

( 1 2 )

i=1

*При записи функционала (9) пренебрегаем, как это примято, инерцией вращения сечений.

12

Подставим решение (12) в уравнение (11) и получим

т. е. пренебрегая высшими гармоническими составляющими, перепишем выражение (13), сгруппировав члены, содержащие одноименные тригонометрические функции:

sin c p |£ 7 X v + X ' I*»2 + p F - ^ ^ U x ' f d x

Ы

где ш — круговая частота; ср — начальная фаза колебаний.

Учитывая последнее обстоятельство, перепишем уравнение (16), полагая в нем нелинейный член равным нулю, т. е.

( X ' f d x = 0.

13

* (0 )= Х (/)= 0 , Л" (0) = * "(/) =0

является:

Подставим решение (18) в нелинейный член уравнения (16)

-ш 2(ц + |х0) * = 0.

В полученном уравнении выполним квадратуру. После преобра­ зований получим

Первой модой уравнения (19) по-прежнему является

У = У,пах Sin — х

Подставим ее выражение в уравнение (19), получим

откуда первая собственная частота изгибных колебаний трубо­ провода составит

В выражении (20) в круглых скобках стоят члены, опреде­ ляющие влияние скоростного напора, внутреннего давления и продольной силы от реакции опор на колебания трубопровода. Численная оценка влияния названных факторов на первую соб­ ственную частоту изгибных колебаний трубопровода показывает, что для широкого диапазона давлений и скоростей погрешность составит не более 1—3%, что является вполне удовлетвори­ тельным.

* Подробное решение будет приведено ниже

14

Для s-той собственной частоты выражение (20) будет иметь вид

откуда видно, что для частот, более высоких, чем первая, по­ грешность окажется еще мень­ ше. Учитывая это обстоятель­ ство, запишем уравнение сво­ бодных колебаний трубопрово­ да в окончательном виде

На элемент трубопровода dx действуют моменты кручения:

Уравнение динамического равновесия элемента имеет вид:

где G — модуль сдвига,

J Q= J Q(x) — полярный момент инерции.

15

Таким образом, в общем случае колебания трубопровода описываются двумя уравнениями

где [Хо —( .1 + р,о.

Уравнение (23), описывающее изгибные колебания трубопро­ вода, было записано в предположении, что длина колеблюще­ гося трубопровода неизменна.

Конструкция трубопроводных систем обычно такова, что отдельные их участки имеют нелинейные граничные условия (например, проскальзывание в хомутах). Следовательно, строго говоря, длина отрезков трубопровода непостоянна, а сам трубо­ провод является нелинейной системой. Однако виброперемеще­ ния трубопровода, которые составляют доли миллиметра, вызы­ вают столь незначительные изменения длин участков трубопро­ вода, что этими изменениями можно пренебречь. Влияние проскальзывания на рассеивание энергии в системе будет рас­ смотрено ниже.

Перечислим основные допущения, принятые исходными для расчета уравнения трубопроводной системы:

1)уравнения изгибных и крутильных колебаний однородного участка независимы друг от друга;

2)трубопровод заменен стержнем с эквивалентной жест­ костью при отношении его длины к диаметру больше восьми;

3)продольные силы и колебания не влияют на общую кар­ тину колебаний;

4)виброперемещения трубопровода малы по сравнению с его длиной;

5)нелинейные граничные условия заменены линейными;

6) влияние внутреннего давления и температуры несущест­ венно.

§ 2. ТРЕБОВАНИЯ К СРЕДСТВАМ РАСЧЕТА

Аналитическое решение системы дифференциальных уравне­ ний, описывающих исследуемые трубопроводы, при помощи из­ вестных аналитических методов в большинстве случаев оказы­ вается затруднительным из-за необычайной сложности этих тру­ бопроводов, большого числа источников возмущающих воздей­ ствий и т. д.

Сложность трубопроводных систем заключается в том, что они имеют пространственный характер. Кроме того, возмущаю­ щие воздействия являются сложными периодическими функ­ циями, имеющими широкий спектр частот.

16

Очевидно, что для получения полной картины колебаний

•исследуемого объекта необходимо найти пространственные ■формы колебаний трубопроводной системы по каждой из гармо­ нических составляющих возмущающего воздействия, а затем, суммируя их, получить полную пространственную картину коле­ бании.

Если учесть многообразие трубопроводных систем, типов нагнетательных установок, а также их режимов работы, то ана­ литический расчет таких систем превращается в чрезвычайно трудоемкую задачу, осуществление которой оказывается мало­ реальным и на практике не применяется. Сложность и трудоем­ кость аналитического расчета колебательных процессов трубо­ проводов заключается в необходимости проведения большого количества вычислений для получения конечных данных с точ­ ностью, приемлемой для инженерных расчетов. Проведение по­ добных расчетов потребовало бы привлечения труда математи- ков-вычислителей и больших затрат времени для расчета. В то же время использование вычислительных средств позволило бы значительно сократить время расчета колебательных процессов и найти средства по уменьшению вибрации трубопроводов.

Не разбирая отдельных доводов в пользу тех или иных вы­ числительных устройств, сформулируем основные требования, которым они должны удовлетворять при использовании их для расчета колебаний пространственной трубопроводной системы.

1.Возможность изучения режимов работы трубопровода лю­ бой возможной в практических условиях конфигурации при лю­ бых возможных эксплуатационных условиях.

2.Возможность определения с заданной точностью:

а) спектра частот; б) форм колебаний; в) амплитуды пере­ мещений, сил и моментов.

3. Простота обработки начальных данных, т. е. простота при­ ведения их к виду, удобному для ввода в расчетное устройство, для составления программы или структурной схемы.

4. Простота обслуживания расчетного устройства, т. е.:

а) возможность рассчитывать различные объекты без суще­ ственной перестройки устройства (программы, структурной схемы);

б) возможность обслуживания расчетного устройства неболь­ шим персоналом, не имеющим специальной квалификации.

5.Возможность рассчитывать режимы работы трубопроводов совместно с различными виброгасителями.

6.Простота приведения результатов расчета к виду, удоб­ ному для использования их инженером-механиком.

7.Небольшие затраты на эксплуатацию и быстрая окупае­

§ 3. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СРЕДСТВ РАСЧЕТА

Для расчета динамики трубопроводных систем могут быть, использованы следующие вычислительные средства:

—физическая модель,

—операционная или структурная модель,

—электронно-вычислительная цифровая машина,

—электрическая цепочечная модель.

Рассмотрим достоинства и недостатки каждого из этих: средств с точки зрения требований, предъявляемых к методу расчета.

Физическая модель

Физическое моделирование заключается в создании увели­ ченной или уменьшенной модели объекта с сохранением геомет­ рических соотношений и тех физических параметров натуры,, влияние которых на исследуемые процессы существенно. В физи­ ческой модели трубопроводной системы требуется сохранение подобия в свойствах материала, в граничных условиях и пр., так как объектом исследования являются такие свойства системы, как спектр частот, форма колебаний, усилия и т. д. Физическая, модель, несмотря на ее очевидную наглядность, имеет также:

дели и натуры.

Кроме того, специфика трубопроводных систем такова, что возмущающее воздействие представляет собой функцию двух переменных: времени и координаты. Поэтому физической модели трубопроводной системы необходимо сообщать возмущение в многочисленных точках по длине трубопровода, что, очевидно, представляет значительную трудность.

Применение физического моделирования для расчета дина­ мики пространственных трубопроводных систем целесообразно при проведении контрольных экспериментов на простейших тру­ бопроводных системах, проверяющих правомерность допущений,, положенных в основу расчета.

Структурная модель

Как известно структурное или операционное моделирование заключается в почленном интегрировании (или дифференциро­ вании) дифференциального уравнения или системы уравнений1 с последующим суммированием полученных решений. При этом

18

•структурная модель дает решение всего лишь по одному непре­ рывному аргументу (например /). Следовательно, для решения уравнений в частных производных, которыми описываются коле­ бания трубопроводной системы, необходимо заменить интегри­ рование по х суммированием, что, естественно, отразится на точ­ ности решения. Очевидно, что с уменьшением конечного прира­

ре моделирования одномерного изгиба трубы (рис. 4) со следую­ щими параметрами: /=6,18 м, £7 = 5,06-10й Н-м2, р0= 10,6 кг/м

и граничными условиями: y0 = yt= 0, Ma = Mt=0, где М0 и М; — моменты на концах трубы; уо и yi—перемещения на ее концах.

Моделируемая труба длиной I разбивалась на пять участков длиной Дл'=1,24 м. На схеме (см. рис. 4) приняты следующие ■обозначения: Q — поперечная сила, М — момент.

Анализ уравнения (23) показывает, что для его решения не­ обходим ряд операционных усилителей и делителей напряжения, соединенных по схемам, показанным на рис. 5 и 6.

Из приведенного примера расчетной схемы видно, что для решения простейшей задачи с относительно невысокой точ­ ностью требуется 8 интеграторов и 14 сумматоров (см. рис. 5).

19