книги из ГПНТБ / Васильев, А. С. Статические преобразователи частоты для индукционного нагрева

Ч г с' + ' Ц ^ Ч + Л = °;

Как уже говорилось, в обоих вариантах составления системы для определения неизвестных интервалов при­ ходим к нелинейным системам, причем количество не­ известных временных интервалов /,■ в обоих случаях оди­ наково. Величины ti могут входить как линейно, так и

вкачестве аргументов тригонометрических и экспонен­ циальных функций.

Срешением нелинейных систем связаны основные трудности, возникающие при анализе электромагнитных процессов в преобразователях частоты. Дело не только

втом, что данные системы в общем случае не имеют аналитического решения, но и численные методы для решения подобного рода систем разработаны весьма недостаточно. В (Л.' 22] указывается ряд методов реше­ ния нелинейных систем, среди которых наиболее рас­ пространенными является метод Ньютона и метод ите­ раций. Метод Ньютона предназначен для решения си­

стем вида

где х —/г-мерный вектор неизвестных, a f — п-мерный

вектор-функция.

Решение системы находится методом последователь­ ных приближений. Если т-е приближение решения си­ стемы есть

х<".> Л ' П )

то точное решение

a 8 <m>= (s(m). , е(т)) есть некоторая поправка, к определению которой сводится задача.

91

Представляя вёктбр-корёиь системы согласно выра­ жению (184), можно записать систему следующим образом:

в ряд Тейлора и учитываются только линейные члены.

Сходимость метода Ньютона установлена при до­ вольно широких допущениях, но быстрота сходимости зависит от точности начального приближения. При не­ удачном задании начального приближения решение мо­ жет быть расходящимся, кроме того, нарушаются усло­ вия единственности решения. Практически необходи­ мость вычисления обратного якобиана системы на

методе Ньютона и в методе итераций обратный якобиан

Это допущение справедливо только в малой области, когда нулевое приближение х<°> достаточно близко к вектору-корню системы, иначе сходимость метода не гарантируется.

Отсутствие надежных алгоритмов решения нелиней­ ных систем является основной трудностью при исследо­ вании периодических режимов преобразователей часто­ ты. Это приводит к попыткам определения установнв-

92

шегося режима как результата переходного процесса. Так как кусочно-линейный характер процессов в пре­ образователе сохраняется и по-прежнему описывается условиями (148), (155) и (154), а вектор начальных условий задан, то решение задачи как начальной оче­ видно. Сложности при этом связаны, во-первых, с воз­ можностью очень длинных переходных процессов и, во-вторых, с тем, что вектор переменных может в пере­ ходном процессе пересекать иные поверхности переклю-

Рис. 32. Схема резонансного инвертора (схема Депенброна).

чения, чем в установившемся. Например, последова­ тельный инвертор, работающий в установившемся ре­ жиме с прерывистым током, может в переходном режиме работать с непрерывным током.

Сложность полного решения задачи обусловила ряд попыток, которые позволяют получить аналитические решения за счет некоторых упрощений. К таким упро­ щениям относятся методы, основанные на пренебреже­ нии некоторыми временными интервалами. Так, много­ численные попытки получить аналитические выражения для установившегося и переходного режимов в парал­ лельном и последовательном инверторах или резонанс­ ном инверторе (так называемая схема Депенброка, рис. 32) 1 в режиме непрерывного тока связаны с пре­ небрежением интервалом коммутации. При исследова­ нии работы последовательного инвертора на активное сопротивление в режиме прерывистого тока, когда дли­ тельность импульса тока постоянна и не зависит от

1 Хотя данная схема и получила распространение в литературе под названием схемы Депенброка, однако впервые она была пред­ ложена Л. Г. Кощеевым [Л. 40].

93

йеличины Производной, удается таkike получить анали­ тические выражения.

В том случае, когда пренебрежение одним из состоя­ ний преобразовательного моста сводит задачу к воздей­ ствию вынуждающей силы на линейную цепь, наиболее эффективным оказывается метод дискретного преобра­ зования Лапласа [Л. 22, 25]. Представление преобразо­ вателя частоты как разомкнутой линейной импульсной системы позволяет использовать разработанные методы анализа таких систем. Покажем это на примере резо­ нансного инвертора с обратными диодами (рис. 32).

В качестве примера рассмотрим непрерывный режим работы преобразователя, пренебрегая интервалами ком­ мутации вентильных ячеек. В этом случае электромаг­ нитные процессы в преобразователе могут рассматри­ ваться как результат воздействия прямоугольной волны напряжения на линейную цепь, включенную в диаго­ наль преобразовательного моста. Применяя аппарат дискретного преобразования Лапласа, можно написать:

где Z*(q, е) —изображение выходной величины (в дан­ ном случае тока); X* {q) — изображение входного воз­ действия; K*(q, е) — передаточная функция импульсной системы с прямоугольными импульсами; q — параметр дискретного преобразования; е — вещественный пара­ метр, характеризующий смещенную решетчатую функ­

цию.

Изображение входного воздействия (в данном слу­ чае прямоугольной волны напряжения), соответствую­ щего решетчатой функции х[п], имеет вид:

Передаточная функция импульсного элемента с пря­ моугольными импульсами зависит от структуры линей­ ной части преобразователя и согласно [Л. 22] находится из следующих выражений:

94

здесь со— частота переключения вентилей;

Р= 2 tgyH’

со yrZ.C

У этой передаточной функции два простых сопря­ женных полюса:

Коэффициенты с , входящие в (192) и (193), здесь соответственно равны:

^оо ==^1

1

2/<o,Z, ’

1

ляет собой линейную систему. Решается краевая зада­ ча, причем значения всех токов и напряжений на эле­ ментах схемы принимаются известными и заданными каким-то произвольным величинам, отнесенным к пре­ дыдущему интервалу.

Решения линейных уравнений, описывающих систему в искомом интервале, позволяют получить рекуррентные формулы, т. е. связать соотношение значений токов и напряжений в начале и в конце рассматриваемого интервала. Таким образом, задан характер изменения входного тока в виде приращений ступенчатой функции.

0___ m w

Е

Рис. 33. Схема последовательного инвертора (а) и диаграмма роста напряжения на конденсаторе Uс в момент коммутации при пуске (б).

По известному приращению ступенчатой функции мож­ но найти и абсолютное значение этой ступенчатой функ­ ции, которая дает значения краевых условий для каж­ дого интервала. Этот метод может быть проиллюстри­ рован примером преобразователя последовательного типа, работающего на активную нагрузку, в режиме прерывистого и непрерывного токов.

Будем считать, что вентильный мост преобразова­ теля последовательного типа (рис. 33) может находить­ ся всего в двух состояниях: проводимости двух плеч моста и непроводимости всех вентилей. Для второго состояния ток преобразователя равен нулю, а для пер­ вого— матрица цепи вырождается в одно уравнение второго порядка. Решение этого уравнения в случае комплексно-сопряженных корней может быть представ­ лено как198

(198)

где coo — собственная частота; В и г|)—постоянные ин­ тегрирования, определяемые пз начальных условий.

■В случае режима непрерывного тока отношение соб­ ственной частоты к задающей /г= соо/со< 1, в режиме пре­

или в данном случае более удобно uc (h) = — u'c (h-\- 1), Здесь значения токов со штрихом относятся к моментам

—|—0^. Отсюда постоянные интегрирования

здесь k = RT/8L.

Решение системы (201) можно представить как сум­ му общего и частного решений. Однородное общее

98

с- ~~ 2 v ГбА=дД

Итак, имеем окончательное выражение для i(/i) и Uc{h), т. е. полностью определенную ступенчатую функцию для любого интервала. Аналогично можно по­

Итак, в данном случае разностный метод позволяет получить ступенчатую функцию, характеризующую зна­ чения токов и напряжений на элементах схемы в равно­ отстоящие моменты времени, а значит, получить анали­ тические выражения для токов и напряжений в устано­ вившемся режиме.

Значения переменных токов и напряжений, получен­ ные либо аналитически, либо численно, позволяют по­ строить внешние характеристики преобразователя в за­ висимости от параметров его схемы.

100