книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел
.pdf
DIE GRUNDLEHREN
DER MAT1IEMATISCHEN WISSENSCIlAF-TtN
Band 148
K. CHANDRASEKHARAN
INTRODUCTION TO ANALYTIC
NUMBER THEORY
SPRINGLR-VERLAG
Berlin Heidelberg New York 1968
К. ЧАНДРАСЕКХАРАН
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ
ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ
Пепевод с английского С. А. СТЕПАНОВА
Под редакцией А И. ВИНОГРАДОВА
И ЗД А ТЕЛ Ь СТВО « М И Р »
МОСКВА 1974
3 1 0 J
7Ч - А Ь г т
Книга известного индийского математика, президен та Международного математического союза К. Чандрасекхарана посвящена систематическому изложению классических результатов аналитической теории чисел. Она не требует больших предварительных знаний и вво дит читателя в широкий круг основных теоретико-чис ловых вопросов.
Книга написана с большим педагогическим мастер ством, четко и сжато. Она будет полезна математикам различных специальностей, а также студентам универси тетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
Ч-------------------20203__013 13-74 |
йБ) Перевод на русский язык, «Мир», 1974 |
041(01)—74 |
^ |
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга предназначается для студентов старших курсов и призвана служить введением в ту простейшую область аналитической теории чисел, которая в основ ном восходит к знаменитой теореме Дирихле 1837 года о бесконечности множества простых чисел в арифметиче ской прогрессии. Никакого предварительного знакомства с элементарной теорией чисел не предполагается.
Автор испытает чувство глубокого удовлетворения, если это русское издание, любезно подготовленное А. И. Виноградовым и С. А. Степановым, заинтересует студентов в Советском Союзе, который является роди ной выдающихся специалистов по теории чисел.
21 марта 1973 г К. Чандрасекхаран
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга возникла на основе курса лекций, прочи танных мною в Высшей технической школе в Цюрихе. Записи лекций, подготовленные в основном моими ас систентами, были опубликованы. Настоящая книга сле дует тому же общему плану, что и эти записи, однако
ипо стилю изложения (см., например, гл. Ill, V и VIII),
ипо степени подробностей они сильно различаются. Цель книги — познакомить неспециалистов с некоторы
ми основными результатами теории чисел, |
показать, |
||||
как |
в теории чисел |
используются аналитические мето |
|||
ды, |
и |
подготовить |
почву для |
последующего |
изучения |
более |
тонких вопросов. Книга |
опубликована |
в серии |
||
«Die |
|
Grundlehren |
der mathematischen Wissenschaften» |
||
благодаря интересу, проявленному к ней профессором Бено Экманом.
Я считаю своим долгом выразить признательность профессору Карлу Людвигу Зигелю, который прочитал рукопись и корректуру и сделал много ценных замеча ний и предложений. Профессор Рагхаван Нарасимхап неоднократно помогал мне сделать изложение более яс ным и доступным. Доктор Гарольд Даймонд прочитал
корректуру |
и |
помог устранить некоторые неточности. |
Я считаю |
себя |
обязанным выразить им свою благо |
дарность. |
|
|
К . Ч .
ГЛАВА I
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ НА ПРОСТЫЕ СОМНОЖИТЕЛИ
§ 1. Простые числа. Мы предполагаем известными
положительные целые числа |
1, 2, 3, |
отрицательные |
целые числа — 1, —2, — 3, ... |
и нуль, |
который мы будем |
считать целым числом. Под неотрицательными целыми числами подразумеваются положительные целые вме сте с нулем. Мы предполагаем известными также эле ментарные арифметические операции над целыми чис лами.
Мы говорим, что целое число а делится на целое Ъф0, если существует такое целее с, что а = Ьс. При этом мы будем говорить, что b делит а, или b есть де литель а, и записывать это так: Ь\а. Мы будем также называть а целым кратным или просто кратным числа
b•В случае когда |
Ь не делит а, |
мы будем писать Ь-\а |
||
Легко проверить следующие свойства: |
|
|||
если Ь\а и а > 0, |
0, то |
|
|
|
если Ь\а и с\Ь, то с|а; |
|
|
|
|
если b |а и с ф 0, то Ьс\ас\ |
|
|
||
если с\а и с\Ь, то с| (ma + tib) |
при всех целых ш и п . |
|||
Если заданы |
целые |
числа |
а и Ь, |
ЬФО, то одно |
значно определяются такие целые числа |
q и г, что а — |
|||
= bq-\-r и 0 ^ г < | 6 [ . Назовем q частным, а г остатком
при делении а на Ь. Ясно, что если Ь\а, то г = 0.
Целое число р > \ называется простым, если все его положительные делители исчерпываются числами 1 и р. Целые числа, большие 1 и не являющиеся простыми, называются составными.
В этой главе мы докажем, что каждое целое число, большее 1, можно разложить в произведение простых чисел и что такое разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Кроме того, мы докажем, что существует бесконечно много простых чисел.
8 |
Гл. I. Теорема единственности |
§ 2. Теорема единственности разложения на простые сомножители.
Теорема 1. Каждое целое число п, большее едини цы, разлагается в произведение простых чисел.
Доказательство. Число п является или простым, или составным. В первом случае утверждение теоремы оче видно. Если п составное, то по определению существует такое целое число d, что \<.d<ln и d\n. Пусть m — наименьшее из таких делителей. Покажем, что пг долж но быть простым числом. Если бы пг не являлось про
стым, |
то |
можно |
было найти такое целое число k, что |
|||
1 < & < /п |
и |
k\m. |
Отсюда следовало бы, |
что |
1 < & < |
|
< т |
и k\n, |
а это противоречит выбору |
т. |
Полу |
||
ченное противоречие показывает, что т действительно является простым числом, и мы обозначим его через р\. Таким образом, мы можем считать, что п = р :г, где
1 < г < п . |
Применяя те же рассуждения к числу г, мы |
||
получим, |
что n = p ip 2S, где P2 ^ P i и |
l < s < r < n . |
Этот |
процесс |
оборвется после конечного |
числа шагов, |
так |
как между 1 и п имеется только конечное число целых чисел. В результате мы получим разложение
n = piP2-Pt, где p i< p 2 < --^ P t, |
(1) |
и тем самым завершим доказательство теоремы.
Заметим сразу же, что если n = a b , то а и b не могут
быть одновременно больше, чем V я. Отсюда следует, что любое составное целое п имеет простой делитель р,
не превосходящий V п .
Объединяя в представлении (1) равные простые числа и меняя, если это необходимо, нумерацию, мы мо
жем переписать равенство |
(1) в виде |
|
n = Pai1P22-"Pkk> |
(2) |
|
где Pi<.p2 < - < p h И а г> 0 для i = 1, 2, |
..., k. Представ |
|
ление числа п в виде (2) |
мы назовем его каноническим |
|
разложением. |
|
|
Теперь мы в состоянии доказать теорему единствен ности разложения на простые сомножители, которая на зывается также основной теоремой арифметики:
§ 2. Теорема единственности |
9 |
Теорема 2. Каноническое разложение целого числа п,
большего единицы, единственно.
Мы дадим три доказательства этой теоремы. Первое доказательство использует только теорему 1. Второе свя зано с решением в целых числах линейных уравнений,
а третье использует теорию последовательностей Фарея.
Первое доказательство теоремы 2. Каноническое разложение простого числа, очевидно, единственно.
Пусть некоторые положительные целые числа, боль шие 1, имеют два различных канонических разложения, и пусть N — наименьшее из таких чисел, причем
N = p lp2...ph= q lq2...qm.
Каждое р отличается от каждого q, так как любое про стое, общее для обоих представлений, при делении N на него давало бы целое число N '<.N, которое обладает тем же свойством, что и N, а это невозможно в силу вы бора N. Мы можем предположить, что
Р1 ^ Р 2 ====••• « а РК И
Кроме того, поскольку p i# p i, мы можем считать, что P\<Zq\. Определим число
P = P iq2- q m.
Из условий pi\P и pi\N следует, что pi|(M—Р), где N—P — (ql—p\)q2...qm> \ . Поэтому мы можем записать
N — Р = P \t{...th, |
(3) |
где ti, i = l , 2, ..., h, — простые числа. Если |
q\—p i> l , |
то мы можем также записать q\—р\ в виде произведе ния простых чисел:
qi—P\ = rir2...rs.
Тогда мы получим другое представление N— Р в виде
произведения простых чисел, а именно |
|
N—P = r xr2...rsq2...qm- |
(4) |
Мы видели, что ни одно р не равно какому-либо q. В ча
стности, pi |
не |
равно |
никакому q. Далее, |
ясно, |
что |
PiT (<7i—Pi). |
и |
тогда pi |
не равно никакому |
г, так |
что |
q 1 —pi в разложении на простые сомножители не может
содержать pi. Таким образом, число N—P имеет два различных разложения (3) и (4) на простые сомножите-