Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

90	Г л. VII. Теорема Чебышева

но, мы получаем четвертое выражение для ip (л:), именно

* М = £ [ ^ ] 1о8Р-

р<X

Установим теперь связь между функциями

л (х)	О1(х)	ip (х)
x/logx ’	X	X

Теорема 2. Пусть

/х =	H m	" W , t
	Х-ю° x/logX
i2 =	нш А М .
	*->оо	X
l3 =	lim -,'ФМ . ^
	*-► 00	X

Тогда li = l2 = k и L1 = L2 = L3.

Lj = lim к(х) x/logx

т Т— Ф(*) Z.2 = lim— — ,

*->■00 X

и = ш ^ й . .

Доказательство. Из (4) следует, что Ф(л:) =^ф(л:).

Далее, из (5) вытекает, что

Ф (*)< 2 - ^ - l ° g P = l o g ^ S l .
log р	“
р<х	р<х
так что
ф(л:) г^я(я)	log х.
Следовательно,
■O'(je) ^ф (л:)	log х.

Если теперь мы разделим эти неравенства на х и устре мим х к бесконечности, то получим

L 2 ^ L 3^ .L i.		(6)
Выберем действительное	число а,	0 < а < 1 , и пусть
* > 1 . Тогда
Ц х )>	S log р,

xa <p<x

§ 2. Теорема Чебышева

и так как log p > lo g х а,		то
	■О(л:) >	a log х	I]	1.
		Х а ‘ < р < Х
Таким образом,
	■О(х) > a log х (я (х) — я (ха)).
Но,	очевидно, я (х “) < х “ , так что
	$ (х) > ая (лг) log х — аха log х,
ИЛИ
	± < ± > о т (х ) М * . - а Ье±.
Далее, 0 < а < 1 , откуда		(log х/х1- а')^-0 при х-*-оо. Сле
довательно,
	Ь2^аЬ\
для	любого действительного		а,	0 < а < 1 . Поэтому

L2^ L U и, сравнивая это неравенство с (6), мы получаем

Ll= L2 — L3.

Доказательство того, что h = k = k, приводится таким же образом. Из теоремы 2 следует, что если одна из трех функций

я (х)	й (х)		гр (х)
xjlogx	х	’	х

имеет предел при х->-оо, то другие две функции также имеют пределы при x-voo и все эти три предела совпада ют. Таким образом, для того чтобы доказать асимпто тический закон распределения простых чисел, достаточ

но доказать, что Н т ф (х )/х = 1 .

Х-+СО

§ 2. Теорема Чебышева. Мы используем теорему 2 для доказательства следующей теоремы:

Теорема 3 (Чебышев). Существуют постоянные а и А, О < а < Л , такие, что для всех достаточно больших х

92	Г л. VII. Теорема Чебышева

			х
а —-— < Я (X) < А
log *			log ж
Доказательство.	Пусть
I = lim	п М . t	L =	я (x)
I = lim	п М . t	L =	lim
	x / l o g x		*->■00 x ! log л:

Если мы покажем, что Lsgl41og2 и /^ lo g 2 , то теорема будет доказана. По теореме 2 оба эти неравенства экви валентны следующим неравенствам:

L = Ит	< 4 log 2,	(7)
I — lim JL W -> io g 2.		(8)

Доказательство неравенства (7). Биномиальный коэффициент

2п	(д + 1)(я+2)...(2я)
N =	1 - 2 - 3 . ..п
п	1 - 2 - 3 . ..п

обладает следующими свойствами: (i)N есть целое чис ло, которое является наибольшим членом в биномиаль ном разложении выражения (1 + 1)2”, содержащем (2п +1) членов, так что

дг< 2 2п, 22n< ( 2 n + l ) N ;

(9)

(n)N делится на произведение всех таких простых р, что п<Ср^2п, так как эти простые входят в числитель N и не входят в знаменатель.

Поэтому, согласно свойству (И), мы имеем	П Р
и, следовательно,	п<р<2п
и, следовательно,

lo g N > S log р = ft (2n) — Ф(«).

л < р < 2п

Но из (9) мы получаем, что log	N < 2 n log 2. Значит,
-О- (2гг)— #(n) < 2 n	log 2.	(10)
Если мы положим в неравенстве (10) п=П, 2,		22,..., 2т~1
и сложим полученные неравенства, то получим

§ 2. Теорема Чебышева		93
	т
Ф (2т) — Ф (1) <	log 2 Ц 2r < 2m+1 log 2,
	r = 1
или, поскольку Ф(1) = 0,
Ф(2т ) < 2 m+1 log 2.		(11)
Пусть теперь х > \	и т — положительное целое, та

кое, что 2m- ’ < x < 2 m. Так как функция ■&(х) неубываю щая, из (11) следует, что

■ 0(хХ Ф (2 т ) < 2 m+1 log 2s^4x log 2.

Следовательно, Ф(л:)/л: <	4 log 2, откуда вытекает, что
L - lim	4 log 2.
*-+оо	X

Тем самым неравенство (7) доказано.

Доказательство неравенства (8). Доказательство второй части теоремы Чебышева проводится другим спо собом. Оно основано на важной формуле для показате ля, с которым простое число р входит в каноническое разложение т.

Мы говорим, что простое число р входит в канониче ское разложение целого п с показателем k, если рк\п

и рк+хI п1\

Лемма. Показатель, с которым простое число р вхо дит в т!, равен

т	+	•••»
+	+	•••»
Р
причем последний ряд конечен,	так	как	[ х ]= 0 для
0 < х < 1 .
Среди чисел 1, 2,..., m имеется точно [m/р]			кратных р,

аименно

ИМы будем говорить также, что простое р входит в п с показа телем 6 .— Прим, перев.

94 Г л. VII. Теорема Чебышева

р, 2р,...,	т		(12)
	. р . р,
точно [т/р2] кратных р2, а именно
Р\ 2р2......	т	р2	(13)
	. р2		(13)
	. р2

и т. д. Число целых чисел между 1 и т, которые делятся на рг, но не делятся на pr+i, в точности равно [т/рг] —

—[т/рг+1]. Следовательно, простое число р входит в т\

споказателем

(и)

Г>1	г> 1
лемма доказана.
Для того чтобы доказать неравенство (8), рассмотрим
целое число
у . /2»\	(2я)1
I п )	(л!)* '

Пусть р — простое число, р ^ 2 п . Тогда р входит в числи тель N с показателем

а в знаменатель — с показателем

Таким образом, р входит в N с показателем

и, следовательно,

N = n p V

р<Лп

Поскольку Г	2п ]	п
.	Рг .	- р г .
самое, при

= 0 при рг> 2 п , или, что то же

§ 2. Теорема Чебышева

log2n " Г > L iogp J

мы имеем

М Р		log2п
—	2	log2п	(15)
—	2	logр Г	(15)
ГЧт=я1 \		logр Г
ГЧт=я1 \
Кроме того, для любого действительного числа у
[ У ] < У < [ У ] + h	или	2 \| > ]< 2 г /< 2 [> ]+ 2
и
[2 у ]^ 2 у < [2 у ] + 1.
Отсюда следует, что — 1 < [2г/] —2[у] < 2 , откуда
[2у]— 2 [г/] = 0,	или	[2р] —2 [г/] = 1.	(16)

Следовательно, используя соотношение (15), мы полу- чаем, что vp^M p и тогда

N = П p vp < П р м р		(17)
р «2 л	р<2л	•

С другой стороны, из (5)		и (15) мы имеем
Ч><2" ) =		lo g P = S M p logp ,
	Iogp
	р<2л
так что
	е * (2л)	= П р \
		р<2п ■

откуда в силу (17)

logiV^aj)(2rt).

Далее, из (9) следует, что

log N > 2 n log 2 ~ lo g (2 n + l).

Следовательно, для любого положительного целого чис ла п мы имеем

ij3(2n)	> 2 n log 2— lo g (2 n + l).	(18)
Пусть теперь	х > 2 — действительное число,	и пусть

96	Г л. VII. Теорема Чебышева
п = [х /2 ]^ 1 . Тогда п > ( х /2 ) — 1, 2 п ^ х ,			и из (18)	мы по
лучаем
ф (*)	(2п) > (х—2) log 2 —log ( х + 1),
или	> Х — 2 .
Ф(*)	> Х — 2 .	2 _ log(X+	1)
X	X	X
Следовательно,
	Х - * .о о	X
и теорема 3 доказана.
Из теоремы 3 сразу же следует, что			простых	чисел

бесконечно много и что ряд ]£ ljp, распространенный на

все простые числа, расходится.

Действительно, пусть рп означает п-е простое число. Тогда я (рп) = п , и так как

п ( х ) > а --~— , а > О, logл:

для достаточно больших х, то

п = п(рп) > а - - £ * - > У р п logРп

для достаточно больших значений п. Следовательно, log рп< .21og п, так что

арп< п	log рп< 2 п log п
		со
для достаточно больших п. Сравнивая ряд		11рп с рас-
со		п = \
со
ходящимся рядом ][]	1/nlogn, мы видим, что ряд

п= 2

оо

У] 11рп также расходится.

П—1

§ 3. Постулат Бертрана. Следующая теорема была сформулирована Бертраном и впервые доказана Чебы шевым.

§ 3. Постулат Бертрана

Теорема 4 (постулат Бертрана). Если п — положи

тельное целое, то существует простое число р, такое, что

п < .р ^ 2 п .

Доказательство Чебышева этой теоремы основано на соображениях, подобных тем, которые были использо ваны при доказательстве теоремы 3. Этот результат сна чала был доказан для больших значений п, а для малых значений п проверялся с помощью таблицы простых чисел.

Мы приводим здесь доказательство, предложенное С. С. Пиллаи, которое довольно просто, поскольку не использует формулу Стирлинга для Г(м) и сводит число проверок к минимуму.

При доказательстве теоремы Чебышева мы использо

вали для	биномиального	коэффициента N =	^ 2п j не
равенство	(9), а именно
	22П	< N < 22л,
	2п -f- 1
и вывели из него неравенство (11), а именно
	■0(2m) < 2 m+1 log 2.		(11)
Для доказательства того,		что неравенство (11)	выполня

ется не только для степеней числа 2, но также для всех положительных целых чисел п, т. е.

	ft(n) < 2 n		log 2,		1,	(19)
нам потребуется более точная оценка
	02П		02П		п > 2.	(20)
	- = - г < N <				п > 2.	(20)
	2 V n		\/Л2п
Доказательство оценки (20).					Положим
	р	_	1-3-5.. ,(2п — 1)
		~	2 - 4 - 6 . . .		(2ге)
Поскольку
р _	1-3-5...	(2п— 1)		2-4-6...( 2 п ) _		(2ч)!
_	2-4-6...	(2л)	’	2-4-6.\.(2п) ~~		22п («!)= ’

7— 870

98	Гл. VII. Теорема Чебышева

мы имеем 22п P — N. Очевидно, что справедливо неравен ство

1>	_ 1_
	1 22

которое может быть переписано в виде

1 >	1-3	3-5	5-7	(2п— 1)(2ге+ 1)
	22	4 2	62	(2л)2

или в виде

1 > (2/г + 1) Р %> 2 п Р 2 = - ^ r N\

Отсюда следует второе неравенство в оценке (20). Подобным же образом мы имеем неравенство

(2п— I)2

которое может быть записано в виде

1>	2-4	\ /	4-6	\ /	6-8	\	/	(2л—2) 2га	\
1>	З2	Д	52	/ ’ \	72	) " ' [		(2 л — I)2	}
или в виде	З2	Д	52	/ ’ \	72	) " ' [		(2 л — I)2	}
или в виде				1		2in
		1 >		1		2in
		1 >		4пР2		4nN2		*

Отсюда следует первое неравенство в оценке (20). Та ким образом, оценка (20) доказана.

Доказательство неравенства (19). Неравенство оче видно для п = 1 и п = 2. Предполагая неравенство спра ведливым для некоторого 2, мы выведем отсюда, что 0 (2/г— 1) <Г2 (2«— 1) log 2, откуда будет следовать соот ношение

0 (2 п) = 0 (2 п— 1) < 4 n log 2.

Рассмотрим целое число

_Л/_	_1_ /2л\ _	(2л)!	_ я ____ (2л — 1)!	_	/2л — 1\
2	2 \ я j	(л!)2 ‘	2л “ я! (л — 1)!	“	\ я — 1/'
Оно делится на все простые р, такие, что					п < р ^ 2 п — 1,
а следовательно, и на их произведение.				Значит,

т> П р

п < р < 2 п —1

§ 3. Постулат Бертрана

или, после логарифмирования,

log -у- ^ О (2га — 1) — О (га).

Но из (20) мы имеем

log N < 2га log 2 -----log 2га.

Объединяя оба эти неравенства, получаем

0 (2 га — 1) — О(га) < (2га — 1)log2 -----log2га.

Но по предположению О(га) <2га log 2. Следовательно,

О (2га — 1) < 2га log 2 + (2га — 1) log 2 -----j log 2га,

откуда следует, поскольку га^2, что

0(2п — 1) < 2 (2га— 1) log 2,

т. е. мы пришли к искомому неравенству. Таким обра зом, если (19) доказано для некоторого положительного целого числа га^ 2 , то оно будет выполняться также и для 2га— 1, а следовательно, и для 2га. Другими сло вами, если 0(ra)< 2ralo g 2 для каждого целого числа из интервала вида

2’- I< r a ^ 2 r,

si,

то это неравенство справедливо также для всех целых га из интервала

2r<ras^2r+I.

Отсюда по индукции следует, что неравенство (19) спра ведливо для всех га^1.

Неравенства (19) и (20) потребуются нам при дока зательстве теоремы 4.

Доказательство теоремы 4 (С. С. Пиллаи). Для того чтобы доказать теорему 4, мы докажем неравенство 0,(2га)—О(га) > 0 для всех га^26 и проверим это неравен ство для 1 ^ г а < 2 5.'

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ