Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

100 Г л. VII. Теорема Чебышева

Рассмотрим снова	биномиальный		коэффициент
(см. (17))
N = 2п	(2л)!.	П р >=
	(л!)2	П р >=
где		р<2л
где
он
Тогда			(21)
log N = S V		0SP-	(21)

р<2/1

Впоследней сумме интервал суммирования по р мы ра зобьем на четыре интервала:

(i)n < p < 2n ;		, ■	Ом	5;
(i)n < p < 2n ;		(ii) 1' 2/z < р <	у ,	5;
(ii) —	< p < n ;	(i v ) p < ] /2 n .
3

В соответствии с этим указанная сумма разобьется на

четыре суммы S i.				£ 2 ,	£ 3 , £ 4 .
В	S i	мы имеем п /р < 1				и 1=<2п/р<2, так что [п/р] =
= 0,	[2п/р]=\		и	[2п/р2]= 0 . Следовательно, vP =						l,	и мы
получаем
	S i =	£	vp l°g P =			£	logp =	ft(2n) — ft (я).			(22)
		л < р < 2 я			л < р < 2 я
В S 2 мы			имеем		1<]п /р<;3/2,			так	что	[п/р] = 1
и [2п/р] = 2 . Кроме того,						[2п/р2] = 0		при	и, следо
вательно,
				S 2	= 0,	п5 >3.					(23)
В S 3		мы имеем			и п/р2 < 2 п /р 2<				1, так что vP =
= [2	я/р]—2[п /р ]=0и ли 1					(см. (16)). Следовательно,
	2 з <			2	logp='0‘( ^ ) — -O'				).
Но		/ 2 л < р < 2 /3
Но								1 = я ( \/r2n ) log 2,
Ф (^2га) =			S	logp>log2			S	1 = я ( \/r2n ) log 2,

р < /2 л

§ 3. Постулат Бертрана

101

и поэтому
£ з < д ( т	) ~ я	( / 2 ^	1о§2-	<?4)
В У] 4 мы используем неравенство Чебышева (см. (17))
vp <	Мр =	log 2п '
и получаем		. l°g Р
и получаем
^ Ц ^ 1о§ Р < 2		^ ^ - к ^ р = к ^ 2 л 2		L
р</2л	р < У 2 п		P<Yin
Таким образом,
2 •< л (1 2л ) log 2л.				(25)
Объединяя соотношения	(21) — (25),		мы приходим	при
л ^ 5 к неравенству
log N e tt (2л) — б (л) -f б [—■j — л (			2п ) (log 2 — log 2л),
которое можно переписать в виде
б (2л) — б (л) > log N — б ( y j — л (К 2л ) log л.				(26)

Покажем теперь, что ■б'(2л)—б1(л) > 0 для всех достаточ но больших л. Для этого нам потребуются три неравен ства:

(b) к ^ М > 2 л к ^ 2 — log (2 Vп)\

Неравенства (а) и (Ь) являются следствиями нера венств (19) и (20) соответственно, а неравенство (с) следует из того, что каждое четное число, большее 2, яв ляется составным.

Из (а), (Ь), (с) и (26) мы получаем при л^г32

102	Г л. VII. Теорема Чебышева
■О(2п) — й (п) >	2п log 2— log (2 V п ) —
	— у log 2 -------	— log я.

пли, что то же самое,

&(2п) — # (л )> ( у — l)lo g 2 — ( |/2n2-— - ) log п. (27/

Остается показать, что

^ L _ l ) l o g 2 - ( ] ^ + l ) l o g n > 0

(28)

для всех достаточно больших п. Легко видеть, что нера венство (28) выполняется при п = 26. Докажем справед ливость этого неравенства для п > 2 6. Для этого перепи шем (28) в виде

у _ _3_	log« _	3 ^ 2	log Vj_ п _	0	(29)
2	log 2 j	log 2	у 4п

и заметим, что при л у 26 (мы заменили п действительным переменным х) функции

л /2 х ___ —	log* и	3 ^ 2	lpg ^ 4х
2	log 2	log 2	j / y

имеют положительные производные. Значит, в указанной области эти функции возрастают, и так как их сумма по ложительна при х = 26, то она будет оставаться положи тельной и при х > 2 6. Следовательно,

Ф(2п) —й(п)	> 0 , п ^ 2 6,	(30)
т. е. постулат Бертрана	справедлив	при п ^ 2 6 = 64.
Далее, в последовательности
2 ,3 ,5 ,7 ,1 3 ,2 3 ,4 3 ,6 7		(31)

каждое простое число, за исключением первого, будет меньше удвоенного предыдущего. Следовательно, каж дому положительному целому числу 66 соответству ет по меньшей мере одно простое число р, такое, что

	§ 4.	Тождество Эйлера		103
«< [р ^ 2/г. Таким	образом, теорема 4 полностью			дока
зана.
§ 4. Тождество Эйлера.			Тождество
2	4	=	П (1 - р ~ Т \	(32)

Л=1 ” Р

где s > l — действительное число и р пробегает все про стые числа, является частным случаем следующего ре зультата:

Теорема 5. Пусть f — мультипликативная арифмети-

со

ческая функция и ряд У, f(n) абсолютно сходится. Тог-

п=1 да имеет место тождество

2 К « ) =	П (1 + /( р ) + /(р 2) +•••).	(33)
п— 1	р

причем произведение в правой части также сходится аб солютно.

Далее, если f вполне мультипликативна, т. е. f(mn) —

= f(m )f(n ) для всех положительных целых чисел пг, п, то

£	Н п )= П ( 1 - / ( р ) Г 1-	(34)
л= 1	р

Доказательство. Из мультипликативности функции f Мы имеем f (1) = 1. Положим

^ (*) = П (1 + Ж + / И + . •.).

р < х

Так как Р (х) является произведением конечного чис ла абсолютно сходящихся рядов, то, перемножив эти ря ды, мы получим

Р(Х) = £ f ( n ') ,

где п' пробегает все положительные целые числа, кото рые не имеют простых делителей, больших х. Положим

со

s = £ /( « ) • . я=1

104 Г л. VII. Теорема Чебышева

Тогда

P ( x ) - S = - '£ f ( n " ) ,

где а" пробегает все положительные целые числа, имею

щие	по	меньшей мере один простой делитель, боль
ший	х.	Очевидно, п " > х , так				что
			\ P ( x ) - S \ < y i \f(n")\<'£\f(n)\.
							П > Х
Далее,		S	\|f(n) \|-> 0 при х->-оо, так как					по предположе-
	П > Х оо									Пт Р(х) =
нию ряд			S	\|/(п)\| сходится. Следовательно,						Пт Р(х) =
			П=1							Х-+со
= S и тем самым тождество (33)						доказано.
Произведение в правой части равенства									(33)		сходит
ся абсолютно, поскольку
S i f(p) +			f и	+ . .. I -< S	(I / (р) I	+	1f и	1+	. . . х
р X				Р	X
					<		S 1 / И ( <			°° •	(35)
							п— 2

Рассмотрим теперь случай, когда / вполне мульти пликативна. Из (35) мы видим, что ряд

S (I / (р) I + 1/ (р2) I + ••■).

где суммирование ведется по всем простым р, сходится. Но тогда }{рп) = (/(р ))” и, следовательно, ряд

S ( l f ( p ) l + l f ( p ) l 2+ ...)

тоже сходится. Члены последнего ряда образуют геомет рическую прогрессию, откуда |/(р )| < 1. Значит,

Е /(«)= П(1 + / ( р ) + / ( р2)+ ...) =

Л= 1 Р

= П (1+ / ( рЖ /( р))2+	••■)= П о — / ( р )) -1.
р	р
и теорема 5 доказана.

§ 4. Тождество Эйлера

105

Тождество Эйлераследует теперь из (34), если мы положим f(n) —ti-s, s > l . Пусть

е<»> = II	- П О
л —1	Р

где s > l действительное. Тогда

log S (s) = — Ц log (1 — P~s) =	X ^ 1 7 •
P	m ,p

где p пробегает все простые числа, a m пробегает все по ложительные целые числа. Почленное дифференцирова ние даст нам

С' (s) _	у	p~s logР _	у l£g£
SW	Ь	1 - p " s	Ь Pms '
	Р		m .p

Следовательно, при действительном s > l

S' (s) _	у	А (в)	(36\
ns)	^	ns Э	(36\
.	п—1
где А ( п ) — функция Мангольдта, определенная			в § 5
гл. VI. Заметим, что почленное дифференцирование до
пустимо, поскольку оба ряда^] log (l — p~s) и V ——
	р	р	1 — p ~ s
	р	р
равномерно сходятся при s ^ l + 6 > l .
Правая часть равенства	(36)	представляет собой ряд
со

Дирихле вида ^ апп~а, коэффициенты ап которого яв-

л=1

ляются значениями функции Мангольдта А (п). Исполь зуя равенство (36), мы покажем, что если какая-либо из функций

п (х) & (х) ip (X)

x/logx ’ X ’ X

имеет предел при jc-» -oo , т о э т о т предел должен быть ра

вен 1. Из теоремы 2 мы уже знаем,-что если какая-либо

106	Г л. VII. Теорема Чебышева

из этих трех функций имеет предел при х-»-оо, то две другие функции также будут иметь пределы и все эти три предела равны между собой.

Рассмотрим функцию ф(Х)/х и воспользуемся соотно шением

ф(х) — У] Л (п).

П< Х

Вдальнейшем нам потребуется тождество

—	= s Г ^ -^ -dx		(s действительное, s > l),
	£(s)	J * s+ i	h
которое	можно	получить	из формулы суммирования
Абеля.

Теорема 6 (Абель). Пусть O^^sSC^sS^... — последова тельность действительных чисел, такая, что Хп-*-оо при n-э-оо, и пусть (ап), п = 1, 2,..., — последовательность

комплексных чисел. Пусть, далее, А (х) = У1ап и ц>(х)—

Xп <х

комплекснозначная функция, определенная при х^О .
Тогда	fc_\|
	fc_\|
= ^ (Ч ) ч > Ы —	е л
Л=1	/1=1

Если ф имеет непрерывную производную на интервале

(0, оо) и x^X i, то (37) может быть записано в виде
	X
£ о-пФ (К) = л (х) ф (х) — j' A (t) ф' (t) dt.		(38)
	Я/j
Если, кроме того, А(х)у(х)-*-0 при х->-оо, то
£ апф (К) =	— f A. (t) ф' (0 dt	(39)
л =1	X,

при условии, что ряд в левой части и интеграл в правой

части сходятся.

§ 4. Тождество Эйлера

107

Доказательство.	Положим Л (А о)=0. Тогда мы
имеем
я>(К) - Е ( Л ( К ) - * ( Ч - ,) ) ф (Ч ) =
/1=1
= а ( \ ) ф(Ч)- 2		л { К ) (ф(V i )— ф(*•«));
	л=1
тем самым равенство	(37)	доказано.	Пусть k — наи
большее целое число,	такое,	что А ь^х.	Так как ф имеет

непрерывную производную ф', то сумма в правой части (37) равна

k-1	1П+1
£ Л ( А л)	j Ф' (t)di,
n=i	х„

а так как A (t) — ступенчатая функция, постоянная в ин тервале AfesSncAft+i, то первый член в правой части (37) равен

А (А*,) ф (Aft) =	А (х) ф (х) — J A (t) ф' (/) di.
Таким образом,
2 апФ (К) =	Л (х) ф (х) — j A (t) ф' (t) dt
^п<х	Я-1

и равенство (38) также доказано. Наконец, мы получим

равенство (39), если в . (38) устремим х к бесконечности. Теорема 6 тем самым доказана.

Положим Ап —п, ап« Л (л ) и у (х )= * х — (s действи тельное, s > l ) . Тогда A (x )*a ty (x ) и Л(Х)ф(х)->-0 при

х-^оо, поскольку ф( х ) ( х ) lo g х < х lo g х (см. доказа тельство теоремы 2 ), так что Л (х) ф (х) - О (х1-* log х ) -

= о(1). Следовательно, мы получаем из (36) и (39) при

действительном s > l
£ Js)	Ф(*) dx.	(40)

108	Г л. VII. Теорема Чебышева

Теперь мы можем доказать следующую теорему:

Теорема 7.

lim

	x!\ogx	" x ^ x l l o g x
Доказательство. Покажем, что
	х	-■ “		х
и затем воспользуемся теоремой 2.
Пусть	f(s) —— ——	для	действительного s > l ,
и пусть	S(«)
и пусть
I =	lim ФМ			х-*-00 х
				х-*-00 х
V =	lim (s— l)f(s),	и	=	lim(s— l)f(s).
s - 1 + 0			s - 1 + 0
Очевидно,	l^ .L и I'^ L '. Докажем сначала, что
^ Z /^ L ,	а затем, что l' — L '= 1.		Вместе эти неравенства
дадут утверждение теоремы 7.					для всех х ^ Х а =
Пусть	В > Ь . Тогда	ty(x)/x<zB			для всех х ^ Х а =
= х 0(В), и м ы можем предположить,					что х0> 1 . Из фор
мулы (40)	мы имеем при s > l

Последнее неравенство можно переписать в виде

(s— l)f(s) < s ( s — l)K + sB ,

где

Хо

dx = K = K{x0) = K(x0,B ).

	§ 4.		Тождество Эйлера						109
Пусть S-+1+0. Тогда мы получаем, что L '^ B ,									и так как
это неравенство	выполняется				для		любого		B > L , то
L'^.L. Аналогично можно доказать,							что		и потому
/s-S/'aSl's^L.		что
Покажем теперь,		что
	lim	(— (s— 1 )4 ' (s)) =						1
s—l+o
и
	lim		(s— 1)£ (s) =				1.
	s^l+9
Отсюда будет следовать,				что (s—l)/(s)-+l при S-+1+0,
а значит, и равенство Г — Ь '= 1.
Функция x~s при s > l				является убывающей функци-
ей переменного х., так что
со			оо
	dx	< х		-7 < 1+		Н
J		< х		-7 < 1+		Н
J				n s		J	дг
1			Л=1			1
Таким образом,
	S : Ь <			« 0 < , . !,•
откуда следует, что		(s— l)£ (s)-+ l				при s -v l+ 0 .
С другой стороны,			при s > l		и х ^ е			функция x~slog.v
также является убывающей по х, так что
	п = 1			1
				-1.
откуда после подстановки х,- 1= е* мы получаем
- £' (» = i r ^ r		j		+ °<» -				^	+ 0 <»•
Таким образом,
( s -	ОГО)		-	-		*		!
				(S— О? 00

при s -v l+О. Следовательно, l '= L '= 1, откуда Z ^ rl^ L .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ