книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел
.pdf180 |
Примечания |
Примечания к главе VI
В качестве основных источников см. [2], гл. 16— 18 и [6].
§ 2. Утверждение о том, что г ( п ) = 0 ( п г) для каждого е > 0 , эквивалентно утверждению, что r(ri)— o(n&) для каждого е > 0 .
Относительно теоремы 1 см. Gauss С. F., Werke, II, S. 272—275.
§ 3. Относительно теоремы 6 см. Полна Г. и Сеге Г., Задачи и теоремы из анализа, ГИТТЛ, М., 1956, II, стр. 177, 413.
Относительно теорем 5 и 6 см. Харди и Райт [2], стр. 259. Теорема 9 была доказана Дирихле в 1849 г. (см. Dirichlet Р. G..L.,
Werke, II, 49—66).
Улучшение Г. Ф. Вороным остаточного члена приведено в Ann. Sci. E cole Norm. Sup. (3), 21 (1904), 207—267; 459—533.
Утверждение о том, что остаточный член не может быть О (У1/*1),
было доказано Харди (Hardy G. Н., Proc. London Math. Soc. (2), 15 (1916), 192—213).
§4. Относительно истории чисел Мерсенна и совершенных чисел см. Диксон [1], I, гл. 1—2.
§5. Относительно теорем 15 и 19 см. Mobius A. F., J. fiir die
reine und |
angew andte Math.., |
9 (1832), 105— 123; |
W erke |
(1887), |
IV, |
||
589—612. |
См. также Ландау [4], § 150— 152. Теоремы |
16 |
и 17 были |
||||
доказаны одновременно Дедекиндом (Dedekind R., I. fiir |
die |
reine |
und |
||||
angew andte Math., 54 (1857), |
21) и Лиувиллем |
(Liouville |
J., J. |
de |
|||
Math, pures et appliquies (2), 2 |
(1857), 111). |
|
|
|
|
|
|
§ 6. Относительно теоремы 20 см. Ландау [4], § 59. Теорема 22
принадлежит Мертенсу (Mertens F., J. fiir die reine und angew andte Math., 77 (1874), 290—291). См. также Ландау [4], § 152.
Оценка } ] ц ( я ) г ! без |
использования |
тождества |
Эйлера |
(до- |
/2=1 |
4) есть результат замечания Рагхавапа |
|||
казанного позже в гл. VII, § |
||||
Нарасимхана. Относительно |
доказательства |
формулы |
^ н ~ 2 = |
я 2/6 |
|
|
|
/2=1 |
|
см., например, Knopp К-, Theory and application of infinite series, 1951, p. 237, 323, 376.
Примечания к главе VII
В качестве основных источников см. [3], гл. 1 и [4], § 12—28.
§ 1. Относительно теоремы 1 см. Euler L., Opera Omnia, Leip- zig-Berlin-Ziirich (1), 8, § 279; (1), 14, 216—244.
§ 2. Теорема 3 принадлежит Чебышеву; см. Чебышев П. Л., Соб рание сочинений, т. I, Изд-во АН СССР, М.—Л., 1944, стр. 191—207,
|
Примечания |
181 |
§ 3. Относительно |
доказательства Пиллаи теоремы 4 см. |
РП- |
lai S. S., Bull. Calcutta |
Math. Soc., 36 (1944), 97—99; 37 (1944), |
27. |
См. также Ландау [4], § 22. |
|
|
§ 4. Теорема 7 доказана Чебышевым; см. Чебышев П. Л., Соб |
||
рание сочинений, т. 1, |
Изд-во АН СССР, М.—Л., стр. 173— 190. |
См. |
также книгу Ингама [3]. стр. 16—21. Эйлер использовал формальное |
||
тождество. |
|
|
§ 5. Теорема 8 принадлежит Мертенсу (Mertens F., J. fur die reine und angew andte Math., 78 (1874), 46—62). См. также книгу Инга
ма [3], стр. 22. |
|
|
|
|
в книге Титчмарша (Titch- |
||||
Формула Стирлинга дана, например, |
|||||||||
marsh Е. С., The theory of |
functions, Oxford, |
1932, |
2nd edition, |
1939, |
|||||
§ 187). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечания к главе VIII |
|
|
||||
§ 1—4. Теорема Вейля была доказана им в Math. Annalen, 77 |
|||||||||
(1916), |
313—352. |
Разъяснение |
понятия |
«отклонения» |
дано |
||||
Дж. В. С. Касселсом |
(Gassels J. |
W., An introduction to Diophantine |
|||||||
approximation, |
Cambridge, |
1957, |
ch. 4; |
русский |
перевод: |
Кас |
|||
селе Дж. |
В. С., |
Введение в теорию диофантовых приближений, |
ИЛ, |
||||||
М., 1961.)
§5. Кронекер доказал свою теорему в Berliner Sitzungsberichte
(1884); см. также Kronecker L., Werke, Leipzig, Teubner, III (I), 47—
ПО. Относительно дальнейших достижений см. Koksma J. F.,
Diophantische Approximalionen, E rgebnisse der Math., Bd. IV, Heft 4 (1937).
Доказательство Бора (Bohr H.) теоремы 8 дано в J. London Math. Soc., 9 (1934), 5—6. См. также Харди и Райт [2], гл. 23.
Примечания к главе IX
В качестве основных источников см. Minkowski Н., Geometrie der Zahlen, 1st edition, 1896, и Diophantische Approximationen, 1927. Cm. также Siegel C. L., Geometry of numbers, New York University, 1945.
§ 2. Теорема 1 справедлива без предположения об ограниченно сти множества S. Действительно, если оно не ограничено и имеет ме
ру |
V ( S ) > 2 n, |
то можно |
взять пересечение множества S |
с |
кубом |
К м : |
|х к | < М , |
1 |
и если М достаточно велико, |
то |
S m = |
= S f ) K м будет ограниченным множеством, удовлетворяющим тре буемым условиям в силу счетной аддитивности меры Лебега.
Мы не стремились к рассмотрению оптимальных предположений, поскольку не желали углубляться в вопросы измеримости. Формули ровка и доказательство теоремы 3 продиктованы этими соображе- , ниями.
Минковский доказал теорему 3 в 1891 г.; см. его Gesammelte Abhandlungen, I, S. 264.
182 Примечания
Доказательство формулы Зигеля (8) дано им в Acta Math., 65 (1935), 307—323.
Лемма, которая расположена между теоремами 2 и 3, принадле жит Г. Д. Биркгофу, как это установил Бликфельдт (Blichfeldt, Trans. Amer. Math. Soc., 15 (1914)). См. также приложение в книге Касселса (loc. cit., примечания к гл. V III).
В теореме 2 мы использовали тот факт, что замкнутое множест во в R n измеримо по Лебегу.
Минковский (loc. cit.) показал, что ограниченное выпуклое мно
жество |
в |
R n |
имеет объем |
в смысле Жордана. См. Minkowski Н., |
Geometrie |
der |
Zahlen, Leipzig, Teubner, 1896, 50—60, а также его |
||
Theorie |
der konvexen Korper, |
Ges. Abh., 2, 142— 143, и книгу Бляшке |
||
(Blaschke W., Kreis und Kugel, Leipzig, 1916, 57; русский перевод:
Бляшке В., Круг и шар, «Наука», М., 1967) -
Если выпуклое множество S имеет меру Лебега V ( S ) ,0 < K ( S ) < < о о , то оно ограничено. См. Cassels J. W. S., An introduction to the geometry of numbers, Springer, 1959, p. 109; русский перевод: Кас селе Дж. В. С., Введение в геометрию чисел, ИЛ, М., 1965.
Примечания к главе X
В качестве основных источников см. Ландау [4], § 95— 103. См.
также Siegel К- L., Lectures on analytic number theory, New York University, 1945.
§ 5. Основная теорема этой главы, а именно теорема 8, была впервые доказана Дирихле в 1837 г., см. его Werke, I, 307—342. Элементарное доказательство было дано Мертенсом (Mertens F„
Wiener Sitzungsberichte, 106 (1897), 254—286). Новое элементарное доказательство было предложено Сельбергом (Selberg A., Annals of Math. (2), 50 (1949), 297— 304; Canadian J. of Math., 2 (1950), 66— 78). Другое элементарное доказательство дал Цассенхаус (Zassenhaus Н., Comm. Math. Helvetici, 22 (1949), 232—259).
Примечания к главе XI
В качестве основных источников см. Ландау [4], включая при ложение П. Т. Бейтмана, стр. 929—931, где дана история доказатель
ства асимптотического |
закона распределения простых чисел. Идея |
о связи поведения п (х ) |
со свойствами функции £(s), где s — комп- |
нулей С (s) восходит к Риману (Riemann В., Uber die Anzahl der Prim- zahlen unter einer gegebenen Grofie, M onatsberichte der Preuss. Akad.
der W issenschaften, Berlin (1859— 1860), |
671—680; Werke, |
1st |
edition, |
|
1876, S. 136— 144; 2nd edition, 1892, S. |
145— 155). |
|
|
|
§ 1. Первое доказательство асимптотического закона |
распреде |
|||
ления простых чисел было дано Адамаром (Hadamard J., |
Bull, de |
la |
||
Soc. Math, de France, 24 (1896), 199—220) и Валле-Пуссеном |
(de |
la |
||
Vallee Poussin C.-J., Annales de la Soc. sci. de Bruxelles, |
202 |
(1896), |
||
Примечания |
183 |
183—256). Полное изложение классического доказательства см. в кни ге Ингама [3], гл. 2.
§ 2. |
Относительно теоремы |
Винера — Икеары |
см. |
Ikehara S., |
|
У. Math. |
Phys. Mass. Inst. Tech., 10 (1931), |
1— 12; Wiener |
N., Annals |
||
of Math., |
33 (1932), 1— 100; 787; |
и Wiener |
N., The |
Fourier integral, |
|
Cambridge, 1933, § 19 (русский перевод: H. Винер, Интеграл Фурье и его приложения, «Наука», 1963, § 19). Теорема справедлива при бо лее слабых предположениях, но для вывода асимптотического зако на распределения простых чисел достаточно той формулировки тео ремы, которую мы рассмотрели.
Данное здесь доказательство теоремы Винера — Икеары не ис пользует общей тауберовой теоремы Винера и по существу является доказательством Бохнера (Bochner S., Math. Zeit., 37 (1933), 1—9),
упрощенным Ландау (Landau Е., Berliner Sitzungsberichte (1932), 514—521) и Бохнером в его Lectures on Fourier Analysis, Princeton University, 1936. Оно дается в том же самом виде, как и в лекциях автора: Lectures on the Riemann zeta-function, Tata Institute of Funda mental Research, Bombay, 1953. Элементарное доказательство асимп тотического закона распределения простых чисел было дано Сель-
бергом (Selberg A., Annals of Math. (2), 50 (1949), 305— 313).
УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса абсолютной |
сходи |
мости ряда Дирихле |
154 |
— сходимости ряда Дирихле |
|
153
Арифметическая функция 25
-------вполне мультипликатив ная 103
------- мультипликативная 25
-------d(n) 65
-------D(N) 69
-------r(n) 63
-------R(N ) 64
-------#(x) 89
-------A (n) 77
-------p(n) 77
-------я (х) 87
------- a(n ) 74
-------tp(«) 23
-------<D(/) 82
-------ф(х) 89
Асимптотический закон распре деления простых чисел 165
Бора доказательство теоремы Кронекера 126
Взаимно простые числа 10
Группа абелева 145
— циклическая 145
Делимость 7 Делитель 7
Дирихле L-функция 159 Дробная часть 113 Дробь 14
—несократимая 14
—правильная 14
—Фарея 14
Единственность ряда Дирихле
158
Зигеля доказательство теоремы Минковского 131
Каноническое разложение чис ла 8
Квадратичный вычет 40
—закон взаимности 50
—невычет 40
Класс |
вычетов 21 |
|
|
-------приведенный 22 |
|
||
Коэффициенты ряда |
Дирихле |
||
105, |
150 |
|
|
Кратное 7 |
|
|
|
Критерий |
Эйлера 43 |
|
|
Лемма Биркгофа 135 |
|
||
— Чебышева 93 |
|
||
Линейно |
независимые числа |
||
123 |
|
|
|
Медианта |
16 |
|
|
Множество |
выпуклое |
130 |
|
—симметричное 130 Модуль 10
—тривиальный 10
Наибольший общий делитель 10 Наименьшее общее кратное 12 Неравенство Чебышева 101
Обобщенная сумма Гаусса 50 Образующий элемент группы
145
Определитель квадратичной формы 140
— решетки 137 Остаток 7 Отклонение 114
— по модулю 1 117
Положительно определенная квадратичная форма 140 Полоса условной сходимости
ряда Дирихле 154 Полуплоскость сходимости ря
да Дирихле 153
Указатель |
185 |
Последовательность Фарея 14 Постоянная Эйлера 71 Постулат Бертрана 97 Представление непримитивное
45
— примитивное 45 Произведение рядов Дирихле
157
Простое число 7 Простые числа Мерсенна 76
Прямая сходимости ряда Ди рихле 153
Равномерно распределенная последовательность 114
-----------по модулю 1 116
Решетка 137 Римана дзета-функция 145
Ряд Дирихле 105, 150
Символ Лежандра 41 Система вычетов полная 23
-----------приведенная 23
Совершенное число 76 Соотношения ортогональности
146
Составное число 7 Сравнение 21
Сравнимость по модулю m 21
— по модулю 1113 Сумма Гаусса 50
Теорема Адамара 166
—Валле-Пуссена 166
—Вейля 118
—Вильсона 41
—Винера — Иксары 168
—Гурвица 37
—Дирихле 113, 163
—Евклида 11
Теорема единственности разло-■ жения на простые сомножи тели 8
Теорема Кронекера 123
—Лагранжа о сравнениях 28
—Лагранжа о сумме квадра тов 47
—Ландау 156
—Мертенса 82
—Минковского 131
—Пойа 19
—Ферма 24
—Чебышева 91
—Эйлера 24
Тождество Эйлера 103 Трансляция множества 130
Формальное произведение ря дов Дирихле 157
Формула Дирихле 73
—Зигеля 133
—Мертенса ПО
—обращения Мёбиуса первая
78
—---- вторая 80
—Стирлинга ПО
—суммирования Абеля 106 Функции Чебышева 89
Функция Мангольдта 79
—Мёбиуса 77
—сумматорная 63
—Эйлера 23
Характер абелевой группы 145
—главный 145, 149
—по модулю m 149
Хинчина доказательство теоре мы Гурвица 37
Целая точка 63
— часть 30 Целое кратное 7
Частное 7 Числа Мерсенна 76
— Ферма 18
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому и зд а н и ю .......................................................... |
|
5 |
|||||||
П р ед и сл о ви е ......................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
6 |
||
Глава |
I. |
Теорема единственности разложения на простые со |
|
||||||
|
|
множители |
....................................................................................... |
|
|
|
|
7 |
|
§ |
1. |
Простые |
ч и с л а ................................................................................. |
|
|
|
|
7 |
|
§ |
2. |
Теорема единственности разложения на простые со |
|
||||||
|
|
множители ............................................................................................ |
|
|
|
|
|
8 |
|
§ |
3. |
Второе |
доказательство |
теоремы |
2 ................................... |
10 |
|||
§ |
4. |
Наибольший |
общий |
делитель и |
наименьшее общее |
|
|||
|
|
к р а т н о е ................................................................................................... |
|
|
|
|
|
12 |
|
§ |
5. |
Последовательности |
Ф а р е я .................................................... |
|
14 |
||||
§ |
6. |
Бесконечность |
множества простых |
ч и с е л ........................ |
17 |
||||
Глава |
II. С р а в н е н и я ....................................................................................... |
|
|
|
|
21 |
|||
§ |
1. |
Классы |
в ы ч е т о в ........................................................................... |
|
|
|
21 |
||
§ |
2. |
Теоремы Эйлера и Ф е р м а .......................................................... |
|
23 |
|||||
§ |
3. |
Число решений |
с р а в н е н и я .................................................... |
|
27 |
||||
Глава |
III. Аппроксимация |
иррациональных чисел рациональ |
|
||||||
|
|
ными |
и теорема Гурвица .................................................... |
|
30 |
||||
§ |
1. |
Аппроксимация иррациональных чисел. . . . . . |
30 |
||||||
§ |
2. |
Суммы двух к в а д р а т о в |
................................................................ |
|
33 |
||||
§ |
3. |
Простые |
числа вида |
4 & ....................................................± 1 |
|
34 |
|||
§ |
4. |
Теорема |
Г у р в и ц а ........................................................................... |
|
|
|
35 |
||
Глава |
IV. Квадратичные вычеты и представление чисел в виде |
40 |
|||||||
|
|
суммы четырех |
к в ад р ....................................................атов |
|
|
||||
§ |
1. |
Символ |
Л е ж а н д р а ...................................................................... |
|
|
40 |
|||
§ |
2. |
Теорема |
Вильсона и критерий .............................Э й л е р а |
41 |
|||||
§ |
3. |
Суммы |
двух |
к в а д р а т ..........................................................о в |
|
44 |
|||
§ |
4. |
Суммы |
четырех |
к в а д р ....................................................а т о в |
|
47 |
|||
Глава V. Квадратичный |
закон ................................... |
взаи м н ости |
50 |
||||||
§ |
1. |
Квадратичная |
|
взаи м н ....................................................о сть |
|
50 |
|||
§ |
2. |
Формула взаимности для обобщенных сумм Гаусса . |
50 |
||||||
§ |
3. |
Доказательство |
квадратичного законавзаимности . |
56 |
|||||
§ |
4. |
Некоторые приложения ................................................................ |
|
|
60 |
||||
|
|
|
|
|
Оглавление |
|
187 |
Глава |
|
VI. Арифметические функции и целые |
точки . . . . |
63 |
|||
§ 1. Общие зам ечания.................................................................... |
|
63 |
|||||
§ |
2. |
Функция |
г ( п ) .......................................................................... |
|
63 |
||
§ |
3. Функция d ( n ) .......................................................................... |
|
65 |
||||
§ |
4. |
Функция а ( п ) .......................................................................... |
|
74 |
|||
§ |
5. |
Функция Мёбиуса р ( я ) .......................................................... |
|
77 |
|||
§ |
6. |
Функция Эйлера ф ( я ) .......................................................... |
|
81 |
|||
Глава VII. Теорема Чебышева о распределении простых чисел |
87 |
||||||
§ |
|
1. |
Функции |
Ч еб ы ш ева ................................................................ |
|
87 |
|
§ |
|
2. |
Теорема |
Ч еб ы ш ева ................................................................ |
|
91 |
|
§ |
|
3. |
Постулат |
Б ер тр ан а ................................................................ |
|
96 |
|
§ |
|
4. |
Тождество Э й лер а..................................................................... |
|
103 |
||
§ |
5. |
Некоторые формулыМ ер тен са ............................................ |
|
ПО |
|||
Глава |
VIII. Теоремы |
Вейля о равномерном |
распределении и |
|
|||
|
|
|
теорема |
К р о н е к ер а ....................................................... |
|
113 |
|
§ |
|
1. В в е д е н и е ...................................................................................... |
|
|
113 |
||
§ 2. Равномерное распределениев единичном интервале |
114 |
||||||
§ 3. Равномерное распределениепо модулю 1 ........................ |
116 |
||||||
§ |
|
4. |
Теоремы В е й л я ........................................................................... |
|
118 |
||
§ |
|
5. |
Теорема |
К ронекера................................................................. |
|
123 |
|
Глава |
|
IX. Теорема |
Минковского о целых точках в выпуклых |
130 |
|||
|
|
|
м н ож ествах ......................................................................... |
|
|||
§ |
|
1. |
Выпуклые |
|
м н о ж е ст в а ........................................................... |
|
130 |
§ |
|
2. |
Теорема |
М инковского........................................................... |
|
131 |
|
§ |
|
3. |
П рилож ения................................................................................. |
|
137 |
||
Глава |
X. Теорема |
Дирихле о простых числах в арифметиче |
142 |
||||
|
|
|
ской прогрессии ...................................................................... |
|
|||
§ |
|
1. В в е д е н и е |
...................................................................................... |
|
142 |
||
§ |
|
2. |
Характеры |
............................................................................................. |
|
145 |
|
§ |
|
3. |
Суммы характеров. Соотношенияортогональности . |
147 |
|||
§ |
|
4. |
Ряды Дирихле. Теорема Л а н д а у ...................................... |
|
150 |
||
§ |
|
5. |
Теорема Д и р и х л е ..................................................... |
|
159 |
||
Глава |
XI. Асимптотический закон распределения простых чисел |
165 |
|||||
§ |
1. |
Необращение в нуль функции£ ( l + |
i f ) ............................ |
165 |
|||
§ |
|
2. |
Теорема Винера—И к е а р ы ...................................................... |
|
167 |
||
§ 3. Асимптотический, закон распределения простых чисел |
173 |
||||||
Список литературы |
...................................................................................... |
|
176 |
||||
Примечания..................................... |
|
|
|
177 |
|||
У к а з а т е л ь ....................................................................................................... |
|
|
|
184 |
|||
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2, изд-во «Мир»
К- Чандрасекхаран ВВЕДЕНИЕ
В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ
Редактор Д. Ф. Борисова Художник К. И. Милаев
Художественный редактор В. И. Шаповалов Технический редактор Е. Н. Лебедева Корректор С. М. Лебедева
Сдано в набор 16/VII—1973 г. Подписано к печати 17/1V—1974 г. Бумага тип. № 1. 84X108732-2,94 бум. л. 9,87 уел. печ. л. Уч.-изд. л. 7,78. Изд. № 1/7266. Цена 62 коп. Зак. 870
Издательство «Мир», Москва, 1-й Рижский пер., 2
Владимирская типография Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли Гор. Владимир, ул. Победы, д. 18-6.
