Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

5.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

ГЛАВА V

КВАДРАТИЧНЫЙ ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ

§ 1. Квадратичная взаимность. Пусть р и q — различ ные нечетные простые числа. Тогда определены символы


Лежандра	j и	. Можно ли указать значение
J , если известно значение			j ? Квадратичный за

кон взаимности Гаусса показывает, что это действитель но возможно.

Теорема 1 (Гаусс). Если р и q — различные нечетные

простые числа,	то	я— 1
		я— 1
			2
Так как — (р— 1)- — (q— 1)есть			нечетное число тог-
2		2
да и только	тогда,	когда p = <7=3(mod4), теорему 1
можно сформулировать следующим образом:
( i ) -		если р = 9 =	3'(mod4),
( i ) -
	я_	в противном	случае.
	Р

Мы выведем квадратичный закон взаимности из фор мулы взаимности для некоторых тригонометрических сумм.

§2 . Формула взаимности для обобщенных сумм Га

усса. Пусть т и п — ненулевые целые числа. Определим

обобщенную сумму Гаусса следующим образом:

\п\	nt— k2 -j- iiimk
g(m,n) = Yi e n		(1)

§ 2. Формула взаимности для обобщенных сумм Гаусса

Когда m четное, эта сумма представляет собой сумму Гаусса. Теорема 1 может быть выведена из формулы, связывающей g(m , п) и g ( —п, чп), которая устанавлива ется в следующей теореме:

Теорема 2. Если m и п — ненулевые целые числа,					го
1	,	ти	sgn (шл) 1	.	/ п .
1	,	. — - ( 1 - \|т л \|)	sgn (шл) 1	.	/ п .
	g(m,n) = e 4		■— zr g (—п>m),		(2 )
V I			У N
где
		[r!\r\	при гфО
		1 0	при г = §

Доказательство. В доказательстве мы будем пользо ваться интегрированием в комплексной плоскости. Рассмотрим интеграл

f(X )= f(X , x )= \ 0 (u )d u ,	(3)
с
где
.я(ти* + 2я iXu	(4)
Ф (») = Ф (и, Х) = Ф (и, X, т) = ■- —— -----.	(4)

Здесь и — комплексная переменная, X — произвольное комплексное число, т — комплексное число с положи тельной действительной частью, а С — прямая в комп лексной и-плоскости, проходящая через точку и = 1 / 2

и составляющая с положительным направлением дейст вительной оси угол я/4. Покажем сначала, что интеграл сходится. Для этого мы оценим функцию Ф в любой по лосе (конечной ширины), которая ограничена двумя прямыми, параллельными С. Если мы положим

u = c + r e W \

где с и г — действительные переменные величины, при

чем величина с ограничена,	и
т = Re т +	П т т,

то

| ^Шти2+ 2л1Хи | g—я Im (ти- + 2Хи)

ты2 + 2Xu = h r2 + 2 е( П 1 > / 4 (тс X) г (тс + 2Х) с,

52 Г л. V. Квадратичный закон взаимности

так что

\m(xu2 + 2Xu)	ет -г2 — 2\%с+ Х\ - 1г[ — [ (тс+2Х)с\.
Следовательно,
j е Л(’ти2+2я£Х ы \| ^	g —яг2 Re т + я \|т !-(са + 2\|с/-\|)+2я \|Х1 ■(\|q + ]r \|) ^

	< A e-m'2Rex + Blri,		(5)
где Л и В — постоянные, не зависящие от г.
Далее,
\|	_ 1 1 > 1 1 _\| е2л‘-“\|1 = 1 1 -	пг\|,
и если в указанной полосе \|«\|-^-оо,		то г-э-±оо, так что

при достаточно больших значениях |ы| мы будем иметь

	\|е2 я£Ы_		1 \|>	_ А -> 0.	(6)
Тогда из (5) и (6 )		мы имеем в указанной полосе при
всех достаточно больших значениях \|и\|
	\|Ф(Ы)\|<Л1елг2Кет + ви .				(7)
Следовательно, интеграл			\Ф(и)йи сходится.
			с
Покажем теперь,		что g(m , п) при я > 0 является зна
чением	интеграла	\Ф{и)йи		при подходящем	выборе
контура	у.	v

Пусть у — параллелограмм, образованный прямой С,

прямой С„, параллельной С и пересекающей действи тельную ось в точке п + 1 /2 , п > 0 , и прямыми Ь\ и Ь2,

лежащими в верхней и нижней полуплоскостях соответ ственно, параллельными действительной оси и отстоя щими от нее на положительном расстоянии (рис. 1 ).

Функция Ф(и) является мероморфной функцией пе ременного и, и, если контур у обходится в положитель ном направлении, мы имеем по теореме Коши о вычетах

\|Ф (u)d u=	t enlTk' + 2niXk.	(8 )
V	k=\

Из (7) следует, что Ф(ы)->0 равномерно в полосе между параллельными прямыми С и Сп при |ы|->оо. Следова

§ 2. Формула взаимности для обобщенных сумм Гаусса

тельно, при удалении прямых L\ и Ь2 от действительной оси к бесконечности интеграл по сторонам L\ и Ь2 парал лелограмма у будет стремиться к нулю, и тогда

Г Ф (и) du — f Ф (и) d u = £ ел‘хк* + 2ШХк.

(9)

К*

Из (4) мы имеем, однако,

Ф (и + п, X) = ел1хп*+ 2ШХп Ф (и,Х + хп),

так что

J Ф (и) du = елШ! + 2л1Хп f (X + хп),

Сп

где f определена по формуле (3). Следовательно, соот ношение (9) переходит в

елш ‘ + 2л!Хп f(X + x n ) - f {X) = 2 enixk' + 2niXk, (10) *=i

что дает соотношение между f(X) и f(X-\-xn). Найдем теперь другое такое соотношение и сравним их между собой.

54 Гл. V. Квадратичный закон взаимности

Начнем	с тождества
f ( X + l ) ~	f (X) =	Г	еЯ‘Тцг	f	+ 1) « g 2nlXu du =
	п }	J ^	“ - 1	1
	r	с			- * * 1
	r				- * * 1
	= \enixu* + 2niXu d u ^ e
	с				с

Пусть теперь С' — прямая, полученная из С с помо щью параллельного переноса и-^~и-\-Х/х. Тогда

f(X	+ l ) - f ( X ) = e	—JTI. ха	_ . .
f(X	+ l ) - f ( X ) = e	х	j emxudu.
			C'
Из оценки (5)	ясно, что этот	интеграл сходится. Инте

грируя, как и раньше, по параллелограмму и используя

оценку (5)	при Х = 0 , мы видим, что
	f	enixu‘ du —			j V ,T“'du,
	C				Co
где C0 — прямая, параллельная С' и проходящая через
начало координат.		На	прямой Со мы имеем и = г е ш/А
при действительном г. Следовательно,
		Jtl	QQ	—яхг2 j		. 4	г
„Шти? .		„ 4	е	—яхг2 j		. 4	г
е	du =	е	е		dr = е /х,
с,
и тогда
	f{X + l ) - f ( X ) = e						^	/ т.
Итерируя	эту формулу		/п раз, получаем
					m -1			+
№ + r n ) - / m = / y S e 1 4								Т ’’
					v=0
где m — положительное целое. Отсюда,								заменяя X на
Х + т п—т,	мы получим второе соотношение
/ (X + то) — / (X + то — т) =
			т - 1 я Л - L _			U	+ ™ - m + v)*
					14			(И )

v=0

§ 2. Формула взаимности для обобщенных сумм Гаусса

Из (11) и (10) мы выводим, что

ея|тл*+ 2nlXnf (X + xn — m) — f (X) =

(X -j-ТП—У)*

g U ixk* +

2 я IX k

хп ’1 +

1 =

__ £

2п 1 Х п ^

k = \

V=1

U-v)M

2 n t X k ___j

n i

e n lxk> +

(12)

£ <

V=1

ft= i

Положим в

этом

равенстве X = m j2

и г = m jn,

m > 0,

п > 0 . Тогда

n ili2 —

+ nimft

4- О-

"I")

, .

Y 4

m v n

— у *я »

—

] е

= / minе 4

(12')

ft=i

V=1

Далее,

если мы положим m = n = 1,

то получим отсюда

Л =

1 ,

т.

е.

e~nt,d t=

1 ,

и, используя подстановку

V т,

где т — положитель

ное действительное число, приходим к соотношению

со

(13)

В таком случае из (13)

при х = т /п и (12')

мы имеем

>nfft* — + nimfc

ft=i

— (i- m n )

y ,

jiiv n — v*

—-

------- e

—

V=1

л/ ,-	. fix
1 — (I-mn) v
— — е	L

—niv/i — V * л / т

У т

v—1

56	Гл. V. Квадратичный закон взаимности
а это по определению g(m , га) означает, что
.	— g (т, га) =		1	HL О —тп)		g (—га, гаг).		(14)
—	— g (т, га) =		-	е 4		g (—га, гаг).		(14)
V n		Vm
Тем самым при гаг>О, га>О теорема доказана.
Если т > О		и га<0,	то —га, т >О		и из (14)		следует,
что
1	g ( —n, гаг) =		1	— ( 1 + тп)		/
——	g ( —n, гаг) =		-—	е 4		g ( —m ,—n),
Vm		V - n
или
1	,	ч	— - j -	(1 — Imnl)		1
— Г	(—/п, —л) == е			—р=г 8 (—« .т)-
V \п\				V т
Но, по определению, g ( —гаг,				—n )= g {m , га) и,			следова
тельно,
__1_		5 L	(1—\|mn\|)sgn (тп)		1	g ( —n,m),
__1_	g(m ,n) = < ? 4			/ т		g ( —n,m),
У Й				/ т

так что теорема справедлива и в этом случае.

Если гаг<О и га<О, то формула (2 ) также остается

справедливой, так как g (— гаг, — га) = g(m , п), g(ra, — гаг) =

— g (— га, гаг) и ( 1 — |/гага |) sgn (гагга) не меняется при заме

не гаг и га соответственно на — гаг и — га. Теперь доказа тельство теоремы 2 закончено.

Следует отметить, что в доказательстве равенство

не предполагалось известным и было получено в качест ве побочного результата.

§ 3. Доказательство квадратичного закона взаимно сти. Квадратичный закон взаимности, сформулирован

§ 3. Доказательство квадратичного закона взаимности

ный в теореме 1 , теперь нетрудно вывести из формулы

взаимности для обобщенных сумм Гаусса, которая до

казана в теореме 2 .				мы можем заменить k на k2
Так	как k2= k {m o d 2 ),			мы можем заменить k на k2
в определении ( 1 ) суммы g(m , п)						и записать
			N	n ik 2 —		(я + 1)
	g (m , n ) =		} ] e		п
			k=\
Пусть теперь п — нечетное простое число									и m — не
которое	целое, взаимно		простое			с	п.	Тогда	мы имеем
			п —1 ...			m	,	, ,,
	g (m, п)	1 + £ е ” “				~	и + "
			* = 1
Если &2 = p (m o d « ), то легко видеть, что
	n ik * — (я + 1)			Я/p — ( Л + 1 )
	л			л
Но если &2 = p (m od n )		и 1			— 1, то р — квадратич
ный вычет по модулю п и				(п—k)2= k 2=p(m od п ). Сле
довательно, если k пробегает целые							1, 2 , ...,		п— 1, то k2
(взятое	по модулю	п)	дважды пробегает						множество
квадратичных вычетов по модулю п. Значит,
	g (m ,n )=	1 + 2 % е л‘Р^					{П + 1\		(15)
				р
где р пробегает множество квадратичных									вычетов по
модулю нечетного простого п.
Рассмотрим теперь сумму
	г-,	я tv		( я + 1 )
	2, е			п

где v пробегает множество квадратичных невычетов по модулю п. Мы имеем, очевидно,

1 + V ел1р1 Г {п + 1) + V eItiv-T (n + 1)= v V ifc-7T(',+ 1>>

58	Гл. V. Квадратичный закон взаимности

ПШ— <л+1 )

Но п +1 есть четное число и, следовательно, е п есть k-я степень корня п-й степени из единицы, скажем г), причем г)=/=1, так как п^т. Таким образом,

Л1 р-^-(л+1 )

nlv ■!£-(п + I)

I + L

2 j

i +

S r i p +

i i r i v =

i ; г)р=

~— h i = о. (16)

р = о

Из (15)

и (16) мы получаем, что

Ж'р-^- (л + 1 )

т ,

—

(п

4- 1)

g (т, п)

е п

- 2

}

0 7 )

Рассмотрим

теперь два

возможных случая

(а) Если т — квадратичный вычет по модулю п и р пробегает все квадратичные вычеты по тому же мо дулю, то, согласно следствию теоремы 3 гл. IV, рт так же пробегает все квадратичные вычеты. Если же v про бегает все квадратичные невычеты, то vrn также пробе гает квадратичные невычеты по модулю п. Следователь но, в силу (17)

g(m ,n)

р v

:*(1,")s=(‘7 ‘)*(1,n)'

(б) Если т — квадратичный невычет по модулю п, то с помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям пункта (а), мы имеем

§ 3. Доказательство квадратичного закона взаимности				59
„iv (2 ± l 'j		у,	nip (!L±-M
g(m, п) = Ъ е	' n	'— 2 j	e ' n >—
= — г 0	.п) = ( ~ ) ^ ( 1*n)-

Таким образом, мы показали, что если п — нечетное про стое число и (от, п) — 1 , то

	g(m ,n)				g (1 . л).
С другой стороны, из теоремы 2 следует, что
*— £(!> п) = е Т<1-Л>£ ( — я. 1 ).
V п
и так как, по определению, g (—n, 1 ) =						1 , мы имеем
	g - ( l, n ) = / n e T<1-n) .
Из (18) и (19) мы получаем важную формулу:
SL\		1	2	*(я-1 ) .
SL\		—	е 4		g(m ,n).
	» г у - в
где п — нечетное простое число и (от,						п) = 1 .
Если от= — 1, то из (20)				следует, что
—1 \		1	е	т	(,,_1) /	1	\
		= - ^	е	4	ff(— 1		,л).
		/ и
Но, согласно соотношению (2 ), мы имеем
4 г г ( - 1 .Л) =			> * ( - « , - 1 ) =				(л_
V п
поскольку g (— п,	— 1) = 1. Следовательно,
	, .	я» ,		, ,		я—1
_	1		<П * = (--- 1 ) Я.

(18)

(19)

(20)

(21)

До сих пор мы предполагали, что п — нечетное простое число. Пусть теперь тп также будет нечетным простым.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ