книги из ГПНТБ / Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел

ГЛАВА IX

ТЕОРЕМА МИНКОВСКОГО О ЦЕЛЫХ ТОЧКАХ

ВВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВАХ

§1. Выпуклые множества. В гл. VI мы столкнулись

сзадачами о числе целых точек в некоторых областях

на плоскости. Пусть Rn, 1, есть n-мерное евклидово пространство. Точку пространства мы назовем целой, ес­ ли все ее координаты — целые числа. В этой главе мы докажем теорему Минковского о том, что каждое вы­ пуклое симметричное относительно начала координат множество в пространстве Rn, объем которого больше 2”, содержит по крайней мере одну целую точку, отлич­ ную от начала координат.

Определения. Пусть S — множество точек простран­ ства Rn. Для действительного числа X через XS мы обо­ значим множество, получающееся из S растяжением в X раз, т. е.

тельно начала координат, или просто симметрично, если из условия x e S следует, что —x e S . Если S симмет­ рично, то множество XS также симметрично.

Пусть g — целая точка пространства Rn. Тогда мно­ жество Sg, состоящее из точек x ^ R n, таких, что х—g ^ S , мы назовем трансляцией множества S на вектор g.

Если множество S измеримо по Лебегу и V(S) ■— его мера, то E (5 ) = I/(5g) для любой целой точки g.

Выпуклые симметричные множества, (а) Пусть мно­ жество 5 выпукло и симметрично, и пусть Тогда Xx^S для каждого действительного числа X, такого, что

1М <1-

Действительно, если x e S , то из симметричности мнр-

откуда непосредственно вытекает утверждение теоремы. Если мы хотим доказать только теорему 1, а не фор­ мулу (8), можно использовать вместо равенства Парсе-

валя неравенство Шварца

[\ f\ 4 x ^ \ a 0\\

в

По формуле (4) имеем

a0= 2 - n \^ {x)d x= 2~ nV, s

и если S не содержит целых точек, отличных от начала координат, то, согласно (5),

f \f\2d x= 2~ nV.

в

Следовательно, Е ^ 2 " .

Теорема 1 неверна для ограниченных измеримых вы­ пуклых симметричных множеств меры V = 2 n. Действи­ тельно, рассмотрим множество |лД < 1 , Оно ог­ раничено, измеримо, выпукло, симметрично и имеет меру V— 2n, но не содержит ни одной целой точки, отличной от начала координат.

Однако если S замкнуто, то справедлива

Теорема 2. Замкнутое ограниченное выпуклое сим­

метричное множество S пространства Rn, имеющее меру

V(S) ^ 2 " , содержит по меньшей мере одну целую точку,

отличную от начала координат.

1/(5') = (l+ e )» V (S ) ^ 2 " ( 1 + е ) " > 2 п.

Следовательно, по теореме 1 множество S' содержит це­ лую точку 1В, отличную от начала координат. Множест­

во 5 ограничено, и таким же будет множество S', а тог­ да для 1г имеется только конечное число возможностей.

Поэтому существует целая точка /0, отличная от начала

замкнуто. Этим теорема 2 доказана.

Из теоремы 2 следует

Теорема 2'. Если S — ограниченное выпуклое сим­ метричное множество, имеющее меру V ( S ) ^ 2™, то его замыкание содержит по меньшей мере одну целую точ­ ку, отличную от начала координат.

Доказательство. Для данного ограниченного выпук­ лого симметричного множества S рассмотрим его замы­

кание S. Множество S так же, как и множество 5, огра­ ничено выпукло и симметрично, а также замкнуто, и его мера V (5) ^ V(S) ^ 2 П. Значит, S удовлетворяет услови­ ям теоремы 2 и, следовательно, содержит по меньшей ме­ ре одну целую точку, отличную от начала координат.

Чтобы дать другое доказательство теоремы Минков­ ского, мы докажем сначала следующую лемму:

Лемма (Г. Д. Биркгоф). Если S — измеримое множе­

ство пространства Rn, имеющее меру V(S) > 1 , то суще­ ствуют две различные точки x ^ S и y ^ S , такие, что х—у есть целая точка.

к

Отсюда, так как единичный куб имеет меру 1, следует существование по крайней мере двух множеств S£_g и

где g и g' — различные целые точки, имеющие н§-

пустое пересечение. Другими словами, существуют две точки x e S ^ и y ^ S g', такие, что x—g = y —g'. Следова­ тельно, мы нашли две такие точки x g S что

х—y = g —g ' есть целая точка. (Она не обязана, конечно, принадлежать множеству S.) Лемма тем самым дока­ зана,

С помощью этой леммы мы докажем следующее ут­ верждение:

Теорема 3 (Минковский). Если измеримое выпуклое симметричное множество S имеет меру V > 2 " (возмож­ но, V = o o ), то оно содержит по крайней мере одну це­ лую точку, отличную от начала координат.

Доказательство. Рассмотрим множество — S, мера

которого есть f— J У > 1 . По доказанной выше лемме

существуют две различные точки x e -^ - S и у е -^-S, та­

кие, что их разность х—y = g будет целой точкой. Так же

как и 5, множество — S является выпуклым и симмет­

и g отлична от начала координат, поскольку х и у различны. Теорема доказана.

Последняя теорема может быть использована для изучения однородных линейных форм. Пусть

х-пространства в |-пространство, и если множество 5 вы­ пукло и симметрично в х-пространстве, то его образ Т в ^-пространстве также будет выпуклым и симметрич­ ным, поскольку выпуклость и симметричность инвариант­

ны относительно линейных преобразований. Но мера ме­ няется при линейных преобразованиях, а именно если

А=7^0, то

так что мера множества Т получается из меры множест­ ва S умножением на множитель |Д|.

Рассмотрим линейное преобразование L пространст­

Л пространства Rn, связанной с L. Определитель преоб­ разования L называется определителем решетки Л.

Применение теоремы 3 к ^-пространству дает следую­ щий результат:

Теорема 4. Пусть А — решетка пространства Rn

ку решетки А, отличную от начала координат.

Далее из теоремы 2 следует

выпуклое симметричное множество, имеющее меру

^2"|А |. Тогда Р содержит по крайней мере одну точку решетки А, отличную от начала координат.

§ 3. Приложения. (А) Рассмотрим в х-пространстве замкнутое множество S, определенное неравенствами

Очевидно, что множество S симметрично. Оно будет так­ же выпуклым. Действительно, если x e S , y ^ S и z=%x-\- +рг/, где К^О, р^гО, Я + р = 1, то

\uuZi-\-ai2Z2-{-...-:\-ainZn\^

=£= А,| ацХ1 + ... + ainXn | -)- р| йцУ\ + ... -f- йгпуп |^

< max ( I aixxx + ... + ainxn |, |aixyx + ... + ainyn \) .

Кроме того, S ограничено. Действительно, если '(ац) ■— матрица, обратная к матрице (ац), то из равенств

2П|A|_1CiC2...c„. Соответствующее множество в g-прост- ранстве является параллелепипедом и имеет меру

2пс1с2...сп.

Применяя теорему 4', получаем такой результат:

Теорема 5. Пусть gb g2,..., gn — однородные линейные формы от п переменных х ь х2,..., хп с действительными ко­ эффициентами и определителем Д=^0. Если сц с2, ..., сп —

положительные действительные числа, такие, что

С\С2...сп^ |А|, то существуют целые числа Хц х2, ..., хп, не

равные одновременно нулю, для которых |gi | |g2|^ <^2,..., |gn|^Cn.

венств (И ).

Мы предполагали до сих пор, что А^=0. Если Д= 0, то легко видеть, что множество S в х-пространстве, опре­ деляемое неравенствами (11), имеет бесконечный объем,

jgi| = |anXi + ... + ainxnI a, i—l,2 , ..., m, m e n . (12)

Тогда множество, определяемое данной системой в х-про- странстве, не будет ограниченным, но в силу теоремы 3 заключение теоремы 5 остается в силе, т. е. существуют целые числа х ь х2,..., х„, не равные одновременно нулю, которые удовлетворяют m неравенствам (12).

Заметим, что случай т е п сводится к предшествую­ щему случаю т = п, Д= 0. Для этого достаточно, напри­ мер, записать неравенство (12) при i— m точно п— т + 1 раз.

1Ы + 1Ы + - + |Еп| ^ с.

Оно, очевидно, симметрично. Множество Т будет также

может быть вычислен следующим образом. Множество Т состоит из 2" конгруэнтных частей, по одной из каж­ дого октанта, и та часть, которая лежит в октанте | i> 0, ^2 > 0 ,..., |п >0, имеет объем

Следовательно, Т имеет объем V = (2с)п/п\.

Если сп^гп\ |А|, то из теоремы 4' вытекает

Теорема 6. Существуют целые числа хь х2, ..., хп, не равные одновременно нулю, такие, что